Untersuchen auf Diff.-barkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgende Funktion auf Differenzierbarkeit und bestimmten Sie ggf. Ihre Ableitung:
[mm] f(x)=\begin{cases} 1-exp(-ax), & \mbox{für } x \mbox{ größer gleich 0} \\ 0 & \mbox{für } x \mbox{ kleiner 0} \end{cases}
[/mm]
a ist fest und größer 0. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
ich bin an obenstehende Aufgabe folgendermaßen rangegangen und möchte gern von euch wissen, ob meine Lösung korrekt ist.
Da die Exponentialfunktion differenzierbar ist, muss ich nur die Stelle x0 = 0 auf Differenzierbarkeit untersuchen:
Eine Funktion ist an einer Stelle x0 differenzierbar, falls der Grenzwert
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x0} [/mm] (f(x)-f(x0)) / (x-x0) exisiert.
Ich habe 2 Fälle unterschieden:
1. Fall: x > 0:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] (f(x)-f(0)) / (x - x0) = f(x) - 0 / x - 0 = f(x) / x = (1 - exp(-ax)) / x [mm] {x\rightarrow\ 0} [/mm] (1 - exp(-a*0))/0
Aufgrund der Division durch 0 sieht ja bereits hier, dass der Grenzwert für x > 0 nicht exisiert. Daraus folgt, dass f(x) an der Stelle 0 nicht differenzierbar ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:28 Di 18.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
Das Ergebnis stimmt: Deine gegebene Funktion ist an der Stelle [mm] $x_0 [/mm] \ = \ 0$ nicht differenzierbar. Allerdings stimmt Deine Argumentation nicht, denn so wäre keine Funktion differenzierbar.
Du hast hier ja einen Grenzwert mit dem unbestimmten Ausdruck [mm] $\bruch{0}{0}$ [/mm] , so dass Du so "aus dem Hut" keine Aussage für den Grenzwert treffen kannst.
Aber Du kannst hier z.B. den  Grenzwertsatz nach de l'Hospital anwenden.
Anschließend musst Du dann aber noch den Differenzenquotienten für $x \ < \ 0$ bestimmen und dann vergleichen.
Gruß
Loddar
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Zunächst einmal vielen Dank für die schnelle Antwort.
Mir ist noch nicht ganz klar, wann ein Grenzwert exisitiert und wann nicht.
Ich habe Loddars Vorschlag befolgt und versucht den Grenzwert des Ausdrucks:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] (1 - exp(-a*0)) / 0 mit dem Satz von L'Hospital zu bestimmen.
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] (1 - exp(-a*0)) / x führt nach Einsetzen des Grenzwerts 0 zum unbestimmten Ausdruck "0/0".
Erste Ableitung des Zählers: 1 - exp(a*x) = - exp (a*x) *a
Erste Ableitung des Nenners: x = 1
Ergibt den Ausdruck: - exp (a*x) *a / 1
Setzt man nun für x wieder den Grenzwert 0 ein, erhält man: - exp (a * 0 ) * a / 1 = -a/1
Bedeutet dieser Ausdruck, dass kein Grenzwert exisiert ?
NACHTRAG: Ich habe ganz vergessen das Ergebnis des zweiten Falls x < 0 mit dem des ersten zu vergleichen:
Also:
[mm] \limes_{x\rightarrow\ x0} [/mm] (f(x) - f(x0)) / (x - x0)
[mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] (0 - 0) / (x - 0) = 0 / x = 0.
Somit stimmen der linksseitige und der rechtseite Grenzwert nicht überein.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:21 Di 18.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
![[aeh]](/images/smileys/aeh.gif "[aeh]") Aber Du hast doch hier einen Grenzwert mit [mm] $\limes_{x\rightarrow 0\downarrow}{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] \red{-a}$ [/mm] berechnet.
Und der ist auch richtig.
Wie lautet nun der linksseitige Grenzwert für den Differenzenquotienten?
Gruß
Loddar
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Ich habe ganz vergessen das Ergebnis des zweiten Falls x < 0 mit dem des ersten zu vergleichen:
Also:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ x0} [/mm] $ (f(x) - f(x0)) / (x - x0)
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} [/mm] $ (0 - 0) / (x - 0) = 0 / x = 0.
Somit stimmen der linksseitige und der rechtseite Grenzwert nicht überein. Ist f(x) aufgrund dessen nicht an der Stelle x0 diffbar ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Di 18.09.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Martin!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") So stimmt es ... auch mit der richtigen Begründung!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:35 Di 18.09.2007 | | Autor: | MartinS83 |
Hallo Loddar,
super, dann habe ich es jetzt (hoffentlich kappiert). Dank dir bin ich dem Bestehen der kommende Mathe-Klausur ein Stück näger gekommen :)
Danke!
Gruß
Martin
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