Unterschied Basis und Span? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:15 Mo 11.08.2014 | | Autor: | Kian |
Hallo liebe User,
ich bin gerade am verzweifeln.
Ich gucke mit Videos bei Youtube an lese 100x mein Script, aber ich verstehe trotzdem den Unterschied zwischen Span/Lineare Hülle und Basis nicht.
Lineare Hülle sind alle Vektoren die linear Unabhängig sind und eine Ebene aufspannen.
Eine Basis sind auch alle Vektoren in der linearen Hülle die linear unabhängig sind??
Kann mir das jemand etwas vereinfacht erklären oder mir 1-2 Beispiele dazu zeigen?
Bin durch Google,Script und Youtube nicht schlauer geworden! :(
Bitte um Hilfe!
Lg und danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Mo 11.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kian,
da ja schon auf Deine Frage geantwortet wird, nur ein paar Anmerkungen:
Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist die Menge aller (endlichen)
Linearkombinationen der Elemente der Menge.
Eine Basis eines Vektorraums ist eine (maximale) Teilmenge linear
unabhängiger Vektoren desselben.
Fragen/Aufgaben an Dich:
Nenne eine Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] (der als üblicher [mm] $\IR$-Vektorraum [/mm] zu verstehen ist)!
Nenne eine weitere Basis des [mm] $\IR^2\,$!
[/mm]
Was ist
[mm] $\text{span}\{(1,0),(1,1),(0,0),(1,3)\}$?
[/mm]
Wie kann man aus
[mm] $\{(1,0),(1,1),(0,0),(1,3)\}$
[/mm]
eine Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] gewinnen (falls möglich)?
Warum hat ein Erzeugendensystem des [mm] $\IR^2$ [/mm] mindestens 2 Elemente, und
warum hat eine Basis des [mm] $\IR^2$ [/mm] (zudem) höchstens 2 Elemente?
Wenn Du (eventuell nach Ladons Antwort) diese Fragen korrekt beantworten
kannst, wird sich, denke ich, schon einiges geklärt haben.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mo 11.08.2014 | | Autor: | Kian |
> Hallo Kian,
>
> da ja schon auf Deine Frage geantwortet wird, nur ein paar
> Anmerkungen:
> Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist die Menge
> aller (endlichen)
> Linearkombinationen der Elemente der Menge.
>
> Eine Basis eines Vektorraums ist eine (maximale) Teilmenge
> linear
> unabhängiger Vektoren desselben.
>
> Fragen/Aufgaben an Dich:
> Nenne eine Basis des [mm]\IR^2[/mm] (der als üblicher
> [mm]\IR[/mm]-Vektorraum zu verstehen ist)!
>
> Nenne eine weitere Basis des [mm]\IR^2\,[/mm]!
Eine Basis im [mm] R^2 [/mm] muss doch aus 2 Vektoren bestehen oder?
Zwar funktioniert das auch mit mehr als 2 Vektoren, doch dann ist es nicht eindeutig.
Deswegen wuerde ich sagen.:
Z.B.:
v1 = [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }
[/mm]
oder einfach die E-Vektoren.:
v2 = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}
[/mm]
Gleichungssystem wird nur durch die triviale Lösung gelöst.
>
> Was ist
>
> [mm]\text{span}\{(1,0),(1,1),(0,0),(1,3)\}[/mm]?
Die angegebenen Vektoren spannen eine Ebene auf.
Im [mm] R^3 [/mm] allerdings einen Raum.
>
> Wie kann man aus
>
> [mm]\{(1,0),(1,1),(0,0),(1,3)\}[/mm]
>
> eine Basis des [mm]\IR^2[/mm] gewinnen (falls möglich)?
Den Vektor (0,0) kann man streichen, da er immer enthalten ist.
Alle Vektoren im Span sind linear unabhaengig, deswegen Bilden sie keine Basis.
(Eine Frage, kann es im Span auch abhängige Vektoren geben?)
>
> Warum hat ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^2[/mm] mindestens 2
> Elemente, und
Da mit einem Vektor nicht alle im Span enthaltenen Vektoren erzeugt werden können.
> warum hat eine Basis des [mm]\IR^2[/mm] (zudem) höchstens 2
> Elemente?
Da die Dimension nicht größer als sein kann/darf.
>
> Wenn Du (eventuell nach Ladons Antwort) diese Fragen
> korrekt beantworten
> kannst, wird sich, denke ich, schon einiges geklärt
> haben.
>
> Gruß,
> Marcel
Ich habe alle Fragen so beantwortet wie ich es verstanden habe.
Aber sicher bin ich mir nicht! : /
Kann sein das ich nicht alles richtig gecheckt habe.
Lg
Und danke für deine Antwort! :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 Mo 11.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo Kian,
> >
> > da ja schon auf Deine Frage geantwortet wird, nur ein paar
> > Anmerkungen:
> > Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist die
> Menge
> > aller (endlichen)
> > Linearkombinationen der Elemente der Menge.
> >
> > Eine Basis eines Vektorraums ist eine (maximale) Teilmenge
> > linear
> > unabhängiger Vektoren desselben.
> >
> > Fragen/Aufgaben an Dich:
> > Nenne eine Basis des [mm]\IR^2[/mm] (der als üblicher
> > [mm]\IR[/mm]-Vektorraum zu verstehen ist)!
> >
> > Nenne eine weitere Basis des [mm]\IR^2\,[/mm]!
>
>
> Eine Basis im [mm]R^2[/mm] muss doch aus 2 Vektoren bestehen oder?
ja. Warum denn eigentlich? Welche Eigenschaft müssen die beiden Vektoren
zudem haben?
> Zwar funktioniert das auch mit mehr als 2 Vektoren, doch
> dann ist es nicht eindeutig.
Nein. Du kannst ein Erzeugendensystem aus mehr als 2 Vektoren basteln.
Das ist auch kein Kunststück: [mm] $\IR^2$ [/mm] ist selbst auch ein EZS des [mm] $\IR^2\,.$
[/mm]
> Deswegen wuerde ich sagen.:
>
> Z.B.:
>
> v1 = [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 2 & 1 }[/mm]
Meinst Du die Spaltenvektoren? Ich habe Elemente des [mm] $\IR^2$ [/mm] als Zeilenvektoren
geschrieben. Die Zeilenvektoren der obigen Matrix bilden dann ein EZS des
[mm] $\IR^2\,,$ [/mm] ja, sogar eine Basis!
> oder einfach die E-Vektoren.:
>
> v2 = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1}[/mm]
>
> Gleichungssystem wird nur durch die triviale Lösung
> gelöst.
Wieso schreibst Du hier immer Matrizen hin?
>
> >
> > Was ist
> >
> > [mm]\text{span}\{(1,0),(1,1),(0,0),(1,3)\}[/mm]?
>
> Die angegebenen Vektoren spannen eine Ebene auf.
Na, welche Ebene spannen sie auf? Sie erzeugen den ganzen [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] also...?
> Im [mm]R^3[/mm] allerdings einen Raum.
??? Da stehen Elemente des [mm] $\IR^2\,,$ [/mm] die spannen einen Unterraum des
[mm] $\IR^2$ [/mm] auf. Es gilt doch nicht [mm] $\IR^2 \subseteqq \IR^3$! [/mm] Wie kommst Du nun
auf die Idee, [mm] $\IR^2$-Vektoren [/mm] als [mm] $\IR^3$-Vektoren [/mm] aufzufassen?
> >
> > Wie kann man aus
> >
> > [mm]\{(1,0),(1,1),(0,0),(1,3)\}[/mm]
> >
> > eine Basis des [mm]\IR^2[/mm] gewinnen (falls möglich)?
>
> Den Vektor (0,0) kann man streichen, da er immer enthalten
> ist.
Der Vektor [mm] $(0,0)\,$ [/mm] MUSS gestrichen werden, denn er ist immer linear abhängig!
> Alle Vektoren im Span sind linear unabhaengig, deswegen
> Bilden sie keine Basis.
??? Es wäre
[mm] $\{(1,0),\;(1,1)\}$
[/mm]
oder auch
[mm] $\{(1,0),\;(1,3)\}$
[/mm]
als Basis möglich. Die Mengennotation hier hat durchaus den Nachteil,
dass man bzgl. der Koordinaten noch nicht festgelegt ist. Du kannst eine
Basis dann auch als endliche Familie schreiben, wenn Dir das mehr behagt!
> (Eine Frage, kann es im Span auch abhängige Vektoren
> geben?)
Klar. Der lineare Span eines jeden Vektorraums ist der Vektorraum selber,
alleine da hat man schon meist unzählige linear abhängige Vektoren drin...
> >
> > Warum hat ein Erzeugendensystem des [mm]\IR^2[/mm] mindestens 2
> > Elemente, und
>
> Da mit einem Vektor nicht alle im Span enthaltenen Vektoren
> erzeugt werden können.
Richtig. Was läßt sich denn mit einem erzeugen? (Du solltest auch den
Nullvektor $(0,0) [mm] \in \IR^2$ [/mm] von vorneherein raushalten, wenn Du ein
minimales EZS = Basis haben willst!) Wie könnte man das geometrisch
benennen? (Beachte, dass der Ursprung immer in einem Teilraum des
[mm] $\IR^2$ [/mm] ist!)
> > warum hat eine Basis des [mm]\IR^2[/mm] (zudem) höchstens 2
> > Elemente?
>
> Da die Dimension nicht größer als sein kann/darf.
Die Dimension eines endlichdimensionalen Vektorraums ist die Anzahl der
Elemente EINER Basis desselben. Für den [mm] $\IR^2$ [/mm] kann man eine (noch einfachere)
Basis (als die oben aufgeführten) hinschreiben, die offensichtlich 2
Elemente innehat - im Prinzip hast Du sie schonmal in einer Matrixnotation
verpackt (Einheitsmatrix). Schau' Dir bei der Dimensionsaussage auch mal
die Wohldefiniertheit an - Du musst ja irgendwoher wissen, dass alle
Basen die gleiche Anzahl von Elementen haben. Stichwort dazu:
Basisaustauschsatz von Steinitz!
> >
> > Wenn Du (eventuell nach Ladons Antwort) diese Fragen
> > korrekt beantworten
> > kannst, wird sich, denke ich, schon einiges geklärt
> > haben.
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
>
> Ich habe alle Fragen so beantwortet wie ich es verstanden
> habe.
> Aber sicher bin ich mir nicht! : /
> Kann sein das ich nicht alles richtig gecheckt habe.
Da sind definitiv noch Lücken zu schließen! Frag' nochmal nach, was Dir
unklar geblieben ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mo 11.08.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo Kian,
willkommen im Forum 
Beim nächsten Mal besser in "Hochschulmathe" --> "Lineare Algebra" posten.
Zu den Begriffen:
Die Lineare Hülle (auch: Span) [mm] Span(v_1,...,v_r) [/mm] mit [mm] $v_1,...,v_r\in [/mm] V$ ist die Menge alle Linearkombis der Vektoren [mm] v_1,...,v_r, [/mm] also [mm] Span(v_1,...,v_r)=\{v=\lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r|\lambda_i\in\mathbb{K}\mbox{ }\forall i=1,...,r\}. [/mm]
Um eine Lineare Hülle zu bilden nimmst du dir also ein paar Vektoren aus einem [mm] \mathbb{K} [/mm] -Vektorraum V [mm] (\mathbb{K} [/mm] ist ein Körper, z.B. kannst du dir [mm] \IR [/mm] vorstellen) und bildest Linearkombis. Das gibt dir dann einen Untervektorraum von V. Kann man eigentlich einfach mit der Definition eines Untervektorraumes beweisen.
Beispiel: Ich wähle mal [mm] V=\IR^3, [/mm] was man sich ja noch ganz gut vorstellen kann (denke mal an [mm] x_1-, x_2-, x_3-Achsen [/mm] im Koordinatensystem). [mm] $Span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}))\subseteq [/mm] V$ ist dann die [mm] x_1,x_2-Ebene. [/mm] Anschaulich gesprochen "kommst du" mit einer Linearkombination der Vektoren zu jeden beliebigen Punkt auf der [mm] x_1,x_2-Ebene. [/mm] Wie kommst du z.B. zu dem Punkt (3,4,0)?
Span und lineare Hülle sind ein und derselbe Begriff.
Zur Basis: Sei V wieder ein [mm] \mathbb{K}-Vektorraum. v_1,...,v_n [/mm] heißt Basis von V, falls [mm] v_1,...,v_n [/mm] ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist.
Was ist das?
[mm] v_1,...,v_n\in [/mm] V heißt Erzeugendensystem, falls [mm] Span(v_1,...,v_n)=V.
[/mm]
Ein Erzeugendensystem wäre also ein System von Vektoren, deren Linearkombis bereits den ganzen Vektorraum beschreiben. Du "kommst" mit ihnen zu jedem Punkt in dem Vektorraum durch Linearkombi.
Beispiel: Die Einheitsvektoren im [mm] \IR^3, [/mm] also [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1}. [/mm] Bilde mal hiervon den Span und prüfe mal ob sie linear unabhängig sind.
Anderes Beipiel: [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] sind Basis von [mm] U=\{b|\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 }\cdot x=b\mbox{ lösbar}\}.
[/mm]
Oder: Die Menge der Polynome in einem Körper K, deren Grad [mm] \le [/mm] n ist. [mm] v_1=1, v_2=t,...,v_{n+1}=t^n [/mm] ist Basis von
[mm] \mathbb{K}[/mm] [t][mm] _{\le n}=\{p(t)=a_0+a_1t+...+a_nt^n\}
[/mm]
Ich hoffe, dass das hilfreich war.
LG
Ladon
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Mo 11.08.2014 | | Autor: | Kian |
> Hallo Kian,
>
> willkommen im Forum
> Beim nächsten Mal besser in "Hochschulmathe" --> "Lineare
> Algebra" posten.
Danke und sorry, ich passe nächstes mal besser auf.
>
> Zu den Begriffen:
> Die Lineare Hülle (auch: Span) [mm]Span(v_1,...,v_r)[/mm] mit
> [mm]v_1,...,v_r\in V[/mm] ist die Menge alle Linearkombis der
> Vektoren [mm]v_1,...,v_r,[/mm] also
> [mm]Span(v_1,...,v_r)=\{v=\lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r|\lambda_i\in\mathbb{K}\mbox{ }\forall i=1,...,r\}.[/mm]
> Um eine Lineare Hülle zu bilden nimmst du dir also ein
> paar Vektoren aus einem [mm]\mathbb{K}[/mm] -Vektorraum V
> [mm](\mathbb{K}[/mm] ist ein Körper, z.B. kannst du dir [mm]\IR[/mm]
> vorstellen) und bildest Linearkombis. Das gibt dir dann
> einen Untervektorraum von V. Kann man eigentlich einfach
> mit der Definition eines Untervektorraumes beweisen.
> Beispiel: Ich wähle mal [mm]V=\IR^3,[/mm] was man sich ja noch
> ganz gut vorstellen kann (denke mal an [mm]x_1-, x_2-, x_3-Achsen[/mm]
> im Koordinatensystem). [mm]Span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}))\subseteq V[/mm]
> ist dann die [mm]x_1,x_2-Ebene.[/mm] Anschaulich gesprochen "kommst
> du" mit einer Linearkombination der Vektoren zu jeden
> beliebigen Punkt auf der [mm]x_1,x_2-Ebene.[/mm] Wie kommst du z.B.
> zu dem Punkt (3,4,0)?
> Span und lineare Hülle sind ein und derselbe Begriff.
Ich hab das so berechnet.:
[mm] \pmat{ 3\\4\\0 } [/mm] = a* [mm] \pmat{ 1\\0\\0 } [/mm] + [mm] b*\pmat{ 0\\1\\0 }
[/mm]
Und mit LGS a, b berechnet.
>
> Zur Basis: Sei V wieder ein [mm]\mathbb{K}-Vektorraum. v_1,...,v_n[/mm]
> heißt Basis von V, falls [mm]v_1,...,v_n[/mm] ein linear
> unabhängiges Erzeugendensystem ist.
> Was ist das?
> [mm]v_1,...,v_n\in[/mm] V heißt Erzeugendensystem, falls
> [mm]Span(v_1,...,v_n)=V.[/mm]
> Ein Erzeugendensystem wäre also ein System von Vektoren,
> deren Linearkombis bereits den ganzen Vektorraum
> beschreiben. Du "kommst" mit ihnen zu jedem Punkt in dem
> Vektorraum durch Linearkombi.
> Beispiel: Die Einheitsvektoren im [mm]\IR^3,[/mm] also [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.[/mm] Bilde mal hiervon den Span und
> prüfe mal ob sie linear unabhängig sind.
Span = < [mm] \pmat{ 1\\0\\0 },\pmat{ 0\\1\\0 },\pmat{ 0\\0\\1 } [/mm] >
Die Vektoren sind linear unabhängig da die Determinante != 0 ist und da sie nur die triviale Lösung haben.
=> Sie bilden eine Basis.
> Anderes Beipiel: [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> sind Basis von [mm]U=\{b|\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 }\cdot x=b\mbox{ lösbar}\}.[/mm]
>
> Oder: Die Menge der Polynome in einem Körper K, deren Grad
> [mm]\le[/mm] n ist. [mm]v_1=1, v_2=t,...,v_{n+1}=t^n[/mm] ist Basis von
> [mm]\mathbb{K}[/mm] [t][mm]_{\le n}=\{p(t)=a_0+a_1t+...+a_nt^n\}[/mm]
>
> Ich hoffe, dass das hilfreich war.
>
> LG
> Ladon
Hab ich das richtig verstanden?
Lg und danke für deine Antwort! :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Mo 11.08.2014 | | Autor: | Ladon |
> > Hallo Kian,
> >
> > willkommen im Forum
> > Beim nächsten Mal besser in "Hochschulmathe" -->
> "Lineare
> > Algebra" posten.
>
> Danke und sorry, ich passe nächstes mal besser auf.
>
> >
> > Zu den Begriffen:
> > Die Lineare Hülle (auch: Span) [mm]Span(v_1,...,v_r)[/mm] mit
> > [mm]v_1,...,v_r\in V[/mm] ist die Menge alle Linearkombis der
> > Vektoren [mm]v_1,...,v_r,[/mm] also
> >
> [mm]Span(v_1,...,v_r)=\{v=\lambda_1v_1+...+\lambda_rv_r|\lambda_i\in\mathbb{K}\mbox{ }\forall i=1,...,r\}.[/mm]
> > Um eine Lineare Hülle zu bilden nimmst du dir also ein
> > paar Vektoren aus einem [mm]\mathbb{K}[/mm] -Vektorraum V
> > [mm](\mathbb{K}[/mm] ist ein Körper, z.B. kannst du dir [mm]\IR[/mm]
> > vorstellen) und bildest Linearkombis. Das gibt dir dann
> > einen Untervektorraum von V. Kann man eigentlich einfach
> > mit der Definition eines Untervektorraumes beweisen.
> > Beispiel: Ich wähle mal [mm]V=\IR^3,[/mm] was man sich ja noch
> > ganz gut vorstellen kann (denke mal an [mm]x_1-, x_2-, x_3-Achsen[/mm]
> > im Koordinatensystem). [mm]Span(\vektor{1 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0}))\subseteq V[/mm]
> > ist dann die [mm]x_1,x_2-Ebene.[/mm] Anschaulich gesprochen "kommst
> > du" mit einer Linearkombination der Vektoren zu jeden
> > beliebigen Punkt auf der [mm]x_1,x_2-Ebene.[/mm] Wie kommst du z.B.
> > zu dem Punkt (3,4,0)?
> > Span und lineare Hülle sind ein und derselbe Begriff.
>
> Ich hab das so berechnet.:
>
> [mm]\pmat{ 3\\4\\0 }[/mm] = a* [mm]\pmat{ 1\\0\\0 }[/mm] + [mm]b*\pmat{ 0\\1\\0 }[/mm]
>
> Und mit LGS a, b berechnet.
Richtig a=3, b=4. Und das kannst du ja rein theoretisch mit jedem Punkt in der [mm] x_1,x_2-Ebene [/mm] machen.
>
>
> >
> > Zur Basis: Sei V wieder ein [mm]\mathbb{K}-Vektorraum. v_1,...,v_n[/mm]
> > heißt Basis von V, falls [mm]v_1,...,v_n[/mm] ein linear
> > unabhängiges Erzeugendensystem ist.
> > Was ist das?
> > [mm]v_1,...,v_n\in[/mm] V heißt Erzeugendensystem, falls
> > [mm]Span(v_1,...,v_n)=V.[/mm]
> > Ein Erzeugendensystem wäre also ein System von
> Vektoren,
> > deren Linearkombis bereits den ganzen Vektorraum
> > beschreiben. Du "kommst" mit ihnen zu jedem Punkt in dem
> > Vektorraum durch Linearkombi.
> > Beispiel: Die Einheitsvektoren im [mm]\IR^3,[/mm] also [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
> > und [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}.[/mm] Bilde mal hiervon den Span und
> > prüfe mal ob sie linear unabhängig sind.
>
> Span = < [mm]\pmat{ 1\\0\\0 },\pmat{ 0\\1\\0 },\pmat{ 0\\0\\1 }[/mm]
> >
> Die Vektoren sind linear unabhängig da die Determinante
> != 0 ist und da sie nur die triviale Lösung haben.
> => Sie bilden eine Basis.
>
Ich weiß zwar nicht genau, was du damit meinst, aber du meinst bestimmt [mm] det(e_1e_2e_3)=1\neq0. [/mm] Einfach geht es auch mit LGS. Man sieht, dass das LGS als einzige Lösung alle Koeffizienten = 0 besitzt.
> > Anderes Beipiel: [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}, \vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
> > sind Basis von [mm]U=\{b|\pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ 1 & 1 }\cdot x=b\mbox{ lösbar}\}.[/mm]
>
> >
> > Oder: Die Menge der Polynome in einem Körper K, deren Grad
> > [mm]\le[/mm] n ist. [mm]v_1=1, v_2=t,...,v_{n+1}=t^n[/mm] ist Basis von
> > [mm]\mathbb{K}[/mm] [t][mm]_{\le n}=\{p(t)=a_0+a_1t+...+a_nt^n\}[/mm]
> >
> > Ich hoffe, dass das hilfreich war.
> >
> > LG
> > Ladon
>
> Hab ich das richtig verstanden?
>
> Lg und danke für deine Antwort! :)
Gruß zurück!
Ladon
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Mo 11.08.2014 | | Autor: | fred97 |
Sei V ein K - Vektorraum und M eine nichtleere Teilmenge von V.
1. Es ist [mm] span(M)=\{k_1v_1+...+k_mv_m: k_1,...,k_m \in K, v_1,...,v_m \in V , m \in \IN\}
[/mm]
2. M heißt linear unabhängig, wenn aus
[mm] k_1,...,k_m \in [/mm] K, [mm] v_1,...,v_m \in [/mm] V , m [mm] \in \IN\ [/mm] und [mm] k_1v_1+...+k_mv_m=0
[/mm]
stets folgt: [mm] k_1=...=k_m=0.
[/mm]
3. M heißt eine Basis von V, wenn
M linear unabhängig ist und wenn span(M)=V ist.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Di 12.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Sei V ein K - Vektorraum und M eine nichtleere Teilmenge
> von V.
ich möchte nochmal unterstreichen, dass hier $M [mm] \subseteq [/mm] V$ dabeisteht! Dann
können solche Ideen, dass [mm] $\IR^2$-Vektoren [/mm] einen Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] aufspannen,
nicht entstehen.
Nebenbei, soweit ich weiß, setzt man auch
[mm] $\text{span}\varnothing=\{0\}\,,$
[/mm]
wobei [mm] $0\,$ [/mm] die $0 [mm] \in [/mm] V$ meint. Das mutet natürlich vielleicht erstmal
ein wenig uneindeutig an, weil man dann ja
[mm] $\text{span}\varnothing=\{(0,0)\}$
[/mm]
oder auch
[mm] $\text{span}\varnothing=\{(0,0,0,0)\}$
[/mm]
haben könnte - ersteres etwa im Falle [mm] $\IK^2$ [/mm] und letzteres im Falle [mm] $\IK^4\,.$
[/mm]
Aber eigentlich steckt bei der "Span-Bildung" ja auch drin, bzgl. welchen
Vektorraums man den Unterraum mit dem linearen Span bildet. [mm] $\text{span}$
[/mm]
ist dann eigentlich sowas wie [mm] $\text{span}_V\,.$ [/mm] (Diese Erläuterungen helfen Kian
hoffentlich, den Überblick zu bewahren.)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:12 Di 12.08.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Kian,
> Hallo liebe User,
>
> ich bin gerade am verzweifeln.
> Ich gucke mit Videos bei Youtube an lese 100x mein Script,
> aber ich verstehe trotzdem den Unterschied zwischen
> Span/Lineare Hülle und Basis nicht.
>
> Lineare Hülle sind alle Vektoren die linear Unabhängig
> sind und eine Ebene aufspannen.
> Eine Basis sind auch alle Vektoren in der linearen Hülle
> die linear unabhängig sind??
>
> Kann mir das jemand etwas vereinfacht erklären oder mir
> 1-2 Beispiele dazu zeigen?
>
> Bin durch Google,Script und Youtube nicht schlauer
> geworden! :(
neben Freds Antwort (schau' auch mal in Bosch: Lineare Algebra):
Eine Basis kann charakterisiert werden als
[mm] $\bullet$ [/mm] minimales Erzeugendensystem
oder
[mm] $\bullet$ [/mm] maximale linear unabhängige Teilmenge.
Wichtig ist übrigens: Sind [mm] $v_1,...,v_\red{k} \in \IR^\red{n}\,,$ [/mm] so ist auch
[mm] $\text{span}(v_1,...,v_k) \subseteq \IR^n\,,$
[/mm]
und das ist in jedem Falle dann ein Unterraum des [mm] $\IR^n\,$ [/mm] (nicht [mm] $\IR^\red{m}$ [/mm] für $m [mm] \not=n$).
[/mm]
Im Falle $k < [mm] n\,$ [/mm] ist dieser lineare Spann ein echter Teilraum. Die Dimension
dieses Teilraums ist maximal [mm] $k\,,$ [/mm] kann aber auch echt kleiner sein als [mm] $k\,.$ [/mm]
Fragen an Dich: Welche Bedingung(en) muss [mm] $(v_1,...,v_k)$ [/mm] erfüllen, dass die Dimension
dieses Teilraums genau [mm] $k\,$ [/mm] ist? (Wann ist die Dimension echt kleiner als [mm] $k\,$?)
[/mm]
Sei nun $k [mm] \ge n\,.$ [/mm] Dann ist die Familie [mm] $(v_1,...,v_k)$ [/mm] zwangsläufig linear abhängig,
weil...?
Können die [mm] $v_j$ [/mm] ($j=1,...,k$) denn dennoch den [mm] $\IR^n$ [/mm] aufspannen? Oder anders
gefragt: Wann könnten Sie nicht den [mm] $\IR^n$ [/mm] aufspannen? (Achte bitte bei
Deiner Antwort auf eine präzise Formulierung. Und bedenke bitte, dass die
Vektoren oben linear abhängig sind. Es geht eher darum, "wie groß" eine
linear unabhängige Teilmenge aus diesen gebildet werden kann... salopp
gesagt!)
Nehmen wir an, es sei $k > [mm] n\,$ [/mm] und wir können mit den [mm] $v_j$ [/mm] den [mm] $\IR^n$ [/mm] aufspannen.
Wie konstruieren wir dann eine Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] mit [mm] $v_1,...,v_k$?
[/mm]
Und nochmal ein Tipp an Dich:
Es ist
[mm] $\{r*(1,1) \in \IR^2:\;\;r \in \IR\}$
[/mm]
offensichtlich die 45° Gerade durch den Ursprung. Das ist ein Unterraum des
[mm] $\IR^2\,,$ [/mm] dieser hat die Dimension [mm] $1\,.$
[/mm]
Für diesen sehen Basen immer sehr ähnlich aus, sie bestehen nur aus einem
Vektor der Bauart
$(t,t)$ mit $t [mm] \in \IR \setminus \{0\}\,.$
[/mm]
Die (sogar überabzahlbare) Menge
[mm] $\{(s,s):\;\; s \in [0,1[\}$
[/mm]
bildet dennoch ein Erzeugendensystem dieser 45°-Geraden. Sie selbst kann
allerdings keine "Basismenge" sein.
Ein besseres Beispiel:
Nimm' [mm] $V=\IR^3$ [/mm] und
[mm] $U:=\{(x,y,0) \in \IR^3:\;\;x,y \in \IR\}\,.$
[/mm]
Eine Basis für [mm] $U\,$ [/mm] ist bspw. durch die Familie
[mm] $(\;(1,0,0),\;(0,1,0)\;)$
[/mm]
oder auch
[mm] $(\;(1,1,0),\;(1,0,0)\;)$
[/mm]
oder auch
[mm] $(\;(1,2,0),\;(3,4,0)\;)$
[/mm]
gegeben.
Und
[mm] $(\;(1,0,0),\;(3q,4q):\;\; [/mm] q [mm] \in \IQ\;)$
[/mm]
wäre ein abzählbares Erzeugendensystem für [mm] $U\,.$
[/mm]
Ebenso wäre auch
[mm] $(\;(1,1,0),\;(2,4,0),\;(1,0,0),\;(0,5,0),\;(3,7,0)\;)$
[/mm]
ein EZS für [mm] $U\,,$ [/mm] aber keine Basis. Und natürlich wäre auch
[mm] $(\;(1,1,0),\;(0,1,0),\;(1,2,3)\;)$
[/mm]
weder eine Basis noch ein EZS für [mm] $U\,.$ [/mm] Warum?
Gruß,
Marcel
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Eine weitere Sichtweise:
Ist $V$ ein Vektorraum, so schreiben wir $UV$ für die unterliegende Menge der Vektoren. Ist [mm] $V\xrightarrow{\ \ f\ \ }W$ [/mm] ein Vektorraumhomomorphismus, so schreiben wir [mm] $UV\xrightarrow{\ \ Uf\ \ }UW$ [/mm] für die unterliegende Abbildung [mm] $x\longmapsto [/mm] fx$.
Es sei nun [mm] $M\subseteq [/mm] UV$ eine Menge von Vektoren von $V$. Wir bezeichnen nun mit [mm] $M\xrightarrow{\ \ i\ \ }UV$ [/mm] die Inklusionsabbildung [mm] $x\longmapsto [/mm] x$.
Für jeden Vektorraum $W$ können wir nun die Abbildung [mm] $\operatorname{Hom}(V,W)\xrightarrow{\ \ k_W\ \ }\operatorname{Abb}(M,UW)$ [/mm] betrachten, welche gegeben ist durch [mm] $(V\xrightarrow{\ \ f\ \ } W)\longmapsto(M\xrightarrow{\ \ i\ \ }UV\xrightarrow{\ \ Uf\ \ }UW)$.
[/mm]
Durch die Eigenschaften dieser Abbildungen [mm] $k_W$ [/mm] kann man einige Eigenschaften von $M$ kodieren. Überlege dir als Übungsaufgabe:
(i) $M$ ist genau dann ein Erzeugendsystem von $V$, wenn für alle $W$ die Abbildung [mm] $k_W$ [/mm] injektiv ist.
(ii) $M$ ist genau dann eine Basis von $V$, wenn für alle $W$ die Abbildung [mm] $k_W$ [/mm] bijektiv ist.
Die zweite Behauptung lässt sich übrigens problemlos auf andere algebraische Strukturen verallgemeinern, während (i) eine recht spezielle Eigenschaft von Vektorräumen ist, welche wesentlich damit zu tun hat, dass jeder Vektorraum frei ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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