Untersuchen von Monotonie < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:47 Mi 27.02.2008 | | Autor: | AbiAb |
Hallo liebes Mathe Board.
Ich habe eine Frage zu Folgen und deren Untersuchung auf Monotonie.
Ich habe hier eine Aufgabe:
an = n / n+1
Nun muss ich ja erstmal an+1 wissen, damit ich weiter rechnen kann.
an+1 wäre ja n +1 / n+1+1 , also n / n+2
Wenn ich jetzt an+1 - an mache, dann kommt raus:
n/n+2 - n/n+1 = (gemeinsamen Nenner bilden) --> n*(n+1)/(n+2)(n+1) - n*(n+2)/(n+2)(n+1)
Nun kommt letztendlich raus = 1/(n+1)(n+2)
Nun weiß ich dass dieses Ergebniss größer als 0 wird, wenn ich Zahlen einsetze... z.B. bei der Folge 1 würde 1/6 rauskommen.
Damit wäre an ja streng monton zunehmend.
In meinem Abi 2008 Buch steht nämlich dass an+1 > an ist...
Ich verstehe das aber nicht so ganz, da wenn ich z.B. die Zahl 1 in an+1 einsetze, kommt 1/6 raus aber bei an würde 1/2 rauskommen.
Und 1/2 ist doch größer als 1/6... oder denke ich da falsch?
Oder ist denn automatisch schon an+1 größer als an wenn das Ergebniss (an+1 - an ) größer als 0 ist?? Und wenn ja, wie erfahre ich ob das Ergebniss größer als 0 ist?? Muss ich da eine Zahl einsetze oder mehrere Zahlen?? Und gucken ob die Folge immer positiv bzw. über 0 bleibt??
Weil ich habe in diesem Abi 2008 Buch noch eine weitere Aufgabe mit :
bn = 1/n+1 und hier wäre ja bn+1 1/n+2
und hier schreiben die dann aufeinmal nicht bn+1 - bn =.... sondern bn - bn+1 (also ungekehrt...
und bei dieser Aufgabe kommt ja am Ende für das Ergeniss bn+1 - b auch 1/(n+1)(n+2) raus aber hier schreiben die aufeinmal : --> folglich bn+1 < bn , damit bn streng monton abnehmend...
Des verwirrt mich voll.
Würde euch sehr danken wenn ihr mir helfen könntet
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:45 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo AbiAb!
Wenn man zur Monotoniebetrachtung den Differenzterm [mm] $a_{n+1}-a_n$ [/mm] betrachtet, ist lediglich interessant, ob dieser Term nun größer oder kleiner als Null ist.
Es interessiert also nicht wie groß dieser Wert an sich ist.
Hier haben wir erhalten:
[mm] $$a_{n+1}-a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{(n+1)*(n+2)}$$
[/mm]
Da wir nur natürliche Zahlen für $n_$ einsetzen, ergibt sich für diesen Term auch immer ein positiver Wert (egal, welchen Zahlenwert).
Aber es gilt für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] : [mm] $a_{n+1}-a_n [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ 0$
Damit haben wir gezeigt, dass diese Folge streng monoton wachsend ist.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:53 Mi 27.02.2008 | | Autor: | AbiAb |
Hallo! Vielen Dank für deine Antwort.
Hast mir im Bezug auf die Aufgabe 1 sehr geholfen und verstehe sie jetzt auch.
Allerdings jetzt diese zweite Aufgabe:
,,bn = 1/n+1 und hier wäre ja bn+1 1/n+2
und hier schreiben die dann aufeinmal nicht bn+1 - bn =.... sondern bn - bn+1 (also ungekehrt...
und bei dieser Aufgabe kommt ja am Ende für das Ergeniss bn+1 - b auch 1/(n+1)(n+2) raus aber hier schreiben die aufeinmal : --> folglich bn+1 < bn , damit bn streng monton abnehmend... ''
Kannsdt du mir da helfen??
Weil hier kommt ja am Ende auch bn+1 - bn = 1/ (n+1)(n+2) raus aber hier ist sie monoton abnehmend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:20 Mi 27.02.2008 | | Autor: | Manatu |
Hallo AbiAb,
nene, bei der Aufgabe kommt zwar auch [mm] $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ [/mm] raus, aber nicht für [mm] $b_{n+1}-b_n$, [/mm] sondern genau für die umgekehrte Differenz. Es ist
[mm] $$b_n-b_{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}$$
[/mm]
Und da das größer ist also Null, ist schließlich die erste Zahl größer als die zweite, also [mm] $b_n>b_{n+1}$. [/mm] Und das heißt nunmal, dass die Folge streng monoton fallend ist.
Zusammengefasst: Dadurch, dass die in dem Buch die Differenz genau andersherum bilden, müssen sie auch das Ergebnis genau andersherum interpretieren; es ist dann nicht mehr >0 auch streng monoton steigend, sondern eben genau andersherum streng monoton fallend.
Man könnte auch, genau wie bei der Aufgabe 1, die Differenz in dieser Richtung bilden: [mm] $b_{n+1}-b_{n}$.
[/mm]
Aber dann kommt raus:
[mm] $$b_{n+1}-b_{n}=-\frac{1}{(n+1)(n+2)}<0$$
[/mm]
Und damit hast du so auch das Ergebnis, dass die Folge streng monoton fallend ist.
Mathematische Grüße,
Manatu
|
|
|
|
