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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:21 Mo 23.01.2012 | | Autor: | perl |
| Aufgabe | 1.
V ist ein K Vektorraum, A = [mm] {a_{1},...,a_{n}} \subset [/mm] V eine linear unabhängige Teilmenge, U = Aufspann(A) und v [mm] \in [/mm] V.
Zeige: A'= A [mm] \subset [/mm] {v} ist linear abhängig genau dann, wenn v [mm] \in [/mm] U.
Andersrum:
2.
Gegeben sei ein K VR und darin eine linear unabhängige Teilmenge A = [mm] {a1,...,a_{n}} \subset [/mm] V. Der Unterraum U [mm] \subset [/mm] V sei der Aufspann von A. Zeigen Sie für jedes v [mm] \in [/mm] V : Die Menge A':= A [mm] \subset [/mm] {v} ist linear unabhängig genau dann , wenn v [mm] \not\in [/mm] U. |
Hallo!
Die Fragen der Aufgaben scheinen mir etwas Sinnfrei, da nach Def. span() die lineare Hülle des UR U ist und somit jeder weitere Vektor der zu span() dazukommt linear abhängig ist...
Aber gut. Wenn ich es zeigen will muss ich natürlich die beiden Richtungen beachten. Ist dann folgendes ein adäquater Beweis hierzu?:
Für 1.:
"-->"
A´= [mm] {a_{^},...,a_{n},v} [/mm] , v linear abhängig
-->Es existiert nicht nur die triviale Lösung
-->Es existiert eine Linearkombi so, daß folgendes gilt:
[mm] t_{1}a_{1}+...+t_{n}a_{n}=v [/mm]
Da U=span(A) gegeben, und [mm] t_{1}a_{1}+...+t_{n}a_{n}\hat= a_{1}+...+a_{n} [/mm] ist v [mm] \in [/mm] U.
"<--"
gilt v [mm] \in [/mm] U und U ist als U = span(A) definiert, mit [mm] span(A)={a_{1},...,a_{n}}, [/mm] gilt v [mm] \in [/mm] U muss Lk. von [mm] a_{1}+...+a_{n} [/mm] sein, so daß gilt:
[mm] s_{1}a_{1}+...+s_{n}a_{n}=v [/mm]
--> v [mm] \in [/mm] U ist linear abhängig zu A.
Die 2. Def. wär natürlich weitgehend analog.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:47 Mo 23.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Beweisidee ist richtig. aber [mm] a_1,...a_n [/mm] solltest du nicht als Basis von span(A) nehmen.
2. die Zeile $ [mm] t_{1}a_{1}+...+t_{n}a_{n}\hat= a_{1}+...+a_{n} [/mm] $ macht keinen Sinn warum sollen alle [mm] t_i=1 [/mm] sein?
du musst das also schon besser aufschreiben.
in span(A) liegen alle Vektoren die man als linearkomb. der [mm] a_i [/mm] schreiben kann, solltest du benutzen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:49 Mo 23.01.2012 | | Autor: | perl |
-->
A`= A [mm] \subset [/mm] v lin. ab.
--> v ist l.a. und kann durch die [mm] a_{i} [/mm] dargestellt werden, also existiert eine Lin.kombi. [mm] t_{1}a_{1}+...+t_{n}a_{n}=v
[/mm]
-->da in span(A) alle Elemente liegen, die als Linearkombi der [mm] a_{i} [/mm] darstellbar sind, ist v [mm] \in [/mm] span(A)
--> da U=span(A) ist v [mm] \in [/mm] U
<--
v [mm] \in [/mm] U
--> da U=span(A) und v [mm] \in [/mm] U, ist v [mm] \in [/mm] span(A)
--> da [mm] A={a_{1},..,a_{n}}, [/mm] ist v, da l.a., als Linearkombi. der [mm] a_{i} [/mm] darstellbar
-->A`= A ?subset {v} l.a.
ist das jetzt besser so??? :/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> -->
>
> A'= A [mm]\subset[/mm] v lin. ab.
Du meinst: Sei zunächst $A'=A [mm] \cup \{v\}$ [/mm] linear abhg.
> --> v ist l.a.
Das würde ich gar nicht schreiben. Was soll das heißen, dass der Vektor [mm] $v\,$ [/mm] linear abhängig ist?
> und kann durch die [mm]a_{i}[/mm] dargestellt
> werden,
Das ist das, was Du meinst: Wegen der linearen Abhängigkeit der Menge $A'$ existiert insbesondere eine Linearkombination der [mm] $a_i\,,$ [/mm] die [mm] $v\,$ [/mm] darstellt. (Dazu evtl. auf einen entsprechenden Satz verweisen. Das ist zwar wirklich keine große Aussage, und der Beweis geht quasi leicht von der Hand, dennoch ist es nicht ganz trivial. Um diese Darstellung zu rechtfertigen, musst Du die lineare Unabhängigkeit von [mm] $A\,$ [/mm] benutzen. Wäre [mm] $A\,$ [/mm] nämlich selbst schon linear abhängig, so wäre diese "Linearkombinationseigenschaft" für [mm] $v\,$ [/mm] i.a. falsch: Betrachte etwa [mm] $A:=\{(1,1),(2,2)\} \subseteq \IR^2$ [/mm] und $v=(1,2) [mm] \in \IR^2\,.$ [/mm] Hier wäre natürlich auch $A [mm] \cup \{v\}$ [/mm] linear abhängig, aber [mm] $v=t_1*(1,1)+t_2*(2,2)\,$ [/mm] zu schreiben wäre nicht möglich!)
> also existiert eine Lin.kombi.
für [mm] $v\,$ [/mm] in der Form
> [mm]t_{1}a_{1}+...+t_{n}a_{n}=v[/mm]
Okay, wie gesagt: Das ist nicht ganz trivial. Man kann es so beweisen: Wir nehmen eine nichttriviale Linearkombination
[mm] $$t_1' a_1+...+t_n' a_n +t_{n+1}' [/mm] *v=0$$
her, d.h. es gibt mindestens ein [mm] $t_i'$ [/mm] mit $i [mm] \in \{1,\ldots,n+1\}\,,$ [/mm] das nicht [mm] $0\,$ [/mm] ist. Angenommen, nun wäre [mm] $t_{n+1}'=0\,.$ [/mm] Jetzt überlege Dir, dass dann aber auch, wegen der linearen Unabhängigkeit von [mm] $A\,,$ [/mm] dann die Linearkombination doch trivial gewesen sein muss. Widerspruch. Wie Du danach dann auf die Form $v=...$ kommst, ist Dir sicher klar, oder?
> -->da in span(A) alle Elemente liegen, die als
> Linearkombi der [mm]a_{i}[/mm] darstellbar sind, ist v [mm]\in[/mm] span(A)
> --> da U=span(A) ist v [mm]\in[/mm] U
Soweit korrekt!
> <--
Spare nicht an Worten: Du startest hier also: Nun setzen wir voraus
> v [mm]\in[/mm] U
> --> da U=span(A) und v [mm]\in[/mm] U, ist v [mm]\in[/mm] span(A)
> --> da [mm]A={a_{1},..,a_{n}},[/mm] ist v, da l.a., als
> Linearkombi. der [mm]a_{i}[/mm] darstellbar
> -->A'= A ?subset {v} l.a.
Hier geht's wieder um die angesprochene Symbolik, wo ja anscheinend schon der Aufgabensteller ein wenig schlampig war: Natürlich sollte da stehen: Also ist $A'=A [mm] \cup \{v\}$ [/mm] linear abhängige Teilmenge.
Hier würde ich's deutlicher schreiben:
Aus
$$v [mm] \in \text{span}(A)$$
[/mm]
folgt die Existenz von [mm] $t_1,\ldots,t_n\,,$ [/mm] so dass man [mm] $v\,$ [/mm] schreiben kann als
[mm] $$v=\sum_{k=1}^n t_k a_k\,,$$
[/mm]
was in äquivalenter Form mit [mm] $t_{n+1}:=-1$ [/mm] und [mm] $a_{n+1}:=v$ [/mm] zu
[mm] $$0_V=\sum_{k=1}^{n+1}t_k a_k$$
[/mm]
umgeschrieben werden kann. Damit haben wir eine nichttriviale Linearkombination von [mm] $a_1,\ldots,a_n,v$ [/mm] für den Nullvektor gefunden (es ist ja [mm] $t_{n+1}=-1 \not=0$) [/mm] und daher muss $A'=A [mm] \cup\{v\}$ [/mm] linear abhängig sein.
> ist das jetzt besser so??? :/
S.o.: Im ersten Teil hat etwas gefehlt. Übrigens, ich habe extra nochmal in Bosch, Lineare Algebra, nachgeguckt, geht das auch aus einem Satz hervor, der meist in folgender Form in der LA auftaucht (hier nur die Kurzform) (zugegeben, mein letzter Satz klingt komisch - was ich sagen will, ist: Wenn man den folgenden Satz genau liest, erkennt man, dass bei Dir im ersten Beweisteil "etwas gefehlt hat": Du mußt diesen um das obenstehende Argument, welches ich angedeutet/ergänzt habe, ergänzen!):
[mm] $$\{x_1,...,x_n\}$$
[/mm]
ist genau dann linear abhängig, wenn es ein $j [mm] \in \{1,\ldots,n\}$ [/mm] gibt so, dass [mm] $x_j$ [/mm] als Linearkombination der "restlichen" Vektoren geschrieben werden kann.
Bei Dir oben sagt dieser Satz dann auch nur, wenn [mm] $A'\,$ [/mm] linear abhängig ist, dass eines der Elemente aus [mm] $A'\,$ [/mm] als Linearkombination "der restlichen" geschrieben werden kann. Dass Du dort explizit auch [mm] $v\,$ [/mm] hernehmen kannst, geht nur, weil [mm] $A\,$ [/mm] vorher als linear unabhängig vorausgesetzt wurde.
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:31 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Die Aufgaben verstehe ich nicht !
Es sind also [mm] a_1,...,a_n \in [/mm] V und [mm] A=\{a_1,...,a_n\}
[/mm]
Und was bedeutet jetzt A'= A $ [mm] \subset [/mm] $ {v} ???
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:54 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Die Aufgaben verstehe ich nicht !
>
> Es sind also [mm]a_1,...,a_n \in[/mm] V und [mm]A=\{a_1,...,a_n\}[/mm]
>
> Und was bedeutet jetzt A'= A [mm]\subset[/mm] {v} ???
das ist eine gute Frage... wenn ich es so verstehe, wie es da steht, ist [mm] $A\,$ [/mm] eine "sehr langweilige Menge".
Gruß,
Marcel
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> Die Aufgaben verstehe ich nicht !
Hallo,
ging mir auch so.
>
> Es sind also [mm]a_1,...,a_n \in[/mm] V und [mm]A=\{a_1,...,a_n\}[/mm]
>
> Und was bedeutet jetzt A'= A [mm]\subset[/mm] {v} ???
Ich hab' eben mal Abraxas gefragt.
Er krächst: "Dreh dich halt um 90° um eine passende Achse."
Aha!
A'= A [mm] $\subset$ [/mm] {v} bedeutet heute mal zur Abwechslung:
A'= A [mm] $\cup$ [/mm] {v}.
Wir sollen halt flexibel bleiben. Nicht verkalken.
LG Angela
>
> FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:31 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
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> > Die Aufgaben verstehe ich nicht !
>
> Hallo,
>
> ging mir auch so.
>
> >
> > Es sind also [mm]a_1,...,a_n \in[/mm] V und [mm]A=\{a_1,...,a_n\}[/mm]
> >
> > Und was bedeutet jetzt A'= A [mm]\subset[/mm] {v} ???
>
> Ich hab' eben mal Abraxas gefragt.
> Er krächst: "Dreh dich halt um 90° um eine passende
> Achse."
>
> Aha!
>
> A'= A [mm]\subset[/mm] {v} bedeutet heute mal zur Abwechslung:
> A'= A [mm]\cup[/mm] {v}.
>
> Wir sollen halt flexibel bleiben. Nicht verkalken.
Hallo Angela,
herzlichen Dank ... Meine Frau Gemahlin beklagt in der letzte Zeit auch immer häufiger meine mangelnde Flexibilität ....
Dein Abraxas ist schon ein tolles Kerlchen.
Gruß FRED
>
> LG Angela
>
> >
> > FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:56 Mo 23.01.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1.
> V ist ein K Vektorraum, A = [mm]{a_{1},...,a_{n}} \subset[/mm] V
> eine linear unabhängige Teilmenge, U = Aufspann(A) und v
> [mm]\in[/mm] V.
> Zeige: A'= A [mm]\subset[/mm] {v} ist linear abhängig genau dann,
> wenn v [mm]\in[/mm] U.
meinst Du $A':=A [mm] \cup \{v\}$? [/mm] (Wenn ja, klick mal auf die Formel, um zu sehen, wie das Vereinigungssymbol geschrieben wird.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Mo 23.01.2012 | | Autor: | perl |
stimmt... ja in der aufgabe steht es so wie angegeben... macht aber nur als vereinigung sinn...
ich habs auch als vereinigung aufgefasst un dnicht genau genug hingeschaut!
krass... ist mir wirklich nicht aufgefalln :D
aber stimmt der beweis denn so an sich?
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