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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Di 04.05.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo zusammen, der Unterschied von reelen und realen Zahlen, glaube ich ist mir bekannt.
Vielleicht kann einer mal kurz sagen ob das stimmt.
Reele Zahlen ( R ) sind Bruchzahlen.
Reale Zahlen ( Q ) sind darüberhinnaus noch andere Zahlen, wie Pi oder Wurzel 2.
Diese letzten Zahlen sind nicht endlich und da scheint mir der wesentliche Unteschied zu sein.
Alle Bruchzahlen sind endlich - oder ?
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Hi baddi,
Es ist genau andersherum:
Also die rationalen Zahlen [mm] (\IQ) [/mm] sind alle durch Brüche darstellbaren Zahlen:
Also z.B. 1 (= [mm] \bruch{2}{2}) [/mm] oder 5.2 (= 5 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] = [mm] \bruch{26}{5}) [/mm] oder natürlich [mm] \bruch{6}{7}.
[/mm]
Damit können aber z.B. Zahlen die praktisch zwischen zwei Brüchen liegen, nicht abgedeckt werden: z.B. die gesuchte Zahl liegt irgendwo zwischen [mm] \bruch{5000}{5002} [/mm] und [mm] \bruch{5001}{5002}.
[/mm]
Diese Zahlen "dazwischen" heißen die reellen Zahlen [mm] (\IR).
[/mm]
Zu ihnen gehören z.B. [mm] \wurzel{2} [/mm] , [mm] \pi [/mm] oder die sog. eulersche Zahl e.
Somit kann man folgende Teilmengenbeziehung konstruieren:
[mm] \IN\subset\IZ\subset\IQ\subset\IR (\subset\IC)
[/mm]
EDIT: @marc: Danke für den (unausgesprochenen) Tip mit dem TeX-Symbol für "echte Teilmenge", den ich aus Deiner nachfolgenden Antwort habe.
Damit werden gleich zwei Eselsbrücken offensichtlich:
Erstens: Da Q im Alphabet vor R kommt, ist es "verständlich", dass auch die Menge [mm] \IQ [/mm] in der Menge [mm] \IR [/mm] liegt...
Zweitens: Das [mm] \IQ [/mm] könnte man als "Quotientenzahlen" lesen - während [mm] \IR [/mm] die reellen Zahlen bezeichnet.
Das mit den "realen Zahlen" höre ich heute allerdings zum ersten Mal. Kann es sein, dass Du diese Zahlenmenge mit dem "Realteil" der komplexen Zahlen durcheinanderschmeist?
Nun komme ich zu Deiner zweiten Frage:
>Reale Zahlen ( Q ) sind darüberhinnaus noch andere Zahlen, wie Pi oder Wurzel 2.
>Diese letzten Zahlen sind nicht endlich und da scheint mir der wesentliche Unteschied zu sein.
Kurz: Nein!
Denn auch Brüche können unendlich viele Nachkommastellen haben - allerdings können diese dann immer durch eine Periode dargestellt werden (wir bewegen uns jetzt nur im [mm] \IQ).
[/mm]
Bei reellen Zahlen sieht das anders aus: Bei ihnen kann man nicht "einfach so" von einer Nachkommastelle auf die nächste schließen.
Der Unterschied liegt in der "vergrößerten" Menge, was sich in dem Kriterium der Abzählbarkeiten äußert:
Die Menge [mm] \IQ [/mm] ist abzählbar - die Menge [mm] \IR [/mm] ist nicht abzählbar.
Was heißt das?
Nun, bei den Brüchen kann man eine Art "Ordnungsvorschrift" festlegen, bei der man von einem Bruch auf den praktisch "nächstliegenden" Bruch schließen kann (z.B. [mm] \bruch{2}{10} [/mm] = 0.2 , [mm] \bruch{3}{10} [/mm] = 0.3 , ... - ja ich weiß, dass da noch rationale Zahlen dazwischenliegen und mein Beispiel hinkt: Es geht mir aber hier um die Idee der Abzählbarkeit).
Das geht bei den reellen Zahlen nicht. Was folgt denn z.B. auf 2.0001? 2.000101? 2.0001001? 2.00010001? 2.00010000000000000001?
Deshalb sind die reellen Zahlen nicht abzählbar.
Ich hoffe, dass ich Dir damit weiterhelfen konnte - und wenn Du noch Fragen dazu hast, dann stell sie bitte einfach.
Über Kritiken und Anmerkungen (und eventuelle Fehler) wäre ich sehr dankbar, da ich hier noch ein Neuling bin und schon ein paar Mal Mathe wiederholen mußte... (Deshalb ist meine mathematische Kompetenz (noch) nicht allzu hoch zu bewerten. Weswegen ich meine Antworten in der Regel zunächst einmal als fehlerhaft deklarieren werde - bis mir jemand zustimmt.)
Viele Grüße
Veandúnê
P.S.: Willkommen hier im Forum!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Di 04.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen!
> Es ist genau andersherum:
Genau!
> Also die rationalen Zahlen [mm] (\IQ) [/mm] sind alle durch Brüche
> darstellbaren Zahlen:
> Also z.B. 1 (= [mm] \bruch{2}{2}) [/mm] oder 5.2 (= 5 [mm] \bruch{1}{5} [/mm] =
> [mm] \bruch{26}{5}) [/mm] oder natürlich [mm] \bruch{6}{7}.
[/mm]
> Damit können aber z.B. Zahlen die praktisch zwischen zwei
> Brüchen liegen, nicht abgedeckt werden: z.B. die gesuchte
> Zahl liegt irgendwo zwischen [mm] \bruch{5000}{5002} [/mm] und
> [mm] \bruch{5001}{5002}.
[/mm]
Ich wollte nur noch mal deutlich machen, dass zwischen zwei Brüchen immer ein weiterer Bruch liegt, aber auch eine irrationale Zahl.
Das gleiche gilt für irrationale Zahlen: Zwischen zwei irrationalen Zahlen liegt auch immer ein Bruch und eine irrationale Zahl.
(Sowohl [mm] $\IQ$, [/mm] also auch [mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] liegen dicht in [mm] $\IR$)
[/mm]
Zur Übersicht noch mal:
[mm] $\IQ$ [/mm] = Menge der Bruchzahlen = rationale Zahlen = alle Zahlen mit endlicher oder periodscher Dezimalbruchentwicklung, z.B. [mm] $1,-2,0.5,\bruch{3}{7},\ldots$
[/mm]
[mm] $\IR\setminus\IQ$ [/mm] = Menge der irrationalen Zahlen = alle Zahlen mit unendlicher, nicht-periodischer Dezimalbruchentwicklung, z.B. [mm] $\pi, [/mm] e, [mm] \wurzel{2},\ldots$
[/mm]
[mm] $\IR$ [/mm] = Menge der reellen Zahlen = Menge der rationalen und irrationalen Zahlen
Damit gelten folgende Mengeninklusionen:
[mm] $\IN\subset\IZ\subset\IQ\subset\IR\subset\IC$
[/mm]
Alle Teilmengenbeziehungen sind "echt", dass heißt, es gibt tatsächlich in einer weiter rechts stehenden Menge Zahlen, die nicht in einer weiter links stehenden Menge liegen.
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Di 04.05.2004 | | Autor: | baddi |
Ihr seit einfach phantastisch !! :) !!
Und die Eselsbrücke Quotientenzahlen wird mich jetzt durch den Rest meines Lebens begleiten !
Ergänzt mit den irrationalen Zahlen (I) kommt man dann also zu R den reelen Zahlen. Cool.
Schwehr vorstellbar das es Zahlen gibt die weder englich noch periodisch sind.
Hatte ich mir noch gar nicht bewusst gemacht... oder is wohl länger her.
Jedenfalls Danke !!! Bin ganz eupörisch wegen euren tollen antworten.
War ja auch meine erste Frage hier und dann gleich so super verständlich alles- danke :)
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