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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Di 24.03.2009 | | Autor: | Phorkyas |
| Aufgabe | Seien V,W endlichdimensionale Vektorräume über K.
Bewiesen sie:
Haben zwei Unterräume [mm]T_{1},T_{2} \subseteq V[/mm] mit [mm]T_{1} \subseteq T_{2}[/mm] unter [mm]\varphi \in Hom(V,W)[/mm] dasselbe Bild, so existiert ein Unterraum [mm]U\subseteq Ker(\varphi)[/mm] mit[mm] U \oplus T_{1} = T_{2}[/mm]. |
Grüße
Bisherige Ansätze:
Zu Zeigen:
[mm]I) U \oplus T_{1} = T_{2}[/mm]
[mm]Ia)U \cap T_{1} = \{0\}[/mm]
[mm]Ib)U + T_{1} = T_{2} [/mm]
[mm]II)U\subseteq Ker(\varphi)[/mm]
Idee:
Wir wählen Basis [mm]v_1, \dots ,v_r[/mm] von T1 und ergänzen diese zu einer Basis [mm]v_1, \dots , v_r , v_{r+1}, \dots ,v_s[/mm]von T2.
Die ergänzten Vektoren wollen wir als Basis von U identifizieren.
Es gilt dann auf jedenfall schon, dass
[mm]span(v_1, \dots ,v_r) \oplus span(v_{r+1}, \dots ,v_s) = T_2[/mm].
Das kann man noch etwas ausformulieren, aber es kommen recht schnell die Bedingungen Ia),Ib) raus.
Um nun II) zu zeigen wäre es hilfreich, wenn folgendes gelten würde:
[mm]\varphi(T_2)=\varphi(U \oplus T_1) = \varphi(U)+\varphi(T_1)[/mm]
Aber ich weis eben nicht ob die Hommomorphieeigenschaften auch für Summen zischen Vektorräumen gelten.
Würde dies gelten, so wüsste ich n.V. dass die Bilder von T2 und T1 gleich sind. Damit würde das Bild von U auf die 0 abgebildet werden und alles wäre gezeigt.
Danke für die Hilfe
Phorkyas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 Di 24.03.2009 | | Autor: | pelzig |
> Seien V,W endlichdimensionale Vektorräume über K.
> Bewiesen sie:
> Haben zwei Unterräume [mm]T_{1},T_{2} \subseteq V[/mm] mit [mm]T_{1} \subseteq T_{2}[/mm]
> unter [mm]\varphi \in Hom(V,W)[/mm] dasselbe Bild, so existiert ein
> Unterraum [mm]U\subseteq Ker(\varphi)[/mm] mit[mm] U \oplus T_{1} = T_{2}[/mm].
>
> Grüße
>
> Bisherige Ansätze:
> Zu Zeigen:
> [mm]I) U \oplus T_{1} = T_{2}[/mm]
> [mm]Ia)U \cap T_{1} = \{0\}[/mm]
> [mm]Ib)U + T_{1} = T_{2}[/mm]
>
> [mm]II)U\subseteq Ker(\varphi)[/mm]
>
> Idee:
> Wir wählen Basis [mm]v_1, \dots ,v_r[/mm] von T1 und ergänzen diese
> zu einer Basis [mm]v_1, \dots , v_r , v_{r+1}, \dots ,v_s[/mm]von
> T2.
> Die ergänzten Vektoren wollen wir als Basis von U
> identifizieren.
> Es gilt dann auf jedenfall schon, dass
> [mm]span(v_1, \dots ,v_r) \oplus span(v_{r+1}, \dots ,v_s) = T_2[/mm].
> Das kann man noch etwas ausformulieren, aber es kommen
> recht schnell die Bedingungen Ia),Ib) raus.
Richtig. Aber im Allgemeinen wird [mm] $U\not\subseteq \ker\varphi$ [/mm] sein, da musst du dich schon etwas mehr anstrengen.
> Um nun II) zu zeigen wäre es hilfreich, wenn folgendes
> gelten würde:
> [mm]\varphi(T_2)=\varphi(U \oplus T_1) = \varphi(U)+\varphi(T_1)[/mm]
Das gilt.
> Aber ich weis eben nicht ob die Hommomorphieeigenschaften
> auch für Summen zischen Vektorräumen gelten.
> Würde dies gelten, so wüsste ich n.V. dass die Bilder von
> T2 und T1 gleich sind. Damit würde das Bild von U auf die 0
> abgebildet werden und alles wäre gezeigt.
Nein, wenn z.B. [mm] $\varphi(U)=\varphi(T_1)$ [/mm] ist, dann ist die obige Gleichung auch erfüllt...
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Di 24.03.2009 | | Autor: | pelzig |
Ok wie wäre es mit folgender Idee:
Wir zeige zunächst folgendes
Lemma: Ist [mm] $\varphi:V\to [/mm] W$ linear, [mm] $S\subset T\subset [/mm] V$ Untervektorräume mit [mm] $S\ne [/mm] T$ sowie [mm] $\varphi(S)=\varphi(T)$, [/mm] so ist [mm] $\ker\varphi\cap T\setminus S\ne\emptyset$.
[/mm]
Beweis: Nach Voraussetzung gibt es [mm] $v\in T\setminus [/mm] S$. Wegen [mm] \varphi(S)=\varphi(T) [/mm] ist [mm] \varphi(v)=\varphi(s) [/mm] für ein [mm] $s\in [/mm] S$, also [mm] v-s\in\ker\varphi. [/mm] Es ist aber auch [mm] $v-s\in T\setminus [/mm] S$, denn wäre [mm] $v-s\in [/mm] S$, so auch [mm] $(v-s)+s=v\in [/mm] S$, Widerspruch. Also ist [mm] $\ker\varphi\cap T\setminus S\ne\emptyset$.
[/mm]
Mit diesem Lemma kannst du nun die Aufgabe lösen: Gegeben [mm] \varphi:V\to [/mm] W linear für die endlich-dimensionalen Vektorräume V und W, [mm] $T_1\subset T_2\subset [/mm] V$ Untervektorräume mit [mm] $\varphi(T_1)=\varphi(T_2)$.
[/mm]
Behauptung: [mm] $T_2=T_1\oplus [/mm] U$ für einen Untervektorraum [mm] U\subset\ker\varphi.
[/mm]
Beweis: Wir starten mit dem Untervektorraum [mm] U^0:=T_1. [/mm] Ist [mm] U^0=T_2, [/mm] so ist [mm] $T_2=T_1\oplus\{0\}$ [/mm] und wir sind fertig. Sei nun also [mm] $U^0\subsetneq T_2$. [/mm] Nach obigem Lemma gibt es ein [mm] $u_1\in\ker\varphi\cap T_2\setminus U^0$. [/mm] Dann können wir [mm] U^1:=U^0 [/mm] + [mm] \langle u_1\rangle [/mm] bilden, und diese Summe ist direkt weil [mm] $u_1\not\in U^0$. [/mm] Nun ist [mm] $U^0\subsetneq U^1$, [/mm] insbesonder [mm] \dim U^1=1+\dim U^0 [/mm] und es gilt [mm] $\varphi(U^1)=\varphi(T_2)$. [/mm] Diesen Schritt können wir nun immer wieder ausführen und erhalten so sukzessive [mm] $u_0, u_1, [/mm] ..., [mm] u_l\in\ker\varphi$, [/mm] bis irgendwann [mm] $T^l=T_2$ [/mm] ist (das passiert wegen der endlichen Dimension von [mm] T_2) [/mm] und [mm] $U:=\langle u_0,...,u_l\rangle$ [/mm] erfüllt [mm] $T_2=T_1\oplus [/mm] U$.
Insbesondere sieht man in dem Beweis, dass bereits [mm] $\dim T_2<\infty$ [/mm] reicht.
Falls jemand einen einfacheren Weg gefunden hat, würde es mich freuen davon zu erfahren.
Gruß, Robert
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