Untersuch. auf Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:53 Fr 16.01.2015 | | Autor: | Tiger87 |
| Aufgabe 1 | Untersuchen sie on U = [mm] \vektor{x1 \\ x2\\ x3}\in R^{3}|x1+x2 [/mm] =0,x3 [mm] \in [/mm] R
ein Untervektorraum vom [mm] R^{3} [/mm] ist. |
| Aufgabe 2 | Untersuchen sie on U = [mm] \vektor{x1 \\ x2\\ x3}\in C^{3}|x1+x2 [/mm] =0,x3 [mm] \in [/mm] R
ein Untervektorraum vom [mm] C^{3} [/mm] ist. |
Mich irritiert das x3 sehr. Normalerweise würde ich das folgendermaßen lösen:
Aufgabe1:
Existenz Nullvektor (i): [mm] \vektor{0 \\ 0} \in [/mm] U ,denn 0+0=0 .
Existenz Addition(ii):
v [mm] \vektor{v1 \\ v2} \in [/mm] U w [mm] \vektor{w1 \\ w2} \in [/mm] U , v+w= [mm] \pmat{ v1 + &w1 \\ v2 +& w2 }
[/mm]
Einsetzen in Gleichung:
= (v1+w1)+(v2+w2) = 0+0 =0
Existenz Multiplikation(iii):
[mm] \alpha \in [/mm] K (Körper) v [mm] \vektor{v1 \\ v2} \in [/mm] U , [mm] \alpha [/mm] *v = [mm] \vektor{\alpha v1 \\ \alpha v2}
[/mm]
Einsetzen in Gleichung:
= [mm] \alpha [/mm] * v1+ [mm] \alpha [/mm] *v2 [mm] \gdw \alpha [/mm] * (v1+v2) = alpha *0 =0
Ich habe keine Ahnung was das x3 zu bedeuten hat. Ist das ein abhängiger Vektor oder muss ich zeigen, dass U eine unechte Teilmenge von [mm] R^{3} [/mm] ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Untersuchen sie on U = [mm] \{\vektor{x1 \\ x2\\ x3}\in R^{3}|x1+x2 =0, x3 \in R\}
[/mm]
> ein Untervektorraum vom [mm]R^{3}[/mm] ist.
> Untersuchen sie on U = [mm] \{\vektor{x1 \\ x2\\ x3}\in R^{3}|x1+x2 =0, x3 \in R\}
[/mm]
> ein Untervektorraum vom [mm]C^{3}[/mm] ist.
> Mich irritiert das x3 sehr.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
In der Menge U sind Spaltenvektoren [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] mit 3 Einträgen aus den reellen Zahlen, die von einer bestimmten Machart sind:
für die ersten beiden Einträge muß gelten [mm] x_1+x_2=0,
[/mm]
an den drittem Eintrag gibt es keine weiteren Bedingungen außer daß er aus [mm] \IR [/mm] sein muß.
Im Prinzip hätte man das [mm] "x_3\in \IR" [/mm] auch weglassen können,
ist ja schon in " [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}\in\IR^3" [/mm] enthalten.
In U sind also z.B. [mm] \vektor{3\\-3\\-19}, \vektor{-\wurzel{2}\\\wurzel{2}\\\pi}, \vektor{0\\0\\31} [/mm] enthalten.
Ich frage mich, ob in der zweiten Aufgabe die Menge U wirklich so heißen soll, wie Du schreibst.
Oder soll da vielleicht eher [mm] \vektor{x1 \\ x2\\ x3}\in \IC^{3} [/mm] stehen?
> Normalerweise würde ich das
> folgendermaßen lösen:
> Aufgabe1:
>
> Existenz Nullvektor (i): [mm]\vektor{0 \\ 0} \in[/mm] U ,denn 0+0=0
Momentchen!
Es geht um Vektoren des [mm] \IR^3.
[/mm]
Zu prüfen ist also, ob der Nullvektor des [mm] \IR^3, \vektor{\red{0}\\\blue{0}\\\green{0}}, [/mm] drin ist.
Ist er, denn [mm] \red{0}+\blue{0}=0, [/mm] (und [mm] \green{0}\in\IR, [/mm] was aber nicht weiter erwähnenswert ist.)
Ebenso mußt Du bei Addition und Multiplikation Vektoren mit drei Einträgen prüfen.
> .
>
> Existenz Addition(ii):
Es geht nicht um die Existenz, sondern um die Abgeschlossenheit der Addition, daraum also, ob mit zwei Elementen aus U auch ihre Summe in U liegt.
> v [mm]\vektor{v1 \\ v2} \in[/mm] U w [mm]\vektor{w1 \\ w2} \in[/mm] U ,
> v+w= [mm]\pmat{ v1 + &w1 \\ v2 +& w2 }[/mm]
>
> Einsetzen in Gleichung:
> = (v1+w1)+(v2+w2) = 0+0 =0
Seien [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}, w:=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}\in [/mm] U.
Dann ist [mm] v_1+v_2=0 [/mm] und [mm] w_1+w_2=0.
[/mm]
Es ist [mm] v+w=\vektor{...\\...\\...}.
[/mm]
Es ist
> (v1+w1)+(v2+w2)
= [mm] (v_1+v_2)+(w_1+w_2) \qquad [/mm] (warum?)
=0+0=0,
also ist [mm] v+w\in [/mm] U.
Entsprechend die Multiplikation mit Skalaren.
Bzgl Aufgabe 2 müssen wir erst die Menge U klären,
und auch, ob eigentlich [mm] \IC^3 [/mm] als VR über [mm] \IR [/mm] oder über [mm] \IC [/mm] betrachtet werden soll.
LG Angela
>
>
> Existenz Multiplikation(iii):
> [mm]\alpha \in[/mm] K (Körper) v [mm]\vektor{v1 \\ v2} \in[/mm] U , [mm]\alpha[/mm]
> *v = [mm]\vektor{\alpha v1 \\ \alpha v2}[/mm]
>
> Einsetzen in Gleichung:
> = [mm]\alpha[/mm] * v1+ [mm]\alpha[/mm] *v2 [mm]\gdw \alpha[/mm] * (v1+v2) = alpha *0
> =0
> Ich habe keine Ahnung was das x3 zu bedeuten hat. Ist das
> ein abhängiger Vektor oder muss ich zeigen, dass U eine
> unechte Teilmenge von [mm]R^{3}[/mm] ist?
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Fr 16.01.2015 | | Autor: | Tiger87 |
> Ich frage mich, ob in der zweiten Aufgabe die Menge U
> wirklich so heißen soll, wie Du schreibst.
> Oder soll da vielleicht eher [mm]\vektor{x1 \\ x2\\ x3}\in \IC^{3}[/mm]
> stehen?
Du hast Recht. Hab es beim korrigieren versentlich geändert.
> > Normalerweise würde ich das
> > folgendermaßen lösen:
> > Aufgabe1:
> >
> > Existenz Nullvektor (i): [mm]\vektor{0 \\ 0} \in[/mm] U ,denn 0+0=0
>
> Momentchen!
>
> Es geht um Vektoren des [mm]\IR^3.[/mm]
> Zu prüfen ist also, ob der Nullvektor des [mm]\IR^3, \vektor{\red{0}\\\blue{0}\\\green{0}},[/mm]
> drin ist.
>
> Ist er, denn [mm]\red{0}+\blue{0}=0,[/mm] (und [mm]\green{0}\in\IR,[/mm] was
> aber nicht weiter erwähnenswert ist.)
Gut, dass habe ich Verstanden. Danke
> Ebenso mußt Du bei Addition und Multiplikation Vektoren
> mit drei Einträgen prüfen.
>
> > .
> >
> > Existenz Addition(ii):
>
> Es geht nicht um die Existenz, sondern um die
> Abgeschlossenheit der Addition, daraum also, ob mit zwei
> Elementen aus U auch ihre Summe in U liegt.
Richtig, ich hab mich da falsch ausgedrückt
> > v [mm]\vektor{v1 \\ v2} \in[/mm] U w [mm]\vektor{w1 \\ w2} \in[/mm] U ,
> > v+w= [mm]\pmat{ v1 + &w1 \\ v2 +& w2 }[/mm]
> >
> > Einsetzen in Gleichung:
> > = (v1+w1)+(v2+w2) = 0+0 =0
>
> Seien [mm]v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}, w:=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}\in[/mm]
> U.
> Dann ist [mm]v_1+v_2=0[/mm] und [mm]w_1+w_2=0.[/mm]
> Es ist [mm]v+w=\vektor{...\\...\\...}.[/mm]
und $ [mm] \green{x3}\in\IR, [/mm] $ ?
>
> Es ist
>
> > (v1+w1)+(v2+w2)
>
> = [mm](v_1+v_2)+(w_1+w_2) \qquad[/mm] (warum?)
>
> =0+0=0,
>
> also ist [mm]v+w\in[/mm] U.
Hier hast du mich ein wenig verwirrt. Warum (v1+v2)+(w1+w2) ?
> Entsprechend die Multiplikation mit Skalaren.
hier auch [mm] \alpha [/mm] * [mm]v+w=\vektor{...\\...\\...}.[/mm]
und [mm] $\green{x3}\in\IR, [/mm] $ ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> > > Addition(ii):
> >
> > Es geht daraum also, ob mit zwei
> > Elementen aus U auch ihre Summe in U liegt.
>
und das prüft man, indem man schaut, ob die Summe der ersten beiden Einträge 0 ergibt und ob der dritte Eintrag in [mm] \IR [/mm] ist.
> > Seien [mm]v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}, w:=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}\in[/mm]
> > U.
> > Dann ist [mm]v_1+v_2=0[/mm] und [mm]w_1+w_2=0.[/mm]
und [mm] v_3, w_3\in \IR.
[/mm]
>
> > Es ist [mm]v+w=\vektor{...\\...\\...}.[/mm]
Eigentlich hätte ich gedacht, daß Du die Lücken mal ausfüllst.
Was ergibt denn die Summe der beiden Vektoren?
>
> und [mm]\green{x3}\in\IR,[/mm] ?
???
[mm] x_3 [/mm] kommt hier doch gar nicht vor?
Du kannst aber eine Begründung dafür hinschreiben, daß der dritte Eintrag eine reelle Zahl ist.
>
Vor allem aber ist zu prüfen, ob die Summe der ersten beiden Einträge von u+v wie gefordert 0 ergibt:
> >
> > Es ist
> >
> > > (v1+w1)+(v2+w2)
(das ist die Summe der ersten beiden Einträge)
> >
> > = [mm](v_1+v_2)+(w_1+w_2) \qquad[/mm] (warum?)
(hab' die nun so getauscht, daß ich die Voraussetzung, daß [mm] v,w\in [/mm] U sind, verwenden kann)
> >
> > =0+0=0,
> >
> > also ist [mm]v+w\in[/mm] U.
Weil der Vektor v+w alle Bedingungen, die an einen Vektor aus U gestellt werden, erfüllt.
>
> Hier hast du mich ein wenig verwirrt. Warum (v1+v2)+(w1+w2)
Naja, aufgrund der Rechenregeln in den reellen Zahlen darf ich tauschen usw.
Ich habe das getan, damit ich die Voraussetzung, daß [mm] v,w\in [/mm] U sind, daß also
[mm]v_1+v_2=0[/mm] und [mm]w_1+w_2=0[/mm]
gilt, verwenden kann.
> ?
>
> > Entsprechend die Multiplikation mit Skalaren.
>
> hier auch [mm]\alpha[/mm] * [mm]v+w=\vektor{...\\...\\...}.[/mm]
Nein.
Du mußt zeigen, daß für [mm] \alpha\in \IR [/mm] und [mm] v\in [/mm] U [mm] \alpha v\in [/mm] U.
Berechne dazu zuerst [mm] \alpha [/mm] v und zeige dann, daß die Summe seiner ersten beiden Einträge 0 ergibt, und daß der dritte Eintrag eine reelle Zahl ist.
LG Angela
>
> und [mm]\green{x3}\in\IR,[/mm] ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:24 Sa 17.01.2015 | | Autor: | Tiger87 |
Hallo,
Also:
i)
[mm]v=\vektor{0\\0\\0}.[/mm] [mm] \in [/mm] U , denn
v1 +v2 = (0+0)=0 und 0 [mm] \in [/mm] R
ii)
Seien $ [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}, w:=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}\in [/mm] $
[mm]v+w=\vektor{v1+w1\\v2+w2\\v3+w3}.[/mm]
v1,v2,w1,w2 = 0
(v1+w1)+(v2+w2) = (0+0)+(0+0)=0
[mm] \Rightarrow [/mm] Summe der ersten beiden Vektoren = 0 )
Dann umstellen: $ [mm] (v_1+v_2)+(w_1+w_2) \qquad [/mm] $ = (0+0)+(0+0)=0
[mm] \Rightarrow \vektor{v1+w1\\v2+w2} \in [/mm] U
Dann x3: (v3+w3)=(0+0) = 0 [mm] \Rightarrow \in [/mm] R
iii) [mm] \alpha \in [/mm] R , [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} \in [/mm] U
[mm]\alpha[/mm] * [mm]v=\vektor{\alpha *v1\\ \alpha *v2\\ \alpha *v3}.[/mm]
[mm] (\alpha [/mm] * v1) [mm] +(\alpha [/mm] *v2) = [mm] \alpha [/mm] * (v1+v2) = [mm] \alpha [/mm] (0+0) = 0
[mm] (\alpha [/mm] * v3) = [mm] (\alpha [/mm] * 0) = 0 und 0 [mm] \in [/mm] R
Ich hoffe ich hab dich jetzt verstanden. Kann ich das zeigen von v [mm] \in [/mm] U damit umgehen, dass ich gleich am Anfang v als Teilmenge von U angebe?
Ich habe noch die dritte Teilaufgabe vergessen:
Eine nicht-leere Teilmenge von [mm] R^{2} [/mm] die abgeschlossen bezüglich der skalaren Multiplikation aber nicht der Addition ist.
Könnte damit eine Multiplikation mit 0 und eine Addition mit x [mm] \in [/mm] R gemeint sein?
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> Also:
>
> i)
> [mm]v=\vektor{0\\0\\0}.[/mm] [mm]\in[/mm] U , denn
>
> v1 +v2 = (0+0)=0 und 0 [mm]\in[/mm] R
Hallo,
ja.
(Das [mm] 0\in \IR [/mm] kann man sich eigentlich sparen, denn wir betrachten ja eine Teilmenge des [mm] \IR^3. [/mm] Aber da es in der Beschreibung der Menge ausdrücklich erwähnt ist, ist's auch nicht falsch, es zu erwähnen.)
>
> ii)
> Seien [mm]v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}, w:=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}\in[/mm] U
Was bedeutet das für die [mm] w_i [/mm] und [mm] v_i?
[/mm]
>
> [mm]v+w=\vektor{v1+w1\\v2+w2\\v3+w3}.[/mm]
>
> v1,v2,w1,w2 = 0
??? Wie kommst Du denn darauf? Warum sollte das der Fall sein?
>
> (v1+w1)+(v2+w2) = (0+0)+(0+0)=0
Daß 0 rauskommt ist richtig, aber die Argumentation stimmt überhaupt nicht.
(Ich hatte das doch vorgemacht?)
> [mm]\Rightarrow[/mm] Summe der ersten beiden Vektoren = 0 )
Nein. Es ist doch nicht die Summe der "ersten beiden Vektoren" gleich 0, und sie soll es auch nicht sein.
0 ist die Summe der ersten beiden Einträge im Summenvektor. Deshalb wissen wir, daß er in U ist.
>
> Dann umstellen: [mm](v_1+v_2)+(w_1+w_2) \qquad[/mm] =
> (0+0)+(0+0)=0
>
> [mm]\Rightarrow \vektor{v1+w1\\v2+w2} \in[/mm] U
>
> Dann x3: (v3+w3)=(0+0) = 0 [mm]\Rightarrow \in[/mm] R
Ogottogott...
Du hast nur wenig verstanden...
Ich mache das jetzt nochmal richtig vor.
zu ii)
Zu zeigen ist, daß für beliebige zwei Vektoren v und w, die in der Menge U sind,
auch ihre Summe v+w in U ist.
Bew: seien [mm] v,w\in [/mm] U.
Der Definition der Menge U entnehmen wir:
es sind [mm] v,w\in \IR^3,
[/mm]
es gibt also reelle Zahlen [mm] v_i, w_i [/mm] (i=1,2,3) mit
[mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3}, w:=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}.
[/mm]
Nun sind aber nicht alle Spaltenvektoren des [mm] \IR^3 [/mm] in der Menge U, sondern nur diejenigen mit einer zusätzlichen Eigenschaft: die Summe der ersten beiden Einträge ergibt 0.
Weoil wir vorausgesetzt haben daß v,w in U sind, wissen wir:
[mm] (\*) v_1+v_2=0 [/mm] und [mm] w_1+w_2=0.
[/mm]
Nun wollen wir wissen, ob die Summe auch in U ist.
es ist [mm] v+w=\vektor{v_1+w_1\\v_2+w_2\\v_3+w_3}.
[/mm]
Wenn der Vektor in U ist muß die Summe der ersten beiden Einträge 0 ergeben.
Das rechnen wir nun vor:
[mm] (v_1+w_1)+(v_2+w_2)
[/mm]
[mm] =(v_1+v_2)+(w_1+w_2) \qquad [/mm] (Rechnen in [mm] \IR)
[/mm]
= 0+0 [mm] \qquad [/mm] (nach Voraussetzung [mm] (\*))
[/mm]
=0
Diese Bedingung ist also erfüllt.
Da [mm] v_3, w_3\in \IR [/mm] ist der letzte Eintrag, [mm] v_3+w_3, [/mm] eine reelle Zahl.
Insgesamt ist nun gezeigt: für [mm] v,w\in [/mm] U ist [mm] v+w\in [/mm] U.
>
> iii) [mm]\alpha \in[/mm] R , [mm]v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} \in[/mm] U
(/*) Dann ist [mm] v_1+v_2=0.
[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] * [mm]v=\vektor{\alpha *v1\\ \alpha *v2\\ \alpha *v3}.[/mm]
Richtig.
Jetzt prüft man die Summe der ersten beiden Einträge:
>
> [mm](\alpha[/mm] * v1) [mm]+(\alpha[/mm] *v2) = [mm]\alpha[/mm] * (v1+v2)
Richtig.
= [mm]\alpha[/mm] (0+0) = 0
Falsch. Entscheidend ist hier die Voraussetzung [mm] (\*).
[/mm]
>
> [mm](\alpha[/mm] * v3) = [mm](\alpha[/mm] * 0) = 0 und 0 [mm]\in[/mm] R
Falsch.
[mm] \alpha*v_3\in \IR, [/mm] weil [mm] \alpha [/mm] und [mm] v_3\in \IR.
[/mm]
Damit ist gezeigt, daß [mm] \alpha*v\in [/mm] U.
>
> Ich hoffe ich hab dich jetzt verstanden. Kann ich das
> zeigen von v [mm]\in[/mm] U
Man zeigt nicht [mm] v\in [/mm] U,
sondern man nimmt ein beliebige Vektoren aus U und zeigt, daß dann auch ihre Summe bzw. dasProdukt mit einem Skalar in U ist.
> damit umgehen, dass ich gleich am Anfang
> v als Teilmenge von U angebe?
???
Ich weiß nicht, was Du damit meinst.
v ist doch ein Element von U.
>
>
> Ich habe noch die dritte Teilaufgabe vergessen:
Und die zweite der geposteten Aufgaben mußt Du auch noch bearbeiten.
> Eine nicht-leere Teilmenge von [mm]R^{2}[/mm] die abgeschlossen
> bezüglich der skalaren Multiplikation aber nicht der
> Addition ist.
Du sollst so eine Teilmenge angeben?
(Dann schreib' das doch auch so.)
> Könnte damit eine Multiplikation mit 0 und eine Addition
> mit x [mm]\in[/mm] R gemeint sein?
Nein.
Es ist doch vorgeben, daß es um eine Teilmenge von [mm] \IR^2 [/mm] (mit den dazugehörigen, hier unverhandelbaren Verknüpfungen) geht.
Eine Menge wie gefordert ist die Menge [mm] M:=\{\vektor{x\\y}\in \IR^2| x^2-y^2=0\}
[/mm]
Du kannst zeigen, daß jedes skalare Vielfache eines Elementes aus M wieder in M ist, aber Du findest Beispiele von Vektoren, die in M sind, für deren Summe das aber nicht zutrifft.
LG Angela
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:45 So 18.01.2015 | | Autor: | Tiger87 |
Hallo,
danke für die viele Hilfe. Jetzt habe ich es verstanden. Das erste U erfüllt alle drei Teilbedingungen und ist deswegen Untervektorraum von [mm] R^{3}
[/mm]
Bei den Komplexen Zahlen wird:
i) [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} \in [/mm] U durch v1+v2 = 0+0i +0+0i = 0 [mm] \in [/mm] R und v3 = 0+0i [mm] \in [/mm] R erfüllt.
ii): v,w [mm] \in [/mm] U [mm] v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} w:=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}
[/mm]
v+w = [mm] \vektor{v_1 + w_1\\v_2 + w_2\\v_3 + w_3}
[/mm]
(v1+w1) +(v2+w2) [mm] \gdw [/mm] (v1+v2) + (w1+w2)
[mm] \Rightarrow [/mm] (0)+(0)=0
v3,w3 [mm] \not\in [/mm] R , da (a+bi) +(c+di) = (a+b)+(c+d)*i
Damit kein Untervektorraum von U, da als Bedingung für x3 [mm] \in [/mm] R angegeben wurde.
iii) Würde genauso laufen. [mm] \alpha \in [/mm] C [mm] \alpha [/mm] * v3 = ac + adi + cbi + [mm] bdi^{2}
[/mm]
> Eine Menge wie gefordert ist die Menge
> [mm]M:=\{\vektor{x\\y}\in \IR^2| x^2-y^2=0\}[/mm]
Also:
[mm] \alpha \in [/mm] R [mm] v:=\vektor{x^{2}\\y^{2}} \in R^{2}
[/mm]
[mm] \alpha [/mm] * [mm] x^{2} [/mm] - [mm] \alpha [/mm] * [mm] y^{2} [/mm] = [mm] \alpha (x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] ) [mm] \Rightarrow \alpha [/mm] * 0 = 0
v,w [mm] \in R^{2} v:=\vektor{a ^{2}\\b ^{2}} [/mm] w:= [mm] \vektor{x^{2}\\y^{2}} [/mm]
v - w:
[mm] (a^{2} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] ) - ( [mm] b^{2} [/mm] - [mm] y^{2}) [/mm] = [mm] (a^{2} -b^{2} [/mm] ) -( [mm] x^{2} -y^{2} [/mm] )
Jetzt weiß ich nicht weiter, weil ich es ja wieder auf null bekomme.
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> danke für die viele Hilfe. Jetzt habe ich es verstanden.
> Das erste U erfüllt alle drei Teilbedingungen und ist
> deswegen Untervektorraum von [mm]R^{3}[/mm]
Hallo,
genau.
>
> Bei den Komplexen Zahlen wird:
>
> i) [mm]v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} \in[/mm] U durch v1+v2 = 0+0i +0+0i
> = 0 [mm]\in[/mm] R und v3 = 0+0i [mm]\in[/mm] R erfüllt.
Vielleicht meinst Du es richtig.
Zu zeigen ist, daß die Null des [mm] \IC^3, [/mm] also der Vektor [mm] \vektor{0\\0\\0} [/mm] in U ist.
Das stimmt offenbar, denn die ersten beiden Einträge ergeben addiert 0, und der dritte Eintrag, die 0, ist eine reelle Zahl.
>
> ii): v,w [mm]\in[/mm] U [mm]v:=\vektor{v_1\\v_2\\v_3} w:=\vektor{w_1\\w_2\\w_3}[/mm]
Was wissen wir, wenn diese beiden Vektoren in U sind?
>
> v+w = [mm]\vektor{v_1 + w_1\\v_2 + w_2\\v_3 + w_3}[/mm]
>
> (v1+w1) +(v2+w2) [mm]\gdw[/mm] (v1+v2) + (w1+w2)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] (0)+(0)=0
Richtig wäre
(v1+w1) +(v2+w2) [mm] \red{=} [/mm] (v1+v2) + [mm] (w1+w2)\red{=}0+0=0,
[/mm]
wobei Du das erste Gleichheitszeichen begründen mußt.
>
> v3,w3 [mm]\not\in[/mm] R , da (a+bi) +(c+di) = (a+b)+(c+d)*i
>
> Damit kein Untervektorraum von U, da als Bedingung für x3
> [mm]\in[/mm] R angegeben wurde.
Bedenke dies nochmal, wenn Du Dir weiter oben notiert hast, was Du über v und w weißt.
>
> iii) Würde genauso laufen. [mm]\alpha \in[/mm] C [mm]\alpha[/mm] * v3 = ac
> + adi + cbi + [mm]bdi^{2}[/mm]
Gib hier einen ganz konkreten Vektor v an (mit Zahlen), der in U ist und eine konkrete Zahl [mm] \alpha, [/mm] so daß [mm] \alpha [/mm] v nicht in U ist.
Damit hast Du dann widerlegt, daß U ein Unterraum des [mm] \IC^3 [/mm] ist.
>
>
> > Eine Menge wie gefordert ist die Menge
> > [mm]M:=\{\vektor{x\\y}\in \IR^2| x^2-y^2=0\}[/mm]
>
> Also:
Also sagst Du jetzt erstmal, was Du zeigen möchtest:
M ist abgeschlossen bzgl der Multiplikation mit Skalaren.
>
> [mm]\alpha \in[/mm] R [mm]v:=\vektor{x^{2}\\y^{2}} \in R^{2}[/mm]
Nein.
Es muß [mm] \alpha\in \IR [/mm] sein und [mm] v:=\vektor{x\\y} \in [/mm] M.
Was weißt Du jetzt über x und y?
Nun berechne [mm] \alpha v=\vektor{...\\...} [/mm] und prüfe, ob dieser Vektor in M ist.
> v,w [mm]\in R^{2} v:=\vektor{a ^{2}\\b ^{2}}[/mm] w:=
> [mm]\vektor{x^{2}\\y^{2}}[/mm]
S.o.: die Vektoren müssen in M sein.
Du willst doch die Abgeschlossenheit von M bzgl + widerlegen.
Widerlegen tut man mit konkreten Zahlenbeispielen.
Gib zwei Vektoren an, die in M sind, deren Summe aber nicht in M ist.
LG Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 18.01.2015 | | Autor: | Tiger87 |
> Was wissen wir, wenn diese beiden Vektoren in U sind?
Das v1+v2 =0 und w1 +w2 =0
Und das es komplexe Zahlen sind. Diesen Schritt habe ich aus Faulheitsgründen nicht auch noch in das Forum hingeschrieben.
> > Damit kein Untervektorraum von U, da als Bedingung für x3
> > [mm]\in[/mm] R angegeben wurde.
>
> Bedenke dies nochmal, wenn Du Dir weiter oben notiert hast,
> was Du über v und w weißt.
v3 ist doch von v1,v2 unabhängig.
> Nein.
> Es muß [mm]\alpha\in \IR[/mm] sein und [mm]v:=\vektor{x\\y} \in[/mm] M.
> Was weißt Du jetzt über x und y?
[mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] =0
$ [mm] \alpha v=\vektor{\alpha* x\\ \alpha * y} [/mm] $
[mm] \alpha [/mm] * x [mm] +\alpha [/mm] *y = [mm] \alpha [/mm] *(x+y)
Jetzt weiß ich nicht wie ich auf das Quadrat komme ohne ein Binom zu bilden
------------------
Addition:
[mm] v=\vektor{1\\2} w=\vektor{3\\4} \in [/mm] U
v+w = [mm] \vektor{4\\6} [/mm]
Müsste nach Vorraussetzung [mm] x^{2} [/mm] - [mm] y^{2} [/mm] =0 ergeben.
ergibt aber 16 -36 = -20 damit [mm] \not\in [/mm] U
|
|
|
| |
|
> > Was wissen wir, wenn diese beiden Vektoren in U sind?
>
> Das v1+v2 =0 und w1 +w2 =0
> Und das es komplexe Zahlen sind. Diesen Schritt habe ich
> aus Faulheitsgründen nicht auch noch in das Forum
> hingeschrieben.
Hallo,
solangeman es schwer hat, einigermaßen durchzublicken, kann man sich solche Faulheit nicht leisten.
Etwas Wichtiges hast Du auch vergessen: aufgrund der Def. von U sind [mm] v_3 [/mm] und [mm] w_3 [/mm] reelle Zahlen.
In Aufgabe 2) ist das von Belang!
>
> > > Damit kein Untervektorraum von U, da als Bedingung für x3
> > > [mm]\in[/mm] R angegeben wurde.
> >
> > Bedenke dies nochmal, wenn Du Dir weiter oben notiert hast,
> > was Du über v und w weißt.
>
> v3 ist doch von v1,v2 unabhängig.
Ja. Und es ist aus [mm] \IR, [/mm] genau wie [mm] w_3...
[/mm]
>
>
>
>
> > Nein.
> > Es muß [mm]\alpha\in \IR[/mm] sein und [mm]v:=\vektor{x\\y} \in[/mm] M.
> > Was weißt Du jetzt über x und y?
>
> [mm]x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] =0
Ja.
>
> [mm]\alpha v=\vektor{\alpha* x\\ \alpha * y}[/mm]
>
> [mm]\alpha[/mm] * x [mm]+\alpha[/mm] *y = [mm]\alpha[/mm] *(x+y)
???
Du willstdoch prüfen, ob [mm] \vektor{\alpha* x\\ \alpha * y} [/mm] in M ist.
Dazu mußt Du doch nachrechnen, ob [mm] 1.Eintrag^2-2.Eintrag^2 [/mm] gleich 0 ist.
>
> Addition:
>
> [mm]v=\vektor{1\\2} w=\vektor{3\\4} \in[/mm] U
Meinst Du mit U vielleicht M?
Woran erkennst Du, ob ein Vektor in M ist.
Die beiden sind nicht in M und damitabsolutunbrauchbar.
LG Angela
>
> v+w = [mm]\vektor{4\\6}[/mm]
>
> Müsste nach Vorraussetzung [mm]x^{2}[/mm] - [mm]y^{2}[/mm] =0 ergeben.
> ergibt aber 16 -36 = -20 damit [mm]\not\in[/mm] U
>
>
|
|
|
|
