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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:38 Di 27.09.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | a) Sei [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \sqrt{5}$ [/mm] in R. Zeige: [mm] [b]Z[/b]$+\alpha [/mm] $Z ist ein Unterring von R.
b) Sei [mm] $\beta [/mm] = [mm] \frac{1}{2}(1+\alpha)$. [/mm] Man zeige, dass [mm] $\textbf{Z}+\textbf{Z}\beta$ [/mm] ein Unterring von R ist.
c) Sei [mm] $\gamma [/mm] = [mm] \frac{1}{2} \alpha$. [/mm] Man zeige, dass [mm] [b]Z[/b]+[b]Z[/b]$\gamma$ [/mm] kein Unterring von R ist.
d) Sei [mm] $\delta [/mm] = [mm] \sqrt[3]{5}$ [/mm] in R. Man zeige, dass [mm] [b]Z[/b]+[b]Z[/b]$\delta$ [/mm] + [mm] [b]Z[/b]$\delta^{2}$ [/mm] ein Unterring von R ist. |
Hallo,
a) Sei $a,b [mm] \in \textbf{Z}+\alpha \textbf{Z} [/mm] ; a:= [mm] x+y\alpha [/mm] , b:= c+ [mm] d\alpha [/mm] : $
1. $a-b = [mm] ((x-c)+\alpha(y-d)) \in \textbf{Z}+\alpha\textbf{Z}$
[/mm]
2. $ab = [mm] (x+y\alpha)(c+d\alpha) [/mm] = [mm] xc+xd\alpha [/mm] + cy [mm] \alpha [/mm] + yd [mm] \alpha^{2} [/mm] = [mm] ((xc+yd\alpha^{2} [/mm] ) + [mm] \alpha(xd+cy)) \in \textbf{Z}+\alpha \textbf{Z}$ [/mm]
b) Sei $a,b [mm] \in \textbf{Z}+\alpha \textbf{Z} [/mm] ; a:= [mm] x+y\alpha [/mm] , b:= c+ [mm] d\alpha [/mm] : $
1. $a-b = [mm] ((x-c)+\beta(y-d)) \in \textbf{Z}+\beta\textbf{Z}$
[/mm]
2. $ab = [mm] (x+y\beta)(c+d\beta) [/mm] = [mm] xc+xd\beta [/mm] + cy [mm] \beta [/mm] + yd [mm] \beta^{2} [/mm] = [mm] ((xc+yd\beta^{2} [/mm] ) + [mm] \beta(xd+cy)) \in \textbf{Z}+\beta \textbf{Z}$ [/mm]
c) Sei $ a:= [mm] 1+\frac{\sqrt{5}}{2}, [/mm] b:= [mm] 0+\frac{3\sqrt{5}}{2}$ [/mm]
dann ist $ab = [mm] \frac{3\sqrt{5}}{2}(1+\frac{\sqrt{5}}{2}) \notin \textbf{Z}+ \textbf{Z}\gamma$
[/mm]
d) [mm] $\forall [/mm] a,b [mm] \in \textbf{Z}+\textbf{Z}\delta [/mm] + [mm] \textbf{Z}\delta^{2}; [/mm] a:= [mm] x+y\delta+ z\delta [/mm] ^{2} , b:= [mm] u+v\delta [/mm] + w [mm] \delta^{2}$
[/mm]
1.$ a-b= [mm] ((x-u)+(y-v)\delta [/mm] + [mm] (z-w)\delta^{2}) \in \textbf{Z}+\textbf{Z}\delta [/mm] + [mm] \textbf{Z}\delta^{2}$
[/mm]
2.$ ab = [mm] (x+y\delta+z\delta^{2})(u+v\delta+w\delta^{2}) [/mm] =(ux [mm] +xv\delta [/mm] + [mm] x\delta^{2} [/mm] + [mm] uy\delta [/mm] + [mm] vy\delta^{2} [/mm] + [mm] wy\delta^{3} [/mm] + [mm] uz\delta^{2}+vz\delta^{3}+wz\delta^{4}) [/mm] = [mm] ((ux+xv\delta+x\delta^{2}) [/mm] + [mm] \delta(uy+vy\delta+wy\delta^{2}) [/mm] + [mm] \delta^{2}(uz+vz\delta+wz\delta^{2})) \in \textbf{Z}+\textbf{Z}\delta [/mm] + [mm] \textbf{Z}\delta^{2}$
[/mm]
Ist das so OK?
Ich bin für jegliche Hilfestellung dankbar.
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:10 Mi 28.09.2011 | | Autor: | hippias |
> b) Sei [mm]a,b \in \textbf{Z}+\alpha \textbf{Z} ; a:= x+y\alpha , > b:= c+ d\alpha :[/mm]
Du meinst sicher [mm] $\beta$ [/mm] statt [mm] $\alpha$.
[/mm]
>
> 1. [mm]a-b = ((x-c)+\beta(y-d)) \in \textbf{Z}+\beta\textbf{Z}[/mm]
>
> 2. [mm]ab = (x+y\beta)(c+d\beta) = xc+xd\beta + cy \beta + yd \beta^{2} = ((xc+yd\beta^{2} ) + \beta(xd+cy)) \in \textbf{Z}+\beta \textbf{Z}[/mm]
>
Hier sollte man sicher noch ausfuehren, weshalb [mm] $\beta^{2}\notin \IZ+\IZ[\beta]$ [/mm] ist; besonders im Vergleich zu c. sieht man ja, dass es auch schief gehen kann, wenn man auch Brueche zulaesst.
>
>
> c) Sei [mm]a:= 1+\frac{\sqrt{5}}{2}, b:= 0+\frac{3\sqrt{5}}{2}[/mm]
>
> dann ist [mm]ab = \frac{3\sqrt{5}}{2}(1+\frac{\sqrt{5}}{2}) \notin \textbf{Z}+ \textbf{Z}\gamma[/mm]
>
Wenn man es ganz ausfuehrlich machen moechte, koennte man noch schreiben: Angenommen es gibt [mm] $x,y\in \IZ$ [/mm] mit [mm] $\frac{3\sqrt{5}}{2}(1+\frac{\sqrt{5}}{2})= x+\frac{\sqrt{5}}{2} [/mm] y$ und daraus einen Widerspruch ableiten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:06 Mi 28.09.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo hippias,
vielen Dank fürs Drüberschauen!
Gruss
kushkush
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