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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:41 Mo 01.12.2008 | | Autor: | Peano08 |
| Aufgabe | Gegeben seien im [mm] $\IQ$-Vektorraum $\IQ_3[x]$ [/mm] die Teilmengen $U:= [mm] \left\{p \in\IQ_3[x] ;\ p(-1) = 0\right\}$ [/mm] und [mm] $W:=\left\{p \in\IQ_3[x] ;\ p(2) = 0\right\}$. [/mm]
a) Zeigen Sie, dass $U$ und $W$ Unterräume von [mm] $\IQ_3[x]$ [/mm] sind.
b) Bestimmen Sie die Basen für $U$ und $W$.
c) Berechnen Sie die Dimension von $U$, $W$, [mm] $U\cap [/mm] W$ und $U+W$. |
a) und b) sind schon fertig,
a) U, W nicht leer, und U, W a+b [mm] \in\ [/mm] U, W und [mm] \alpha*a\in\U, [/mm] W
b) U: [mm] x^3+1; x^2-1; [/mm] x+1
W: [mm] x^3-8; x^2-4; [/mm] x-2
c) Dimension von U und W ist jeweils 3.
Wie bestimme ich nun die dimension vom schnitt und der Summe? Habe keinen Ansatz, bist auf "gleichsetzten beim schnitt mit koeffizienten"? da kommt allerdings nichts brauchbares raus
Danke schon mal für die Hilfe.
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> Gegeben seien im [mm]\IQ[/mm]-Vektorraum [mm]\IQ_3[x][/mm] die Teilmengen [mm]U:= \left\{p \in\IQ_3[x] ;\ p(-1) = 0\right\}[/mm]
> und [mm]W:=\left\{p \in\IQ_3[x] ;\ p(2) = 0\right\}[/mm].
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> a) Zeigen Sie, dass [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm] Unterräume von [mm]\IQ_3[x][/mm] sind.
> b) Bestimmen Sie die Basen für [mm]U[/mm] und [mm]W[/mm].
> c) Berechnen Sie die Dimension von [mm]U[/mm], [mm]W[/mm], [mm]U\cap W[/mm] und [mm]U+W[/mm].
> a) und b) sind schon fertig,
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> a) U, W nicht leer, und U, W a+b [mm]\in\[/mm] U, W und
> [mm]\alpha*a\in\U,[/mm] W
> b) U: [mm]x^3+1; x^2-1;[/mm] x+1
> W: [mm]x^3-8; x^2-4;[/mm] x-2
>
> c) Dimension von U und W ist jeweils 3.
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> Wie bestimme ich nun die dimension vom schnitt und der
> Summe? Habe keinen Ansatz, bist auf "gleichsetzten beim
> schnitt mit koeffizienten"? da kommt allerdings nichts
> brauchbares raus
Hallo,
wenn Du die basen von U und W zusammennimmst, hast Du ja ein Erzeugendensystem von U+W.
Die Dimension von U+W kann ja maximal =4 sein, und sie muß mindestens =3 sein.
Diese Frage ist also zu klären, und sie läuft darauf hinaus, ob es ein Element in W gibt, welches nicht in U ist.
Wenn Du die Dimension von U+Whast, kannst Du mit dem Satz arbeiten, der Dir etwas über die Dimensionen von Summen und Schnitten erzählt.
Gruß v. Angela
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