Unterraum ist K-Vektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei V ein K-Vektorraum und U ein Unterraum von V. Zeigen Sie: U ist ein K-Vektorraum. |
Hallo zusammen,
ich darf mal wieder Beweise führen und habe hier leider keinen konkreten Ansatz.
Die grundlegende (zu zeigende) Aussage der Aufgabe ist ja, dass der Unterraum eines K-Vektorraums ein K-Vektorraum ist.
Kann ich mir jetzt vorstellen, dass die Eigenschaften eines K-Vektorraums gewissermaßen an den Unterraum vererbt weden?
Ein K-Vektorraum ist ja ein Vektorraum über einem Körper [mm]\IK[/mm] mit zwei Verknüpfungen, der Vektoraddition und der Skalarmultiplikation.
Eine Teilmenge eines Vektorraums heißt Teilraum, wenn diese unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist.
Also hat der Unterraum entsprechend viele gemeinsame Eigenschaften mit dem K-Vektorraum. Also bzgl. der Vektoraddition die Kommutativität, Assoziativität usw. und bzgl. der Skalarmultiplikation z. B. die Distributivgesetze.
Aber wie soll ich meinen Beweis nun beginnen? Könnt Ihr mir da einen Ansatz geben?
Viele Grüße
Patrick
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> Sei V ein K-Vektorraum und U ein Unterraum von V. Zeigen
> Sie: U ist ein K-Vektorraum.
>
>
Hallo,
> Die grundlegende (zu zeigende) Aussage der Aufgabe ist ja,
> dass der Unterraum eines K-Vektorraums ein K-Vektorraum
> ist.
Ja, genau.
>
> Kann ich mir jetzt vorstellen, dass die Eigenschaften eines
> K-Vektorraums gewissermaßen an den Unterraum vererbt
> weden?
Du sollst Dir das nicht nur vorstellen, sondern Du sollst es hier zeigen.
>
> Ein K-Vektorraum ist ja ein Vektorraum über einem Körper
> [mm]\IK[/mm] mit zwei Verknüpfungen, der Vektoraddition und der
> Skalarmultiplikation,
welche gewisse Eigenschaften haben.
> Eine
nichtleere
>Teilmenge eines Vektorraums heißt Teilraum, wenn
> diese unter Vektoraddition und Skalarmultiplikation
> abgeschlossen ist.
Ja.
> Aber wie soll ich meinen Beweis nun beginnen? Könnt Ihr
> mir da einen Ansatz geben?
Naja, Du hast ja in Worten schon angefangen.
Notier Dir, was alles für den K-VR V gilt, bzw. schlag Dir die entsprechende Seite im Skript auf.
Notier Dir, was für den Unterraum U gilt - Du hast es oben ja schon in Worten gesagt.
Damit hast Du die Voraussetzungen.
Jetzt schreibst Du Dir auf, was alles zu zeigen ist, daß U nämlich sämtliche VR-Axiome erfüllt.
Nun kann der Beweis beginnen: Du arbeitest eine VR-Eigenschaft nach der anderen ab und achtest dabei darauf, jeden Schritt, den Du gehst, mit den eingangs notierten Voraussetzungen zu begründen.
LG Angela
>
> Viele Grüße
> Patrick
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Hallo,
danke für die Hilfe.
Lang ist's her, aber in der Zwischenzeit habe ich eventuell eine Lösung gefunden. Ich tippe einfach mal, wie ich meinen Beweis aufbauen würde:
Für Vektorräume gelten die 8 Axiome:
Vektoraddition:
1) Kommutativität
2) Assoziativität
3) Existenz des neutralen Elements (der Nullvektor)
4) Existenz des inversen Elements (zu a ist das inv. Elem. -a)
Skalarmultiplikation:
5) k(ha) = (kh)a
6) 1a = a
7) k(a+b) = ka + kb (Distributivgesetz)
8) (k+h)a = ka + ha (Distributivgesetz)
Ein Untervektorraum enthält den Nullvektor und ist abgeschlossen auf Vektoraddition und Skalarmultiplikation.
Gerade wegen dieser Abgeschlossenheit (und weil U eine Teilmenge von V ist) sind alle der aufgeführten Axiome bis auf Axiom 3 und 4 automatisch auch im Untervektorraum U gültig – ist das richtig?
Für den Beweis von 3 nutze ich dann, dass V den Nullvektor als neutrales Element enthält, der Nullvektor auch in U ist und U somit den Nullvektor aus V als neutrales Element besitzt.
Bei 4 nutze ich die Eigenschaft des Vektorraums, dass (-1)a = -a sowie die Abgeschlossenheit auf Skalarmultiplikation um zu zeigen, dass das inverse Element eines beliebigen Elementes aus U wieder in U liegt und damit für jedes Element in U ein inverses Element in U existiert.
Ist das ein korrektes Vorgehen (abgesehen davon, dass das natürlich noch kein formaler Beweis ist)?
Viele Grüße
Patrick
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> Hallo,
>
> danke für die Hilfe.
> Lang ist's her, aber in der Zwischenzeit habe ich
> eventuell eine Lösung gefunden. Ich tippe einfach mal, wie
> ich meinen Beweis aufbauen würde:
>
> Für Vektorräume gelten die 8 Axiome:
>
> Vektoraddition:
> 1) Kommutativität
> 2) Assoziativität
> 3) Existenz des neutralen Elements (der Nullvektor)
> 4) Existenz des inversen Elements (zu a ist das inv. Elem.
> -a)
>
> Skalarmultiplikation:
> 5) k(ha) = (kh)a
> 6) 1a = a
> 7) k(a+b) = ka + kb (Distributivgesetz)
> 8) (k+h)a = ka + ha (Distributivgesetz)
>
> Ein Untervektorraum enthält den Nullvektor und ist
> abgeschlossen auf Vektoraddition und Skalarmultiplikation.
>
> Gerade wegen dieser Abgeschlossenheit (und weil U eine
> Teilmenge von V ist) sind alle der aufgeführten Axiome bis
> auf Axiom 3 und 4 automatisch auch im Untervektorraum U
> gültig – ist das richtig?
Hallo,
"weil U eine Teilmenge von V ist" ist die richtige Begründung.
Das reicht auch, Du mußt da nichts mehr vorrechnen.
>
> Für den Beweis von 3 nutze ich dann, dass V den Nullvektor
> als neutrales Element enthält, der Nullvektor auch in U
> ist und U somit den Nullvektor aus V als neutrales Element
> besitzt.
>
> Bei 4 nutze ich die Eigenschaft des Vektorraums, dass (-1)a
> = -a sowie die Abgeschlossenheit auf Skalarmultiplikation
> um zu zeigen, dass das inverse Element eines beliebigen
> Elementes aus U wieder in U liegt und damit für jedes
> Element in U ein inverses Element in U existiert.
Ja.
>
> Ist das ein korrektes Vorgehen
Ja.
LG Angela
> (abgesehen davon, dass das
> natürlich noch kein formaler Beweis ist)?
>
> Viele Grüße
> Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:07 Di 08.01.2013 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo Angela,
> "weil U eine Teilmenge von V ist" ist die richtige
> Begründung.
> Das reicht auch, Du mußt da nichts mehr vorrechnen.
super. Einmal mehr vielen Dank für Deine Hilfe!
Gruß
Patrick
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:44 Fr 11.01.2013 | | Autor: | zjay |
warum gelten 3. und 4. nicht automatisch für einen Unterraum? Schließlich ist U [mm] \subset [/mm] V und das neutrale Element der Addition wie auch das inverse Element der Addition von V erfüllen dieselbe Funktion in U, oder nicht?
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> warum gelten 3. und 4. nicht automatisch für einen
> Unterraum? Schließlich ist U [mm]\subset[/mm] V und das neutrale
> Element der Addition wie auch das inverse Element der
> Addition von V erfüllen dieselbe Funktion in U, oder
> nicht?
Hallo,
Du mußt sicherstellen, daß das neutrale Element wirklich in U enthalten ist, ebenso wie Du feststellen mußt, ob wirklich zu jedem Element von U das Inverse auch in U liegt.
LG Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Fr 11.01.2013 | | Autor: | zjay |
Du hast gerad kein Beispiel für einen Fall, wo das neutrale / inverse Element nicht enthalten ist, parat, oder?
mfg,
zjay
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> Du hast gerad kein Beispiel für einen Fall, wo das
> neutrale / inverse Element nicht enthalten ist, parat,
> oder?
Hallo,
da kann man sich beliebige Beispiele basteln.
Nimm z.B. [mm] V=\IR^2.
[/mm]
Wenn wir nun [mm] U_1:=\IR^2\setminus \{\vektor{0\\0}\} [/mm] betrachten, haben wir keinen Unterraum.
Gut, ein weniger doofes Beispiel:
[mm] U_2:=\{\vektor{x_1\\x_2}\in \IR^2| x_1+x_2=5\}
[/mm]
Oder betrachte [mm] U_3:=\{\vektor{x_1\\x_2}\in \IR^2| x_1\ge 0\}.
[/mm]
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:05 Di 08.01.2013 | | Autor: | ValeriaMM |
Hallo!
Also wir haben es in der Vorlesung bewiesen, indem wir die drei Axiome von K-Vektorraum überprüft haben. Nämlich:
1. (V,+) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist 0.
2. Distributivgesetz: für alle [mm] t,s\in\ [/mm] K und [mm] v,w\in\ [/mm] V gilt:
(v+w)t=vt+wt und (t+s)v=tv+sv
3. Und für alle [mm] t,s\in\K [/mm] und [mm] v\in\ [/mm] V gilt: t*(s*v)=(t*s)*v und 1*v=v
Wenn du die Axiome für U überprüfst, dann beweisst du, dass U ein K-Vektorraum ist.
LG Valeria
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:12 Di 08.01.2013 | | Autor: | Apfelchips |
Hallo Valeria,
> Also wir haben es in der Vorlesung bewiesen, indem wir die
> drei Axiome von K-Vektorraum überprüft haben. Nämlich:
> 1. (V,+) ist eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element
> ist 0.
> 2. Distributivgesetz: für alle [mm]t,s\in\[/mm] K und [mm]v,w\in\[/mm] V
> gilt:
> (v+w)t=vt+wt und (t+s)v=tv+sv
> 3. Und für alle [mm]t,s\in\K[/mm] und [mm]v\in\[/mm] V gilt:
> t*(s*v)=(t*s)*v und 1*v=v
>
> Wenn du die Axiome für U überprüfst, dann beweisst du,
> dass U ein K-Vektorraum ist.
ja, genau – im Prinzip hab ich's auch so gelöst. Das erste Axiom lässt sich ja nochmal aufdröseln (Assoziativität, Kommutativität, neutrales Element, inverses Element). 
Gruß
Patrick
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