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Hallo!
ich hab mir gerad mal die Defintionen von Topologie auf eine Menge $X$ und [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] in $X$ angeschaut. ICh versuche gerade die beiden Begriffe zu unterscheiden und deshalb meine Frage:
Ist die obige Algebra immer auch eine Topologie, aber nicht jede der obigen Topologien eine Algegra?
Wäre sehr dankbar für Hilfe!
Herzlich Grüße,
Lorenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mi 17.03.2010 | | Autor: | fred97 |
1. Eine Topologie [mm] \tau [/mm] auf X ist im allgemeinen keine [mm] \sigma [/mm] -Algebra, denn anderenfalls, wäre mit jeder in X offenen Menge, auch deren Komplement in X offen.
2. Eine [mm] \sigma [/mm] - Algebra [mm] \Sigma [/mm] in X ist im allgemeinen keine Topologie auf X, denn anderenfalls wäre jede (auch überabzählbare !! ) Vereinigung von Mengen in [mm] \Sigma [/mm] wieder ein Element von [mm] \Sigma
[/mm]
FRED
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Hallo Fred,
herzlichen Dank für die schnelle Antwort!
Also den zweiten Punkt hab ich recht schnell bemerkt. Ersteres Argument verstehe ich nicht? Meinst Du vielleicht, dass wenn man in [mm] $\tau$ [/mm] aus offenen Mengen erzeugt, durch endliche Schnitte und Vereinigungen nur offene Mengen hinzukommen und da aber Komplemente offener Mengen geschlossen sind, diese gar nicht als Argumente für [mm] $\tau$ [/mm] in Frage kommen?
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