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Unterraum zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Mo 16.05.2016
Autor: Lars.P

Aufgabe
Sei [mm] U_{1} [/mm] der Unterraum von [mm] \IR^_{4}, [/mm] der von den Vektoren (1,1,0,0) und (1,2,4,0) erzeugt wird. Ferner sei [mm] U_{2} [/mm] = [mm] ={(x_{1},....,x_{4})| x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0, x_{1}-x_{4}} [/mm]
a) Zeigen Sie, dass U{2} ein Unterraum von [mm] \IR^_{4} [/mm] ist.
b) Berechnen Sie [mm] U_{1}\cap U_{2} [/mm] und [mm] U_{1}+U_{2} [/mm]

Zu a) Könnte man nicht sagen, dass [mm] U_{2} [/mm] nicht die Lösungsmenge eines homogenen LGS ist und wäre mit a fertig? Wenn nicht müsste man ja zeigen dass der Nullvektor drin liegt und die Unterraumkriterien zeigen. Bei den hätte ich ein Problem das zu zeigen. Ich weiß man muss zeigen ist nicht leer und abgeschlossenheit bezüglich addition und multiplikation, aber mehr dazu kann ich nicht sagen.
Zu b) hätte ich überhaupt keine Ahnung


        
Bezug
Unterraum zeigen: Korrektur
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:45 Mo 16.05.2016
Autor: Lars.P

In der Aufgabe steht [mm] x_{1}-x_{4} [/mm] da fehlt  [mm] x_{1}-x_{4}=0 [/mm]

Bezug
        
Bezug
Unterraum zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Mo 16.05.2016
Autor: hippias


> Sei [mm]U_{1}[/mm] der Unterraum von [mm]\IR^_{4},[/mm] der von den Vektoren
> (1,1,0,0) und (1,2,4,0) erzeugt wird. Ferner sei [mm]U_{2}[/mm] =
> [mm]={(x_{1},....,x_{4})| x_{1}+3x_{2}-x_{3}=0, x_{1}-x_{4}}[/mm]
>  
> a) Zeigen Sie, dass U{2} ein Unterraum von [mm]\IR^_{4}[/mm] ist.
>  b) Berechnen Sie [mm]U_{1}\cap U_{2}[/mm] und [mm]U_{1}+U_{2}[/mm]
>  Zu a) Könnte man nicht sagen, dass [mm]U_{2}[/mm] nicht die
> Lösungsmenge eines homogenen LGS ist und wäre mit a
> fertig?

Ja.

> Wenn nicht müsste man ja zeigen dass der
> Nullvektor drin liegt und die Unterraumkriterien zeigen.
> Bei den hätte ich ein Problem das zu zeigen. Ich weiß man
> muss zeigen ist nicht leer und abgeschlossenheit bezüglich
> addition und multiplikation, aber mehr dazu kann ich nicht
> sagen.

Wenn Du Schwierigkeiten hast die Unterraumbedingungen fuer dieses Beispiel direkt nachzupruefen, dann wuerde ich Dir raten es zur Uebung zu versuchen. Es ist nicht schwer.

>  Zu b) hätte ich überhaupt keine Ahnung
>  

Ich vermute, dass Du Basen von [mm] $U_{1}\cap U_{2}$ [/mm] und [mm] $U_{1}+ U_{2}$ [/mm] angeben sollst. Sollte nicht klar sein, dass beide Mengen Unterraeume sind, pruefe auch dies nach.

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Unterraum zeigen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:20 Di 17.05.2016
Autor: Lars.P

Schauen ob der Nullvektor gegeben ist.
Ist bei [mm] x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0. [/mm] Die gegebenen Gleichungen sind immer noch erfüllt. Spare mir das zeigen.

Addition
[mm] x\in U_{2} [/mm] y [mm] \inU_{2} [/mm]

[mm] x+y=\vektor{ x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}+ \vektor{y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4}} =\vektor{x_{1}+y_{1} \\ x_{2}+y_{2} \\ x_{3}+y_{3} \\ x_{4}+y_{4}} [/mm]

Schauen ob die Gleichung erfüllt sind.
[mm] (x_{1}+y_{1})-(x_{4}+y_{4})=0 [/mm]
Umformen zu [mm] (x_{1}-x_{4})+(y_{1}-y_{4})=0 [/mm] da x,y [mm] \in U_{2} [/mm] gilt die Gleichung.

[mm] (x_{1}+y_{1})+3(x_{2}+y_{2})-(x_{3}+y_{3})=0 [/mm]
Umformen zu [mm] (x_{1}+3x_{2}-x_{3})+(y_{1}+3y_{2}-y_{3})=0 [/mm] gilt auch da x,y [mm] \in U_{2} [/mm] gilt die Gleichung.
Damit hätte ich a) erledigt und gezeigt ist ein Unterraum

B)
Ich geh davon aus,dass [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 } [/mm] und [mm] \vektor{1\\ 2 \\ 4 \\ 0} [/mm] eine Basis von [mm] U_{1} [/mm] sind also muss ich die Basis von [mm] U_{2} [/mm] bestimmen.
Für [mm] U_{2} [/mm] löse ich die Gleichungen auf und bekomme den Lösungsvektor [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{1}+3x_{2} \\ x_{1}}, [/mm] den schreib ich um und zieh [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] auseinander. Ich erhalte dann also [mm] x_{1}\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}+x_{2}\vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 0} [/mm] also habe ich die Basis [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1},\vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 0}. [/mm]

[mm] U_{1}+U{2} [/mm] wäre dann { [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 1},\vektor{0 \\ 1 \\ 3 \\ 0},\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 },\vektor{1\\ 2 \\ 4 \\ 0} [/mm]  }

[mm] U_{1}\cap U_{2} [/mm] muss ich doch [mm] a*Vektor_{1}+b*Vektor_{2}+c*Vektor_{3}+d*Vektor_{4}=0Vektor. [/mm]

Gauß angewendet auf [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 3 &1\\ 0 & 0 & 0 & 1 } =\vektor{0\\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]  
Wenn ich das Löse bekomme ich nur [mm] \vektor{0\\ 0 \\ 0 \\ 0} [/mm]   als Lösung Raus. Also hab ich als Schnittmenge nur den Nullvektor als Lösung?

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Unterraum zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:18 Di 17.05.2016
Autor: hippias

Ohne es genau nachgerechnet zu haben sage ich, dass Deine Lösung vernünftig aussieht. Wenn alles richtig gerechnet ist, dann überlege Dir noch, was sich über [mm] $U_{1}+U_{2}$ [/mm] im Vergleich zu [mm] $\IR^{4}$ [/mm] sagen lässt.

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Unterraum zeigen: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:07 Di 17.05.2016
Autor: Lars.P

Ich würde jetzt sagen, dass [mm] U_{1}+U_{2} [/mm] nach komplett [mm] \IR^_{4} [/mm] aussieht. Habe wenn ich mich nicht verrechnet habe 4 L.u. Vektoren  und könnte ja durch 4 Vektoren alles darstellen.

Bezug
                                        
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Unterraum zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:49 Mi 18.05.2016
Autor: fred97


> Ich würde jetzt sagen, dass [mm]U_{1}+U_{2}[/mm] nach komplett
> [mm]\IR^_{4}[/mm] aussieht. Habe wenn ich mich nicht verrechnet habe
> 4 L.u. Vektoren  und könnte ja durch 4 Vektoren alles
> darstellen.

ja, [mm] U_1+U_2 =\IR^4 [/mm]

fred

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