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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Unterraum, bei Sattelpunkt
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Unterraum, bei Sattelpunkt: Tipp bzw Ansatzhilfe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:51 Do 19.03.2015
Autor: Phi.W

Aufgabe 1
Sei P3 der Vektorraum aller Polynome vom Grade <= 3.

a.) Zeigen Sie, dass U, definiert als Menge aller Polynome vom Grade <= 3, die bei x=1 einen Sattelpunkt (waagrechte Wendetangente) haben, ein Unterraum von P3 ist. (Keine Prosaargumentation)

b.) Ermitteln Sie eine Basis für U

c.) Bestimmen Sie die Dimension von U.

Aufgabe 2
-

Schönen Guten Tag,

Als erstes:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Zu meiner Frage:
Ich hab kein problem den Unterraum bzw die Basis zu berechnen, mein problem ist der Ansatz:

Ich weiß das die Polynome im 3. Grad sind sprich
a3x³+a2x²+a1x+ao ist.

und ich kenne die Eigenschaften eines Sattelpunkts
f′′(x0)=0 , f′′′(x0)≠0 und damit sie waagerecht ist f'(x0)=0

Wie kann ich mir aus diesen 2 Ansätzen z.b ein Gleichungssystem Basteln um an die Basis ran zu kommen, oder reicht es Bereits
I f'(x) = 0
II  f′(x)=0
III f'''(x) = ? (und dort weiß ich nicht genau wie ich den Gleichsetzen soll, falls dieser Ansatz stimmt)

MfG

Philipp

        
Bezug
Unterraum, bei Sattelpunkt: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:01 Do 19.03.2015
Autor: angela.h.b.


> Sei P3 der Vektorraum aller Polynome vom Grade <= 3.
>  
> a.) Zeigen Sie, dass U, definiert als Menge aller Polynome
> vom Grade <= 3, die bei x=1 einen Sattelpunkt (waagrechte
> Wendetangente) haben, ein Unterraum von P3 ist.

Hallo,

[willkommenmr].

Das funktioniert aber nur, wenn man meint, daß das konstante Polynom [mm] p(x)=a_0 [/mm]  an der Stelle x=1 einen Sattelpunkt hat. Denn wenn p(x)=0 keinen Sattelpunkt hat, ist ja ein wesentliches Unterraumkriterium nicht erfüllt!


Die Polynome p die in U sind, haben folgende Eigenschaften:

[mm] p(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 [/mm]
p'(1)=0
p''(1)=0

Also bekommen wir

[mm] 0=3a_3+2a_2+a_1 [/mm]
[mm] 0=6a_3+2a_2 [/mm]

also muß sein

[mm] a_2=-3a_3 [/mm] und
[mm] a_1=3a_3, [/mm]

d.h. sie sind von der Gestalt

[mm] p(x)=a_3x^3-3a_3x^2+3a_3x+a_0=a_3(x^3-3x^2+3)+a_0*1, [/mm]

und nun solltest Du eine Basis sehen.

LG Angela




> (Keine
> Prosaargumentation)
>  
> b.) Ermitteln Sie eine Basis für U
>  
> c.) Bestimmen Sie die Dimension von U.
>  -
>  Schönen Guten Tag,



> Zu meiner Frage:
>  Ich hab kein problem den Unterraum bzw die Basis zu
> berechnen, mein problem ist der Ansatz:
>  
> Ich weiß das die Polynome im 3. Grad sind sprich
>  [mm] a_3x^3+a_2x12+a_1x+a_o [/mm] ist.

>  
> und ich kenne die Eigenschaften eines Sattelpunkts
>  f''(x0)=0 , f'''(x0)≠0 und damit sie

die Tangente

> waagerecht ist f'(x0)=0


>  
> Wie kann ich mir aus diesen 2 Ansätzen z.b ein
> Gleichungssystem Basteln um an die Basis ran zu kommen,
> oder reicht es Bereits
>  I f'(x) = 0
>  II  f''(x)=0

>  III f'''(x) = ? (und dort weiß ich nicht genau wie ich
> den Gleichsetzen soll, falls dieser Ansatz stimmt)
>  
> MfG
>  
> Philipp


Bezug
                
Bezug
Unterraum, bei Sattelpunkt: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:21 Do 19.03.2015
Autor: Phi.W

Bedankt! Hab Vollkommen übersehen das x0 bereits vergeben ist, durch den Unterraum :)

MfG

Philipp

Bezug
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