Unterschied < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Weiß jemand von euch, wo man im Internet eine (einfache) Übersicht über die Unterschiede von
Brownsche Bewegung,
geometrische Brownsche Bewegung,
Wiener-Prozess, Gauß-Wiener-Prozess,
Standard-Wiener-Prozess,..
findet? In jedem Artikel /Buch steht was anderes und ich (der nicht viel stochastisches Hintergrundwissen hat) weiß nicht, was was ist.
Danke.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:00 Do 11.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Stefan!
Also, zunächst einmal sind "Wiener-Prozess", "Gauß-Wiener-Prozess" und "Brownsche Bewegung" alles Synonyme.
Eine Definition findest du etwa hier in meinem Vorlesungsskript (Seite 3/4).
Ich habe dort allerdings sehr starke Anforderungen an den Prozess gestellt. Ab und zu fordert man nur "fast sicher stetige Pfade" (was im gewissen Sinne "technisch besser" ist, da dann Modifikationen Brownscher Bewegungen immer noch Brownsche Bewegungen sind). Außerdem kann man die Forderung [mm] $W_0=0$ [/mm] auch fallenlassen und eine beliebige Anfangsverteilung für den Prozess zulassen.
Fordert man explizit [mm] $W_0=0$, [/mm] dann spricht man häufig von einer normalen Brownschen Bewegungen oder einem Standard-Wiener-Prozess.
Ich hoffe ich konnte dir weiterhelfen. Frage bei Unklarheiten bitte nach.  In jedem Falle empfehle ich dir die Lektüre des obigen Skripts.
Was ist nun eine "geometrische Brownsche Bewegung"?
Ist [mm] $(W_t)_{t\ge 0}$ [/mm] eine (normale) Brownsche Bewegung, dann ist für [mm] $\mu \in \IR$ [/mm] und [mm] $\sigma \in \IR$, $\sigma>0$,
[/mm]
[mm] $(S_t)_{t \ge 0} [/mm] = [mm] \left( S_0 \cdot e^{(\mu - \frac{1}{2} \sigma^2)t + \sigma W_t} \right)_{t\ge 0}$
[/mm]
eine geometrische Brownsche Bewegung.
Hierbei heißt [mm] $\mu$ [/mm] der Drift (=Driftkoeffizient) und [mm] $\sigma$ [/mm] die Volatilität (=Diffusionskoeffizient) der geometrischen Brownschen Bewegung. $S$ genügt der stochastischen Differentialgleichung
[mm] $dS_t [/mm] = [mm] S_t \mu\, [/mm] dt + [mm] S_t \sigma \, dW_t$,
[/mm]
die man manchmal unexakt als
[mm] $dS_t/S_t [/mm] = [mm] \mu\, [/mm] dt + [mm] \sigma \, dW_t$
[/mm]
schreibt.
Viele Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Fr 12.08.2005 | | Autor: | KeTa |
Hallo,
ich habe eine Anschlussfrage zu der gegebenen Definition von Wiener Prozess / Brownsche Bewegung.
Ich habe den Wiener Prozess bisher nach ausgiebiger Literaturrecherche für mich persönlich als Spezialfall der Brownschen Bewegung gesehen, mit dem Unterschied in dem Erwartungswert [mm] \mu [/mm] liegend. Während beim WP der Erwartungswert immer Null ist, kann er bei der BB auch andere Werte annehmen und somit einen positiven/negativen Drift verursachen. Bei einem [mm] \mu [/mm] von Null erhält man dann den WP.
In dem angegebenen Skript habe ich diese Unterscheidung so nicht finden können und viele andere Autoren setzten die beiden auch einfach gleich. Aber warum gibt es denn dann diese gegriffliche Unterscheidung und was macht diese exakt aus?
Ich bin für jede Hilfe dankbar, als Nicht-Mathematiker vorzugsweise in verbaler Form anstelle von zu komplizierten Formeln. Danke!
MfG
KeTa
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:23 Sa 13.08.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
> Ich habe den Wiener Prozess bisher nach ausgiebiger
> Literaturrecherche für mich persönlich als Spezialfall der
> Brownschen Bewegung gesehen, mit dem Unterschied in dem
> Erwartungswert [mm]\mu[/mm] liegend. Während beim WP der
> Erwartungswert immer Null ist, kann er bei der BB auch
> andere Werte annehmen und somit einen positiven/negativen
> Drift verursachen. Bei einem [mm]\mu[/mm] von Null erhält man dann
> den WP.
Dies so zu sehen ist eher unüblich.  Auch bei einem Wiener-Prozess setzen viele Autoren explizit nicht [mm] $W_0=0$ [/mm] voraus (andere dagegen schon). "Brownsche Bewegung" und "Wiener-Prozess" sind wirklich Synonyme, dessen bin ich mir absolut sicher. Allerdings wird dieses mathematische Objekt, wie so viele andere mathematischen Objekte, unterschiedlich und keinesfalls einheitlich definiert. Dieses Chaos in der Mathematik ist ein großes Problem, aber die Streitigkeiten um die "richtigen" Begriffe und Definitionen sind ja auch nicht uninteressant und aus der Mathematikgeschichte nicht wegzudenken.
> In dem angegebenen Skript habe ich diese Unterscheidung so
> nicht finden können und viele andere Autoren setzten die
> beiden auch einfach gleich. Aber warum gibt es denn dann
> diese gegriffliche Unterscheidung und was macht diese exakt
> aus?
Die verschiedenen Begriffe sind in erster Linie historisch bedingt. Der Name "Brownsche Bewegung" geht natürlich ursprünglich auf die Brownsche Molekularbewegung zurück. Da es Norbert Wiener war, der diese als erster physikalisch-mathematisch zufriedenstellend modellieren konnte, wurde dieser mathematische stochastische Prozess "Wiener-Prozess" genannt, auch in Hinblick darauf, dass die Anwendungen dieses Urbausteins aller Diffusionsprozesse den Rahmen von biologischen Phänomenen längst überschritten hatte und zum Beispiel in anderen Bereichen der Physik und der Finanzmathematik einen immer tiefergehenden Einfluss nahm (der übrigens in der Finanzmathematik mittlerweile eher wieder abnimmt). Bestrebungen von mathematischen Puristen den Namen "Brownsche Bewegung" aus dem mathematischen Kalkül zu verbannen, waren jedoch stets zum Scheitern verurteilt, da sich der Name "Brownschen Bewegung" tief in die Literatur eingebrannt hatte und zudem ja auch viel einprägsamer und "schöner" ist.
Im Übrigen hat die Definition von Wiener selbst auf den ersten Blick nicht viel mit der axiomatischen Definition zu tun, die man heutzutage in den Lehrbüchern findet (und auf Grund derer die Existenz eines Wiener-Prozesses a priori gar nicht klar ist!). Wiener selbst konstruierte diesen Prozess! Man findet die explizite Konstruktion etwa ![[]](/images/popup.gif) hier auf Seite 302 (bezüglich der internen Seitenzählung des Skripts).
Wie du siehst, gebe ich keine Quellen sonst an und kann meine Aussagen so auch nicht belegen. Aber ich habe sie nach vielfältiger Lektüre so gewonnen und für mich interpretiert, und ich denke mal, dass ich kein völlig falsches Bild zeichne.
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
Ich wollt mich nur nochmal bedanken! Das Skript ist wirklich gut!
Aber ich hab da doch glatt eine neue Frage, die stell ich aber im Finanzmathematik-Forum, weil es um die geometrische Brownsche Bewegung des Aktienkurses geht.
Danke nochmal!
|
|
|
|
