Untersuchen Konvergenz in R < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:09 Fr 02.05.2008 | | Autor: | stxx |
| Aufgabe | [mm] f(x)=\begin{cases} -2x -2, & \mbox{für } \mbox{ x<-1} \\ x², & \mbox{für } \mbox{ x>=-1} \end{cases}
[/mm]
h:= f|[-4,-1]
Untersuchen Sie für alle Punkte in a [mm] \in \IR [/mm] bzw. [-4,-1], ob f bzw. h in a konvergent ist oder nicht, und berechnenSie gegebenenfalls den Grenzwert.
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Hallo,
ich hab ein Verständnisproblem bei dieser Aufgabe. Mir ist klar wie ich in einzelnen Punkten nach Konvergenz untersuche, aber ich finde keinen ansatz wie ich das für alle Punkte in [mm] \IR [/mm] machen soll. Für jede Hilfe wäre ich sehr dankbar.
David
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:32 Sa 03.05.2008 | | Autor: | stxx |
Sorry für das Missgeschick aber das "n" hab ich versäümt aus der Aufgabe zu entfernen als ich vorgegebenen Symbole genutzt hatte. Ich hab das korrigiert in der Aufgabenstellung.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]f(x)=\begin{cases} -2x -2, & \mbox{für } n \mbox{ x<-1} \\ x², & \mbox{für } n \mbox{ x>=-1} \end{cases}[/mm]
>
> h:= f|[-4,-1]
>
> Untersuchen Sie für alle Punkte in a [mm]\in \IR[/mm] bzw. [-4,-1],
> ob f bzw. h in a konvergent ist oder nicht, und
> berechnenSie gegebenenfalls den Grenzwert.
>
> Hallo,
> ich hab ein Verständnisproblem bei dieser Aufgabe. Mir
> ist klar wie ich in einzelnen Punkten nach Konvergenz
> untersuche, aber ich finde keinen ansatz wie ich das für
> alle Punkte in [mm]\IR[/mm] machen soll. Für jede Hilfe wäre ich
> sehr dankbar.
> David
man nimmt sich dazu einfach ein beliebiges [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] her und hält das fest. Ich denke, bei $f$ könntest Du z.B. so vorgehen:
1. Fall:
Sei [mm] $x_0 [/mm] < -1$
2. Fall:
Nun sei speziell [mm] $x_0=1$
[/mm]
3. Fall:
Sei [mm] $x_0 [/mm] > 1$.
In jedem einzelnen Fall musst Du Dir überlegen, welche Aussage Du dann für $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] treffen kannst.
Vielleicht führe ich Dir mal ein anderes Beispiel vor, wo die Vorgehensweise analog ist:
Untersuchen Sie für alle $x [mm] \in \IR$, [/mm] ob die Funktion $f$ mit
[mm] $f(x):=\begin{cases} 0, & \mbox{für } x \le 0 \\ 1, & \mbox{für } x > 0 \end{cases}$
[/mm]
in $x$ stetig ist.
Ich behaupte:
Für alle [mm] $x_0 \in (-\infty,0) \cup (0,\infty)$ [/mm] ist $f$ stetig. In [mm] $x_0=0$ [/mm] ist $f$ unstetig.
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest.
1. Fall:
Sei [mm] $x_0 [/mm] < 0$. Setze [mm] $\delta:=\frac{|x_0|}{2}$. [/mm] Dann ist wegen [mm] $x_0 [/mm] < 0$ jedenfalls [mm] $\delta [/mm] > 0$. Für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] gilt dann $x < 0$ (Warum?). Es folgt für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|< \delta$:
[/mm]
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=|0-0|=0 [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
2. Fall:
Sei nun [mm] $x_0 [/mm] > 0$. Sei [mm] $\delta:=\frac{|x_0|}{2}=\frac{x_0}{2}$. [/mm] Für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0|< \delta$ [/mm] gilt nun $x > 0$. Für alle diese $x$ folgt dann:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=|1-1|=0 [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Konsequenz: $f$ ist stetig auf [mm] $(-\infty,0)$ [/mm] und auf [mm] $(0,\infty)$, [/mm] also auch stetig auf [mm] $(-\infty,0) \cup (0,\infty)$.
[/mm]
Jetzt haben wir aber noch nicht geklärt, ob $f$ stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist oder nicht. Das ist nicht der Fall.
3. Fall: Sei speziell [mm] $x_0=0$. [/mm] Wir setzen [mm] $\varepsilon:=\frac{1}{2} [/mm] > 0$ und wählen zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ dann [mm] $x:=x_\delta:=\frac{\delta}{2}$. [/mm] Dann ist [mm] $|x-x_0|=\frac{\delta}{2}<\delta$, [/mm] aber wegen [mm] $x=x_\delta>0$ [/mm] gilt zudem unter Beachtung von $f(0)=0$:
$|f(x)-f(0)|=|1-0|=1 [mm] \ge \frac{1}{2}=\varepsilon$.
[/mm]
(P.S.:
Eine Funktion $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] heißt stetig in [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] genau dann, wenn folgendes gilt:
Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $\delta=\delta(\varepsilon,x_0)$, [/mm] so dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] folgt: [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Sa 03.05.2008 | | Autor: | stxx |
Danke für deine Antwort und sie hat mir auch schon weitergeholfen. Es wäre super wenn ich vielleicht ein Beispiel bekommen könnte das nicht ganz so trivial ist wie das von dir angegebene, da das weitere Fragen aufgeworfen hat..
Mit "nicht ganz so trivial" meine ich ein Beispiel wie folgt in etwa:
$ [mm] f(x):=\begin{cases} \bruch{3}{2}x, & \mbox{für } x \le 1 \\ x, & \mbox{für } x > 1 \end{cases} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:13 So 04.05.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke für deine Antwort und sie hat mir auch schon
> weitergeholfen. Es wäre super wenn ich vielleicht ein
> Beispiel bekommen könnte das nicht ganz so trivial ist wie
> das von dir angegebene, da das weitere Fragen aufgeworfen
> hat..
> Mit "nicht ganz so trivial" meine ich ein Beispiel wie
> folgt in etwa:
>
>
> [mm]f(x):=\begin{cases} \bruch{3}{2}x, & \mbox{für } x \le 1 \\ x, & \mbox{für } x > 1 \end{cases}[/mm]
wenn es um die Frage des Stetigkeit geht, ist es ziemlich gleich trivial:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$. Um die Stetigkeit von $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] für festes [mm] $x_0 [/mm] < 1$ einzusehen:
Wir setzen
[mm] $(\star)$ $\delta:=\min\left\{\frac{1-x_0}{2},\;\;\frac{2}{3}\varepsilon\right\}$. [/mm]
Dann gilt für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] sicherlich $x < 1$ (Warum?) und damit folgt für alle $x$ mit [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] auch [mm] $f(x)=\frac{3}{2}x$.
[/mm]
Daraus folgt mit [mm] $(\star)$ [/mm] dann weiterhin:
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=\left|\frac{3}{2}(x-x_0)\right|=\frac{3}{2}*|x-x_0| [/mm] < [mm] \frac{3}{2}*\frac{2}{3}*\varepsilon=\varepsilon$
[/mm]
Überlege Dir mal analog, warum $f$ für jedes feste [mm] $x_0 [/mm] > 1$ in [mm] $x_0$ [/mm] stetig ist.
Und um die Unstetigkeit von $f$ in [mm] $x_0=1$ [/mm] einzusehen:
Setze [mm] $\varepsilon:=\frac{1}{4}$ [/mm] und zeige, dass es dann kein [mm] $\delta [/mm] > 0$ gibt, so dass für alle $|x-1| < [mm] \delta$ [/mm] auch [mm] $|f(x)-f(1)|<\frac{1}{4}$ [/mm] folgte. Tipp:
Betrachte zu jedem [mm] $\delta [/mm] > 0$ dann [mm] $x_\delta:=1+\frac{\delta}{2}$ [/mm] und berechne [mm] $|f(x_\delta)-f(1)|$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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