Untersuchen auf Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:05 Do 27.11.2008 | | Autor: | bonanza |
Hallo,
ich habe eine ziemlich allgemein Frage, und zwar wie untersuche eine Funktion genrell auf stetigkeit. Was muss ich da machen?
danke schonmal im voraus für eure hilfe!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 Do 27.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich habe eine ziemlich allgemein Frage, und zwar wie
> untersuche eine Funktion genrell auf stetigkeit. Was muss
> ich da machen?
allgemeine Frage, allgemeine Antwort:
Nimm' die Dir gegebene Definition der Stetigkeit und prüfe, ob Deine Funktion sie erfüllt.
Also es wäre sinnvoll, wenn Du Eure Definition der Stetigkeit nachlieferst (ihr behandelt sicher erstmal metrische Räume, und alleine da gibt es schon verschieden Möglichkeiten:
[mm] $\bullet$ [/mm] mit [mm] $\varepsilon$-$\delta$ [/mm] (wobei [mm] $\delta=\delta(x_0,\varepsilon)$)
[/mm]
[mm] $\bullet$ [/mm] über Folgenstetigkeit
[mm] $\bullet$ [/mm] mit Umgebungen, also topologisch
.
.
.
Wichtig ist natürlich, dass die alle (unter den gegebenen "Universalvoraussetzungen") äquivalent sind!)
Und je nach Eurem Kenntnisstand und je nach Eurer Definition geht es dann manchmal besser direkt per Definitionem, nachzurechnen, oder manchmal geht es besser mit Sätzen, die man zu Verfügung hat.
Beispiel:
$f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=x^2$ [/mm] ($x [mm] \in \IR$) [/mm] ist stetig in jedem Punkt [mm] $x_0 \in \IR\,.$
[/mm]
(Hier ist sowohl der Urbildraum [mm] $(\IR,\,d_{|.|})$ [/mm] als auch der Bildraum [mm] $(\IR,\,d_{|.|})$ [/mm] gemeint; und [mm] $\,f\,$ [/mm] als Abbildung zwischen diesen beiden metrischen Räumen. Dabei ist [mm] $d_{|.|}$ [/mm] die vom Betrag induzierte Metrik, also [mm] $d_{|.|}(x,y):=|x-y|$ [/mm] für alle $(x,y) [mm] \in \IR^2$.)
[/mm]
Das kann man sich mit [mm] $\varepsilon-\delta$ [/mm] überlegen, ist nicht schwer, aber fast nur nervige Hinschreiberei. Schön sieht es z.B. aus, wenn man mit der Folgenstetigkeit arbeitet:
Ist [mm] $(x_n)_n$ [/mm] eine Folge in [mm] $D_f=\IR$ [/mm] mit [mm] $x_n \to x_0$ [/mm] ($n [mm] \to \infty$), [/mm] so gilt:
[mm] $$f(\lim_{n \to \infty}x_n)=f(x_0)=x_0^2=(\lim_{n \to \infty} x_n)^2\;\green{=}\;\lim_{n \to \infty} x_n^2=\lim_{n \to \infty} f(x_n)\,$$
[/mm]
woraus die Stetigkeit von [mm] $\,f\,$ [/mm] im Punkte [mm] $x_0$ [/mm] folgt. Dabei bedarf das grüne Gleichheitszeichen einer (etwas) genaueren Begründung, und für diese müßte man hier z.B. (gewisse) Rechenregeln für (konvergente) Folgen kennen und ausnutzen.
Aber viel allgemeiner läßt sich Deine Frage nicht beantworten, ansonsten musst Du mehr ins Detail gehen...
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
