Unterschied un/endliche Gruppe? < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo,
könnte mir jemand kurz den Unterschied zwischen einer unendlichen Gruppe und einer endlichen erklären. Ich habe hier eine Aufgabe, in der ich etwas für endliches G beweisen soll (G erfüllt G1, G2 und ist rechtskürzbar => G ist Gruppe) und dann noch sagen soll, ob das für unendliches G auch gilt...
Ich stelle mir unter einer endlichen Gruppe vor, dass sie halt endlich viele Elemente hat (also z. B. G = {0,1} wäre so eine Gruppe oder G = {0,1,2}). Eine unendliche Gruppe sollte dann unendlich viele Elemente haben (also z. B. G = [mm]\IZ, \IQ, \IR[/mm]). Stelle ich mir das so richtig vor?
Dann verstehe ich den Sinn der Aufgabe aber nicht, weil doch die Gruppeneigenschaften für unendlich große Gruppen gelten. Warum soll ich dann erst etwas für endliche Gruppen beweisen?
Bernhard
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Frosty,
> könnte mir jemand kurz den Unterschied zwischen einer
> unendlichen Gruppe und einer endlichen erklären. Ich habe
> hier eine Aufgabe, in der ich etwas für endliches G
> beweisen soll (G erfüllt G1, G2 und ist rechtskürzbar => G
> ist Gruppe) und dann noch sagen soll, ob das für
> unendliches G auch gilt...
> Ich stelle mir unter einer endlichen Gruppe vor, dass sie
> halt endlich viele Elemente hat (also z. B. G = {0,1} wäre
> so eine Gruppe oder G = {0,1,2}).
Zur Sicherheit: Die Angabe der Elemente, also die Angabe einer Menge, macht natürlich noch keine  Gruppe aus. Man muß natürlich auch wissen, welche Verknüpfung auf diesen Elementen operiert.
Auf deinen gegebenen Menge läßt sich aber tatsächlich eine Verknüpfung definieren, so dass man sie als Beispiele für Gruppen auffassen kann.
> Eine unendliche Gruppe
> sollte dann unendlich viele Elemente haben (also z. B. G =
> [mm]\IZ, \IQ, \IR[/mm]). Stelle ich mir das so richtig vor?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann verstehe ich den Sinn der Aufgabe aber nicht, weil
> doch die Gruppeneigenschaften für unendlich große Gruppen
> gelten. Warum soll ich dann erst etwas für endliche Gruppen
> beweisen?
Das ist schon ein Unterschied, die Struktur der Gruppen ist doch eine ganz andere.
Zum Beispiel können Gleichungen/Gleichungssysteme (mit einer endlichen Zahl an Variablen  ) nicht mehr unendlich viele Lösungen haben, wenn sie über einer endlichen Gruppe gelöst werden sollen.
Schreib' uns doch mal die Aufgabenstellung, vielleicht wird es dann klarer.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Ich habe es lieber noch mal als Frage gepostet:
Zeige für endliches G:
(G, [mm]\Box[/mm]) erfüllt die Gruppeneigenschaften G1 und G2, [mm]\Box[/mm] rechtskürzbar [mm]\Rightarrow[/mm] (G, [mm]\Box[/mm]) ist Gruppe.
Gilt dies auch für unendliches G?
Ich habe mir bis jetzt überlegt, dass man auf jeden Fall G3 braucht, um Rechtskürzbarkeit zu haben, weil (z' ist Inverses zu z):
[mm]x \Box z = y \Box z \Rightarrow x \Box (z \Box z') = y \Box (z \Box z') \Rightarrow x = z[/mm]
Also wenn G rechtskürzbar ist, dann muss es Inverse geben und somit gilt G3 und G ist eine Gruppe.
Ich wusste jetzt aber noch nicht konkret, was ich mit endlich und unendlich anfangen soll...
Bernhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:02 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Frosty!
> Zeige für endliches G:
> (G, [mm]\Box[/mm]) erfüllt die Gruppeneigenschaften G1 und G2, [mm]\Box[/mm]
> rechtskürzbar [mm]\Rightarrow[/mm] (G, [mm]\Box[/mm]) ist Gruppe.
>
> Gilt dies auch für unendliches G?
Zu zeigen ist: Für alle $z [mm] \in [/mm] G$ gibt es ein [mm]z^{\*} \in G[/mm] mit
$z [mm] \Box z^{\*} [/mm] = e = [mm] z^{\*} \Box [/mm] z$.
Es sei $z [mm] \in [/mm] G$ fest, aber beliebig gewählt.
Dann betrachten wir die Abbildung:
[mm] $\varphi_z [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} G & \to & G\\[5pt] y & \mapsto & y \Box z \end{array}$.
[/mm]
Wegen der Rechtskürzbarkeit ist [mm] $\varphi_z$ [/mm] injektiv.
Da $G$ endlich ist, ist $G$ auch surjektiv!
Daher gibt es zu $e [mm] \in [/mm] G$ ein [mm] $z^{\*} \in [/mm] G$ mit
$e = [mm] \varphi_z(z^{\*}) [/mm] = [mm] z^{\*} \Box [/mm] z$,
also ein Linksinverses zu $z$.
Zu zeigen bleibt, dass [mm] $z^{\*}$ [/mm] auch Rechtsinverses ist.
Es gilt aber:
$(z [mm] \Box z^{\*}) \Box [/mm] z = z [mm] \Box [/mm] ( [mm] z^{\*} \Box [/mm] z) = z [mm] \Box [/mm] e = z = e [mm] \Box [/mm] z$
und daher aus der Rechtskürzbarkeit:
$z [mm] \Box z^{\*} [/mm] = e$.
Damit sind wir für endliches $G$ fertig.
Bei unendlichen $G$ folgt aus der Injektivität der Abbildung [mm] $\varphi_z$ [/mm] nicht notwendigerweise auch die Surjektivität.
Ich würde es mal mit [mm] $(\IN_0,+)$ [/mm] versuchen...
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:58 Fr 28.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hmmm, irgendwie will mir deine Antwort nicht ganz einleuchten.
> Zu zeigen ist: Für alle $z [mm] \in [/mm] G$ gibt es ein [mm]z^{\*} \in G[/mm]
> mit
> $z [mm] \Box z^{\*} [/mm] = e = [mm] z^{\*} \Box [/mm] z$.
Das ist klar, weil G erfüllt ja G1 und G2, also muss nur noch G3 (aus der Rechtskürzbarkeit) gezeigt werden.
> Es sei $z [mm] \in [/mm] G$ fest, aber beliebig gewählt.
> Dann betrachten wir die Abbildung:
> [mm] $\varphi_z [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} G & \to & G\\[5pt] y & \mapsto & y \Box z \end{array}$.
[/mm]
Wir hatten Gruppenverknüpfungen bis jetzt immer so notiert:
[mm] $\varphi_z [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} G \times G & \to & G\\[5pt] (y,z) & \mapsto & y \Box z \end{array}$
[/mm]
Ist das das gleiche?
> Wegen der Rechtskürzbarkeit ist [mm] $\varphi_z$ [/mm] injektiv.
Warum ist das so? Ist das hier nicht ein Gegenbeispiel?: (G = {0,1,2}, +) ist eine Gruppe und damit doch auch rechtskürzbar. Aber weil 2+1=0 und 0+0=0 nicht injektiv.
> Da $G$ endlich ist, ist $G$ auch surjektiv!
Das gilt doch auch für unendliches G. Jedes noch so große Element kann durch zwei andere ausgedrückt werden (notfalls durch sich selbst und dem neutralen Element), oder?
> Daher gibt es zu $e [mm] \in [/mm] G$ ein [mm] $z^{\*} \in [/mm] G$ mit
Warum beweist die Bijektivität denn die Existenz eines [mm] $z^{\*}$?
[/mm]
Ab hier ist der Rest klar
> ...
> Damit sind wir für endliches $G$ fertig.
>
> Bei unendlichen $G$ folgt aus der Injektivität der
> Abbildung [mm] $\varphi_z$ [/mm] nicht notwendigerweise auch die
> Surjektivität.
> Ich würde es mal mit [mm] $(\IN_0,+)$ [/mm] versuchen...
Erst mal muss ich es für endliches G verstehen 
Danke für deine Hilfe
Bernhard
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:50 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Bernhard!
> Hmmm, irgendwie will mir deine Antwort nicht ganz
> einleuchten.
Ja, okay, aber du musst dich auch viel mehr damit auseinandersetzen, so richtig in die Aufgabe reinbeißen und nicht immer sofort aufgeben. Aber ich erkläre jetzt mal einiges.
> > Zu zeigen ist: Für alle $z [mm] \in [/mm] G$ gibt es ein [mm]z^{\*} \in G[/mm]
>
> > mit
> > $z [mm] \Box z^{\*} [/mm] = e = [mm] z^{\*} \Box [/mm] z$.
> Das ist klar, weil G erfüllt ja G1 und G2, also muss nur
> noch G3 (aus der Rechtskürzbarkeit) gezeigt werden.
> > Es sei $z [mm] \in [/mm] G$ fest, aber beliebig gewählt.
> > Dann betrachten wir die Abbildung:
> > [mm] $\varphi_z [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} G & \to & G\\[5pt] y &
> \mapsto & y \Box z \end{array}$.
[/mm]
> Wir hatten Gruppenverknüpfungen bis jetzt immer so
> notiert:
> [mm] $\varphi_z [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} G \times G & \to &
> G\\[5pt] (y,z) & \mapsto & y \Box z \end{array}$
[/mm]
> Ist das das gleiche?
Nein. Ich meine genau die Abbildung, die ich da hingeschrieben habe.
> > Wegen der Rechtskürzbarkeit ist [mm] $\varphi_z$ [/mm] injektiv.
Weil aus
$y [mm] \Box [/mm] z = [mm] \varphi_z(y) [/mm] = [mm] \varphi_z(y') [/mm] = y' [mm] \Box [/mm] z$
wegen der Rechtskürzbarkeit folgt:
$y=y'$,
und das ist die Injektivität.
> Warum ist das so? Ist das hier nicht ein Gegenbeispiel?:
> (G = {0,1,2}, +) ist eine Gruppe und damit doch auch
> rechtskürzbar. Aber weil 2+1=0 und 0+0=0 nicht injektiv.
Das hat mit meiner Abbildung nichts zu tun. Dort war ja $z$ fest gewählt.
> > Da $G$ endlich ist, ist $G$ auch surjektiv!
> Das gilt doch auch für unendliches G. Jedes noch so große
> Element kann durch zwei andere ausgedrückt werden (notfalls
> durch sich selbst und dem neutralen Element), oder?
Wie gesagt, schaue dir die Abbildung an. Für ein unendliches $G$ gebe ich ja ein Gegenbeispiel.
Jetzt denk noch mal in Ruhe über meine Lösung nach. Eventuell sehr, sehr lange und konzentriert, bis dir jeder einzelne Schritt klar ist. Du musst die entscheidenden Schritte jetzt selber entdecken und verstehen. Sonst hast du von der Aufgabe nichts. Wenn gar nichts geht, dann meldest du dich wieder und fragst nach.
Anschließend meldest du dich dann bitte und schreibst uns, warum das Gegenbeispiel funktioniert.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:12 Sa 29.05.2004 | | Autor: | Frosty |
Hallo
> Ja, okay, aber du musst dich auch viel mehr damit auseinandersetzen, so richtig in die Aufgabe
> reinbeißen und nicht immer sofort aufgeben. Aber ich erkläre jetzt mal einiges.
Habe ich zwei Stunden lang versucht Habs jetzt aber nach deiner Erklärung verstanden. Mein Problem lang an deiner definierten Funktion. Ich habe gedacht, dass es eine Verknüpfung der Gruppe sein sollte, aber es ist ja eine ganz normale Funktion, die jedem Gruppenelement ein anderes Element zuordnet...
> [mm] $\varphi_z [/mm] : [mm] \begin{array}{ccc} G & \to & G\\[5pt] y & \mapsto & y \Box z \end{array}$.
[/mm]
> $y [mm] \Box [/mm] z = [mm] \varphi_z(y) [/mm] = [mm] \varphi_z(y') [/mm] = y' [mm] \Box [/mm] z$
> wegen der Rechtskürzbarkeit folgt:
> $y=y'$,
> und das ist die Injektivität.
Klar.
> Anschließend meldest du dich dann bitte und schreibst uns,
> warum das Gegenbeispiel funktioniert.
Wenn die Gruppe G = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} endlich ist und man wählt z=5 und [mm]\Box = +[/mm], dann kann ja jedes Element der Guppe wieder abgebildet werden. Wenn man zum Beispiel das erste Element erhalten will, muss man als y einfach 5 nehmen und erhält (weil man ja vorne wieder anfängt zu zählen) 0, das erste Element. Wenn man jetzt aber ganz [mm](\IN_0, +)[/mm] betrachtet, dann kommt man ja am Ende der Gruppe nicht über eine Grenze und fängt nicht an von vorne zu zählen. Also können , wenn z > 0 ist, die ersten Elemente nicht abgebildet werden. Ich glaube ich habe es verstanden Danke. Wenn meine Vorstellungen falsch sind, dann korrigier mich bitte.
Bernhard
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