Unterschiede zwischen Splines < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:26 Do 17.02.2005 | | Autor: | heino |
Hallo,
ich beschäftige mich gerade mit Splines. jedoch stellen sich mir da ein paar mir unlösbare Fragen.
Es gibt ja verschiedene Arten von Splines, Kubische natürliche B-splines, Bezier Splines.
1. Frage: sind eigendlich kubische und natürliche Splines das gleiche? Denn irgendwie tauchen die Begriffe immer parallel auf?
Also wie kubische Splines funktionieren hab ich so halbwegs verstanden, jedoch tu ich mich mit den anderen (b-splines. bezier splines) schwer. kann mir jemand eine Seite sagen auf der diese beiden wirklich sehr einfach erklärt sind?
Als erklärung hab ich bisher gefunden:"Wie auch der Raum der Polynome ist der Raum der stückweisen Polynome ein Vektorraum und hat eine Basis." jedoch weiss ich weder was ein Vektorraum ist noch was mit Basis gemeint ist ;-( auch ein mathe duden hat mir nicht wirklich weiter geholfen...
Und vor allem wollte ich die Unterschiede zwischen den Splines erarbeiten, was jedoch nicht klappt wenn ich diese im einzelenen nicht richtig verstehe...
Es wäre schön wenn mir jemand weiter helfen könnte, und auf einem niveau von 12. Klasse dies erklären kann.
Danke schon mal im voraus!
'Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo,
ich kann dir nur einen Teil sagen:
also wenn dir klar ist was die kubischen Splines sind, dann hast du sicher
auch was über die Anzahl der Bedingungen, die man braucht um das
System zu lösen und es bleiben zwei Freiheitsgrade übrig, die man
noch irgendwie belegen muss (falls unklar, nochmal fragen)
Dafür gibt es unterschiedliche Möglichkeiten weitere zwei Bedingungen
für die fehlende Eindeutigkeit zu wählen. Häufig ergeben sich diese
aus dem physikalischen Zusammenhang.
Eine Möglichkeit ist halt:
[mm] $s''(x_0)=s''(x_n) [/mm] = 0$ und diese heißt einfach "natürlicher Spline", d.h.
die Funktionen werden am Intervallrand einfach linear fortgesetzt.
gruß
marthasmith
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Fr 18.02.2005 | | Autor: | heino |
Hi, ich hab da dann doch noch ne Frage....
Sehe ich das jetzt richtig, dass z.B. natürliche und periodische Splines bestimmte kubische Splines sind? Und diese nur durch die Art wie man die letzten beiden Bedingungen aufstellt unterscheiden?
Ich habe jetzt eine Lösungsmethode gefunden (die ich sogar halbwegs verstehe) nach der ich das erste mal 8bedingungen aufstellen muss, um die ersten drei Punkte durch zwei Funktionen zu implizieren. Danach sind für jede weitere Funktion zwischen zwei Punkten nur noch vier Bedingungen nötig.
Sind das dann kubische Splines?
Und wie heissen Splines, bei denen die Randableitung vorgegeben wird?
Danke für eure Hilfe!
Mfg Sebastian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:01 Fr 18.02.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo Sebastian,
> Hi, ich hab da dann doch noch ne Frage....
> Sehe ich das jetzt richtig, dass z.B. natürliche und
> periodische Splines bestimmte kubische Splines sind? Und
> diese nur durch die Art wie man die letzten beiden
> Bedingungen aufstellt unterscheiden?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Exacta Mundo !!
> Ich habe jetzt eine Lösungsmethode gefunden (die ich sogar
> halbwegs verstehe) nach der ich das erste mal 8bedingungen
> aufstellen muss, um die ersten drei Punkte durch zwei
> Funktionen zu implizieren. Danach sind für jede weitere
> Funktion zwischen zwei Punkten nur noch vier Bedingungen
> nötig.
> Sind das dann kubische Splines?
mit dem ersten weiß ich nicht genau, aber wenn du auf einem Teilintervall das Polynom schon kennst und dann im nächsten Teilintervall 4 Bedingungen an das Polynom stellst, ist dies eindeutig, wenn es dritten Grades , also : kubisch , ist.
> Und wie heissen Splines, bei denen die Randableitung
> vorgegeben wird?
Das wird teilweise unterschiedlich benannt. Ich kenne : "vollständige-" und "Hermite-" Splines, wo man also am Rand noch die Ableitung der zu interpolierenden Funktion kennt.
btw: B-Splines sind im Gegensatz zu kubischen Splines (soweit ich weiß) einfach nur Polynome höheren Grades auf den Teilintervallen - diese werden dann auch noch zu einer besonderen Basis (abgebrochene Potenzen oder so) angegeben - müssen also eine besondere Form haben.
Bsp: eine Basis für Polynome dritten Grades sind die sog. Monome: {1,x, [mm] x^2 [/mm] , [mm] x^3 [/mm] }
dann kann man jedes solcher Polynome darstellen als: $ [mm] p=a*x^3+b*x^2+c*x+d*1 [/mm] $
Man kann aber auch eine andere Form wählen, dann wäre eine andere Darstellung:
$ [mm] p=f_1+f_2 *(x-x_1)+f_3 *(x-x_1)(x-x_2)+f_4 *(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) [/mm] $
wobei die [mm] f_i [/mm] speziell gewählt sein müssen, dann ist $ [mm] \{ 1, (x-x_1), (x-x_1)(x-x_2) , (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) \} [/mm] $ die sog. Newton-Basis, wobei [mm] x_1 [/mm] bis [mm] x_3 [/mm] spezielle Punkte (im Intervall) sind.
Ich weiß aber nicht, ob man sowas ohne Vektorraum-Kenntnisse vermiteln kann...
Aber frag ruhig immer weiter...
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:16 Sa 19.02.2005 | | Autor: | heino |
Hallo,
danke erst einmal für eure Hilfe! Und ich hab da noch mal ne Frage... 
Ich will durch Splines eine bestimmte Form eines Fahrzeuges darstellen. Schön und gut ich hab dann auch Bedingungen aufgestellt u.a. welche mit der mittleren Steigung. (wie ich es in einer Erklärung gefunden hatte) Nun musste ich aber feststellen, dass die Kurve am Anfang und am Ende trotz der Splines unerwünschte Extrema hat.
Durch ausprobieren mit einem Programm fand ich heraus, dass man auch, statt der mittleren Steigung, eine vorgegebene Steigung für den linken bzw. rechten rand angeben kann. Ich hab dann solange probiert, bis ich die "richtige" Steigung am linken bzw. rechten Rand herausgefunden hatte.
Nun stellt sich mir aber die Frage, wie komme ich auf rechnerischen Weg auf die richtige Steigung am Rand? Denn ausprobieren ist ja nicht grad eine sehr zuverlässige Methode....
Danke nochmals für eure Hilfe!
Mfg Sebastian
|
|
|
| |
|
Hallo Sebastian,
Ich nehme mal an mit Extrema meinst Du die Steigungen des Splines am Rand.
Wenn Du "natürliche" Splines nimmst wird das wohl nicht vorkommen. Es sei denn das die Steigungen aus den Stützstellen selbst kommt. Davon die mittlere Steigung zu benutzen hab ich noch nie etwas gehört. Könntest du dazu eine Quelle angeben.
gruß
mathemaduenn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:03 Mo 14.03.2005 | | Autor: | heino |
Hallo,
es gibt ja von kubischen Splines unterarten. Z.B. natürliche , periodische oder allgemeine Splines.
Wie heissen denn die, bei denen man als Randbedingung die mittlere Steigung zwischen den einzelnen Stützpunkten in die erste Ableitung einsetzt?
Danke für eure Bemühungen!!!
Mfg Heino
|
|
|
| |
|
Hallo Heino,
Betrachte mal diesen Strang. Er führt dich geradewegs in eines der Usenet-Archive des Internets. Dort wurde ein großer Strang zum Thema "Splines" archiviert. Buchempfehlungen gibt es dort auch.
Viele Grüße
Karl
|
|
|
|
