Untersuchung: 2 Geraden < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 So 16.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
| Aufgabe |
[mm] g_{1}: [/mm] x = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] + r [mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 3}
[/mm]
[mm] g_{2}: [/mm] x = [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 3} [/mm] + r [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ -6}
[/mm]
a) Untersuche die gegenseitige Lage von [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2}. [/mm]
Berechne ggf. den Schnittpunk bzw. den Abstand der beiden Geraden.
b) Stelle die Gleichung der Ebene E auf, in der [mm] g_{1} [/mm] und [mm] g_{2} [/mm] liegen, sowohl in Parameterform als auch in Koordinatengleichung.
c) Ermittle die Schnittpunkte A, B und C der Ebene E mit den Koordinatenachsen. Zeichne dann das Schrägbild der Ebene.
d) Die Eckpunkte A, B und C bilden mit dem Ursprung 0 eine Pyramide mit dreiseitiger Grundfläche. Berechne ihr Volumen.
e) Bestimme die Gleichung der Schnittgeraden der Ebene E mit [mm] x_{1}-x_{2}-Ebene E_{1} [/mm] und berechne den Schnittwinkel zwischen beiden Ebenen.
f) Ermittle eine Gleichung der Ebene [mm] E_{2}, [/mm] die zu E parallel ist und vom Ursprung des Koordinatensystems den Abstand [mm] \wurzel{22} [/mm] hat. |
Hallo,
Ich bearbeite gerade die oben genannten Aufgaben.
Bitte kontrolliert, was ich bisher gemacht habe.
Zu a: Hier hat der Lehrer angegeben (Aufgabe a haben wir in der Schule gemacht), dass die beiden Geraden parallel zueinander sind. Warum? Die Richtungsvektoren sind doch nicht linear abhängig, wegen der [mm] x_{1}-Ebene.
[/mm]
Da es ja hier keinen Schnittpunkt gibt, muss ich den Abstand zwischen den beiden Geraden errechnen. Wie mache ich das?
e und f) Hier habe ich leider keinen blassen Schimmer, was ich hier machen muss. Wäre nett, wenn mir das jemand erklären könnte.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Danke im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hi, SuperTTT,
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> [mm]g_{1}:[/mm] x = [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 3}[/mm] + r [mm]\vektor{0 \\ -2 \\ 3}[/mm]
>
> [mm]g_{2}:[/mm] x = [mm]\vektor{3 \\ -1 \\ 3}[/mm] + r [mm]\vektor{0 \\ 4 \\ -6}[/mm]
>
> a) Untersuche die gegenseitige Lage von [mm]g_{1}[/mm] und [mm]g_{2}.[/mm]
> Berechne ggf. den Schnittpunk bzw. den Abstand der beiden
> Geraden.
> b) Stelle die Gleichung der Ebene E auf, in der [mm]g_{1}[/mm] und
> [mm]g_{2}[/mm] liegen, sowohl in Parameterform als auch in
> Koordinatengleichung.
> c) Ermittle die Schnittpunkte A, B und C der Ebene E mit
> den Koordinatenachsen. Zeichne dann das Schrägbild der
> Ebene.
> d) Die Eckpunkte A, B und C bilden mit dem Ursprung 0 eine
> Pyramide mit dreiseitiger Grundfläche. Berechne ihr
> Volumen.
>
> Zu a: Hier hat der Lehrer angegeben (Aufgabe a haben wir in
> der Schule gemacht), dass die beiden Geraden parallel
> zueinander sind. Warum? Die Richtungsvektoren sind doch
> nicht linear abhängig, ...
Sie SIND linear abhängig: [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ -6} [/mm] = [mm] -2*\vektor{0 \\ -2 \\ 3}
[/mm]
Also sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander: Dies ist bei ZWEI Vektoren gleichbedeutend mit "linear abhängig".
> ... wegen der [mm]x_{1}-Ebene.[/mm]
Was meinst Du denn damit? Eine solche Ebene gibt's ja gar nicht!
Es gibt eine [mm] x_{1}x_{2}-Ebene, [/mm] eine [mm] x_{1}x_{3}-Ebene, [/mm] eine [mm] x_{2}x_{3}-Ebene, [/mm] aber eine [mm] x_{1}-Ebene [/mm] ...
> Da es ja hier keinen Schnittpunkt gibt, muss ich den
> Abstand zwischen den beiden Geraden errechnen. Wie mache
> ich das?
Zwei Möglichkeiten:
(1) Bestimme die Gleichung einer Ebene, die senkrecht auf der Geraden [mm] g_{1} [/mm] steht und durch deren Aufpunkt A(1; 1; 1) geht.
Schneide diese Ebene mit der Geraden [mm] g_{2}; [/mm] Schnittpunkt: S.
Der gesuchte Abstand d ist dann gleich [mm] \overline{AS}
[/mm]
(2) Mit der Formel
d = [mm] |\overrightarrow{AB} \times \vec{u}°|
[/mm]
wobei A und B die Aufpunkte der beiden Geraden und [mm] \vec{u}° [/mm] der Einheitsvektor des Richtungsvektors einer der beiden Geraden ist.
b) c) und d) erscheinen mir in Deiner Lösung OK!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:26 So 16.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
> (1) Bestimme die Gleichung einer Ebene, die senkrecht auf
> der Geraden [mm]g_{1}[/mm] steht und durch deren Aufpunkt A(1; 1; 1)
> geht. Schneide diese Ebene mit der Geraden [mm]g_{2};[/mm] Schnittpunkt: S. Der gesuchte Abstand d ist dann gleich [mm]\overline{AS}[/mm]
Hi,
ich denke mal, Vorschlag 1 passt besser zu unserem Mathelehrer. 
Der Aufpunkt A (1, 1, 1), ist dann ein Standart-Aufpunkt oder wo hast Du den her?
Leider verstehe ich das aber auch noch nicht so ganz. Muss ich hier gleichsetzen?
Wäre nett, wenn Du das noch etwas konkretisieren könntest, insbesondere das mit der Ebenengleichungbestimmung!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
> Der Aufpunkt A (1, 1, 1), ist dann ein Standart-Aufpunkt
> oder wo hast Du den her?
Hier hat sich Zwerglein wohl vertippt ... das muss heißen $A \ ( \ 1 \ | \ 1 \ | \ [mm] \red{3} [/mm] \ )$ als Aufpunkt der Geraden [mm] $g_1$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:40 Mo 17.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Loddar, hallo Zwerglein,
ich komme trotz Loddars Korrektur mit dieser Aufgabe nicht zurecht.
Mir ist nicht klar, wie ich diese Ebenengleichung erstellen soll. Wäre nett, wenn einer von Euch beiden oder jemand anders das nochmal etwas konkretisieren könnte.
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Hi, SuperTTT,
> Hallo Loddar, hallo Zwerglein,
>
> ich komme trotz Loddars Korrektur mit dieser Aufgabe nicht
> zurecht.
> Mir ist nicht klar, wie ich diese Ebenengleichung
> erstellen soll. Wäre nett, wenn einer von Euch beiden oder
> jemand anders das nochmal etwas konkretisieren könnte.
Also: Du nimmst A(1;1;3) als Aufpunkt und den Richtungsvektor der Geraden [mm] g_{1} [/mm] als Normalenvektor der Ebene:
[mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 3} \circ (\vec{x} [/mm] - [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3}) [/mm] = 0
und somit: [mm] -2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] - 7 = 0
Wie's weitergeht, weißt Du?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Mo 17.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Zwerglein,
Leider kann ich das noch nicht vollständig nachvollziehen. Zunächst einmal, was bedeutet dieses Verkettungszeichen? Das haben wir noch nie benutzt.
Und die Ebene erhälst Du, indem Du die [mm] x_{1,2,3}-Werte [/mm] übernimmst und die Vektoren multiplizierst? Dann erhalte ich nämlich auch -7.
Ich habe von da an mal weitergerechnet, bitte kontrollieren:
[mm] -2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] - 7 = 0
[mm] -2x_{2} [/mm] + [mm] 3x_{3} [/mm] = 7
-2(-1+4s) + 3(3-6s) = 7
2 -8s + 9 - 18s = 7
11 - 26s = 7
-26s = -4
s= [mm] \bruch{2}{13}
[/mm]
[mm] g_{2}(x) [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ -1 \\ 3} [/mm] + [mm] \bruch{2}{13}\vektor{0 \\ 4 \\ -6})
[/mm]
[mm] S(3/-\bruch{5}{13}/\bruch{27}{13}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{AS} [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ -\bruch{18}{13} \\ -\bruch{12}{13}}
[/mm]
Stimmt das?
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Hi, SuperTTT,
> Leider kann ich das noch nicht vollständig nachvollziehen.
> Zunächst einmal, was bedeutet dieses Verkettungszeichen?
> Das haben wir noch nie benutzt.
Das [mm] "\circ" [/mm] ist das am häufigsten verwendete Zeichen für das Skalarprodukt.
> Und die Ebene erhälst Du, indem Du die [mm]x_{1,2,3}-Werte[/mm]
> übernimmst und die Vektoren multiplizierst? Dann erhalte
> ich nämlich auch -7.
Naja: Wie halt beim Skalarprodukt üblich.
Zwischenfrage: Wie gehst Du denn vor, wenn Du von einer Ebene den Aufpunkt kennst sowie den Normalenvektor und Du sollst nun die Normalenfom (oder Koordinatenform) dieser Ebene ermitteln?
> Ich habe von da an mal weitergerechnet, bitte
> kontrollieren:
>
> [mm]-2x_{2}[/mm] + [mm]3x_{3}[/mm] - 7 = 0
> [mm]-2x_{2}[/mm] + [mm]3x_{3}[/mm] = 7
> -2(-1+4s) + 3(3-6s) = 7
Richtig! Sozusagen [mm] "g_{2} [/mm] eingesetzt"!
> 2 -8s + 9 - 18s = 7
> 11 - 26s = 7
> -26s = -4
> s= [mm]\bruch{2}{13}[/mm]
>
> [mm]g_{2}(x)[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ -1 \\ 3}[/mm] + [mm]\bruch{2}{13}\vektor{0 \\ 4 \\ -6})[/mm]
>
> [mm]S(3/-\bruch{5}{13}/\bruch{27}{13}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{AS}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -\bruch{18}{13} \\ -\bruch{12}{13}}[/mm]
>
> Stimmt das?
Ich denke: Ja!
Und nun musst Du die Länge von [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] ausrechnen!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:17 Di 18.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi,
> Zwischenfrage: Wie gehst Du denn vor, wenn Du von einer
> Ebene den Aufpunkt kennst sowie den Normalenvektor und Du
> sollst nun die Normalenfom (oder Koordinatenform) dieser
> Ebene ermitteln?
Kann ich Dir leider nicht sagen, da wir das mit dem "Aufpunkt" kaum bzw. bisher gar nicht gemacht haben. Ich denke, ich nehme den Aufpunkt als Ortsvektor und den Normalenvektor als Richtungsvektor, dann habe ich eine Parametergleichung und kann in Koordinatenform umwandeln. Bin mir aber nicht sicher.
> > [mm]\overrightarrow{AS}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -\bruch{18}{13} \\ -\bruch{12}{13}}[/mm]
> Ich denke: Ja!
> Und nun musst Du die Länge von [mm]\overrightarrow{AS}[/mm]
> ausrechnen!
Hab ich das nicht dort gemacht? Da habe ich S - A gerechnet und mein Ergebnis war [mm]\vektor{2 \\ -\bruch{18}{13} \\ -\bruch{12}{13}}[/mm] !
Muss ich noch weiter rechnen?
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Hi, SuperTTT,
> > Zwischenfrage: Wie gehst Du denn vor, wenn Du von einer
> > Ebene den Aufpunkt kennst sowie den Normalenvektor und Du
> > sollst nun die Normalenfom (oder Koordinatenform) dieser
> > Ebene ermitteln?
>
> Kann ich Dir leider nicht sagen, da wir das mit dem
> "Aufpunkt" kaum bzw. bisher gar nicht gemacht haben. Ich
> denke, ich nehme den Aufpunkt als Ortsvektor und den
> Normalenvektor als Richtungsvektor,
NEIN, NEIN, NEIN! Der Normalenvektor ist KEIN Richtungsvektor!!!
Er steht SENKRECHT auf den Richtungsvektoren.
Wenn Du also die Parameterform möchtest, musst Du zwei (beliebige) Vektoren finden, die auf dem Normalenvektor senkrecht stehen.
Aber meine Frage war: Was machst Du, wenn Du die PARAMETERFORM HAST und willst die KOORDINATENFORM daraus ermitteln?!
> dann habe ich eine
> Parametergleichung und kann in Koordinatenform umwandeln.
WIE tust Du dies?
>
> > > [mm]\overrightarrow{AS}[/mm] = [mm]\vektor{2 \\ -\bruch{18}{13} \\ -\bruch{12}{13}}[/mm]
>
> > Ich denke: Ja!
> > Und nun musst Du die Länge von [mm]\overrightarrow{AS}[/mm]
> > ausrechnen!
>
> Hab ich das nicht dort gemacht? Da habe ich S - A gerechnet
> und mein Ergebnis war [mm]\vektor{2 \\ -\bruch{18}{13} \\ -\bruch{12}{13}}[/mm] !
> Muss ich noch weiter rechnen?
Naja: Du hast doch bisher nur einen Vektor! Aber WIE LANG ist der?
Ich geb' Dir mal 'ne Hilfe:
[mm] |\vektor{a \\ b \\ c}| [/mm] = [mm] \wurzel{a^{2} + b^{2} + c^{2}}
[/mm]
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 Di 18.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Zwerglein,
> Aber meine Frage war: Was machst Du, wenn Du die
> PARAMETERFORM HAST und willst die KOORDINATENFORM daraus
> ermitteln?!
> WIE tust Du dies?
Ich stelle die einzelnen Ebenen auf - z.B.
[mm] x_{1} [/mm] = 2 + 3r + 4s
[mm] x_{2} [/mm] = -4 - 5r - 6s
[mm] x_{3} [/mm] = 10r
Die kann ich ja aus der Parameterform ablesen. Dann forme ich nach r und s um und anschließend setze ich das in [mm] x_{1} [/mm] oder [mm] x_{2} [/mm] ein (Je nachdem, welche Gleichung ich noch nicht verwendet habe).
> Ich geb' Dir mal 'ne Hilfe:
> [mm]|\vektor{a \\ b \\ c}|[/mm] = [mm]\wurzel{a^{2} + b^{2} + c^{2}}[/mm]
Ich bin nun mal schwer von Begriff...
Ich halte 2,60! Korrekt?
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Hi, SuperTTT,
Der zweite Teil zuerst:
> > [mm]|\vektor{a \\ b \\ c}|[/mm] = [mm]\wurzel{a^{2} + b^{2} + c^{2}}[/mm]
>
> Ich bin nun mal schwer von Begriff...
> Ich halte 2,60! Korrekt?
Korrekt!
Zum zum ersten Teil:
> > Aber meine Frage war: Was machst Du, wenn Du die
> > PARAMETERFORM HAST und willst die KOORDINATENFORM daraus
> > ermitteln?!
> > WIE tust Du dies?
>
> Ich stelle die einzelnen Ebenen auf - z.B.
> [mm]x_{1}[/mm] = 2 + 3r + 4s
> [mm]x_{2}[/mm] = -4 - 5r - 6s
> [mm]x_{3}[/mm] = 10r
>
> Die kann ich ja aus der Parameterform ablesen. Dann forme
> ich nach r und s um und anschließend setze ich das in [mm]x_{1}[/mm]
> oder [mm]x_{2}[/mm] ein (Je nachdem, welche Gleichung ich noch nicht
> verwendet habe).
Hmm, das ist natürlich "die umständliche Methode". Demnach kennst Du den Ansatz
[mm] \vec{n} \circ (\vec{x} [/mm] - [mm] \vec{a}) [/mm] = 0 nicht.
Dann machen wir's so:
Der Richtungsvektor [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ -6} [/mm] der Geraden [mm] g_{1} [/mm] steht senkrecht auf "unserer Ebene".
Um zwei Richtungen zu finden, d.h. zwei verschiedene Vektoren, die die Ebene aufspannen, kannst Du z.B. so vorgehen:
"Setze eine der Koordinaten von [mm] \vec{n} [/mm] gleich 0,
vertausche die beiden anderen und
multipliziere eine davon mit (-1)".
Mach' ich's mal:
1. Richtungsvektor: Da die erste Koordinate bereits 0 ist, vertausche die beiden anderen und multipliziere die mittlere mit -1:
[mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 4}
[/mm]
(Wie Du mit Hilfe des Skalarprodukts leicht überprüfen kannst, steht dieser Vektor senkrecht auf [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ -6}, [/mm] ist daher als Richtungsvektor brauchbar.)
2. Richtungsvektor: Ich setze mal die dritte Koordinate = 0 ist, vertausche ich die beiden anderen und multipliziere wieder die mittlere mit -1 (was man "nicht bemerkt", weil die zufälligerweise =0 ist!):
[mm] \vec{u} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
(Wie Du mit Hilfe des Skalarprodukts leicht überprüfen kannst, steht auch dieser Vektor senkrecht auf [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ -6}, [/mm] ist daher als Richtungsvektor brauchbar.)
Und nun kannst Du die Parameterform der gesuchten Ebene schreiben als:
E: [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 3} [/mm] + [mm] r*\vektor{0 \\ 6 \\ 4} [/mm] + [mm] s*\vektor{4 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Jetzt kannst Du - mit Deiner Methode - die Koordinatenform ermitteln.
Aber sag' selbst: Was für ein Aufwand!
mfG!
Zwerglein
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 18.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Alles klar.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Wie lautet denn die Gleichung der [mm] $x_1$/$x_2$-Ebene? [/mm] Da ist doch ein Normalenvektor auf jeden Fall die [mm] $x_3$-Achse, [/mm] und diese Ebene verläuft durch den Ursprung:
[mm] $E_{1/2} [/mm] \ : \ [mm] \left[\vec{x}-\vektor{0\\0\\0}\right]*\vektor{0\\0\\1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}*\vektor{0\\0\\1} [/mm] \ = \ [mm] 0*x_1+0*x_2+1*x_3 [/mm] \ = \ [mm] x_3 [/mm] \ = \ 0$
Nun die Schnittgerade mit Der Ebene $E_$ aus Aufgabe b.) ermitteln.
Der Schnittwinkel der beiden Ebenen entspricht genau dem Schnittwinkel zwischen den beiden entsprechenden Normalvektoren.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 So 16.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Loddar,
entschuldige bitte die blöde Frage, aber wie bestimmt man nochmal eine Schnittgerade? Komme da momentan absolut nicht darauf parat.
In meinem Mathebuch ist ein Beispiel, doch zu meinem Glück hat man wohl wieder 20 Rechenvorgänge übersprungen, so dass ich rein gar nichts nachvollziehen kann.
Wäre also nett, wenn Du mir das nochmal genauer erläutern könntest.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Am einfachsten funktioniert es mit der Schnittgeraden, wenn eine der beiden Ebenen in Parameterform und die andere in normalform gegeben ist:
$E \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\1\\3}+r*\vektor{0\\-2\\3}+s*\vektor{-2\\2\\0} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1-2*s\\1-2*r+2*s\\3+3*r}$
[/mm]
Und das setzen wir nun in die Normalform der Ebene [mm] $E_{1/2}$ [/mm] ein:
[mm] $E_{1/2} [/mm] \ : \ [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}*\vektor{0\\0\\1} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1-2*s\\1-2*r+2*s\\3+3*r}*\vektor{0\\0\\1} [/mm] \ = \ ... \ = \ 0$
Nun nach $r_$ oder $s_$ auflösen und diesen Wert in die Parameterform der ersten Ebene einsetzen (hier wirst Du nur ein $r_$ ermitteln können).
Kontrollergebnis: [mm] $g_s [/mm] \ : \ [mm] \vec{x} [/mm] \ = \ [mm] \vektor{1\\3\\0}+s*\vektor{-2\\2\\0}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 So 16.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Loddar,
danke, ich komme auf das gleiche Ergebnis!
Allerdings ist die Aufgabe ja noch nicht fertig, wie muss ich denn nun bei der Berechnung der Schnittwinkel vorgehen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:15 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Du kennst doch die beiden Normalvektoren der beiden betrachteten Ebenen. Zudem benötigst Du die Formel für den Schnittwinkel [mm] $\varphi$ [/mm] zwischen zwei Vektoren.
In diese Formel die beiden Normalvektoren einsetzen und ausrechnen ... fertig!
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 So 16.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi,
also in unserem Buch steht die Formel:
[mm] \delta [/mm] = [mm] a_{g} [/mm] - [mm] a_{h}
[/mm]
Das wäre dann in unserem Fall:
[mm] \delta [/mm] = [mm] a_{1} [/mm] - [mm] a_{2}
[/mm]
Und verstehe ich das richtig, dass mit den beiden Normalenvektoren schlichtweg die beiden Richtungsvektoren gemeint sind. Oder muss ich im Bezug auf Orthogonalität da andere Vektoren erarbeiten?
Angenommen, es gelten die beiden Richtungsvektoren, dann hätten wir:
[mm] \vektor{0 \\ -2 \\ 3} [/mm] - [mm] \vektor{0 \\ 4 \\ -6} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ -6 \\ 9}
[/mm]
Korrekt so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
> also in unserem Buch steht die Formel:
> [mm]\delta[/mm] = [mm]a_{g}[/mm] - [mm]a_{h}[/mm]
Diese Formel gilt aber lediglich in der Ebene (bzw. im [mm] $\IR^2$ [/mm] ). Dabei handelt es sich nicht um a-Werte, sondern um die Steigungswinkel [mm] $\alpha_g$ [/mm] bzw. [mm] $\alpha_h$ [/mm] der beiden Geraden $g_$ und $h_$ .
Damit können wir im [mm] $\IR^3$ [/mm] aber nicht arbeiten.
Für den Schnittwinkel [mm] $\varphi$ [/mm] zweier Vektoren [mm] $\vec{a}$ [/mm] und [mm] $\vec{b}$ [/mm] gilt:
[mm] [quote]$\cos(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|*\left|\vec{b}\right|}$[/quote]
[/mm]
Und in unserem Fall - wie bereits gesagt - die Normalenvektoren der beiden Ebenen einsetzen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 So 16.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Loddar,
[mm] \bruch{0 - 8 - 18}{\wurzel{13}*\wurzel{52}} [/mm] = [mm] \bruch{-26}{\wurzel{13}*\wurzel{52}} [/mm] = -1
Korrekt so?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:28 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Das kann ich jetzt nicht nachvollziehen und habe ein anderes Ergebnis!
Mit welchen Vektoren genau hast Du denn gerechnet?
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:36 Mo 17.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi,
mit den Richtungsvektoren!
Das war ja eben mein Problem, was ich in meinem vorletztem Beitrag bereits ansprach: Mir ist nicht ganz klar, was Du in diesem Zusammenhang mit Normalenvektor meinst!
Bitte erklär das nochmal (Ich weiß, ich bin anstrengend  ) und nenne mir bitte schon mal Dein Endergebnis, damit ich das dann schon mal vergleichen kann. Dann brauch ich nicht immer nachfragen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:18 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Halo SuperTTT!
Die beiden betrachteten Ebenen lauten:
$E \ : \ [mm] x_1+x_2+\bruch{2}{3}*x_3 [/mm] \ = \ 4$ [mm] $\gdw$ [/mm] $E \ : \ [mm] 3*x_1+3*x_2+2*x_3 [/mm] \ = \ [mm] \red{\vektor{3\\3\\2}}*\vec{x} [/mm] \ = \ 12$
[mm] $E_{1/2} [/mm] \ : \ [mm] \blue{\vektor{0\\0\\1}}*\vec{x} [/mm] \ = \ 0$
Und diese beiden bunt gefärbten Vektoren (= Normalenvektoren der Ebenen) sind nun in die o.g. Winkel-Formel einzusetzen.
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:27 Mo 17.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Loddar,
ich denke, dass habe ich verstanden.
Dann habe ich nun:
[mm] \bruch{2}{\wurzel{1}*\wurzel{22}} [/mm] = [mm] \bruch{2}{\wurzel{22}}
[/mm]
Korrekt so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:41 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
> [mm]\bruch{2}{\wurzel{1}*\wurzel{22}}[/mm] = [mm]\bruch{2}{\wurzel{22}}[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Und nun noch den Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] ausrechnen: [mm] $\cos(\varphi) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2}{\wurzel{22}} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 0.4264$ [mm] $\Rightarrow$ $\varphi [/mm] \ = \ ...$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:44 Mo 17.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi,
Ich erhalte 64,76.
Korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:56 Mo 17.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
!!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:42 Mo 17.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Danke Dir!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Bestimme die Hesse'sche Normalform (HNF) der Ebene $E_$ (die aus Aufgabe b.)) und setze am Ende (rechte Seite der Gleichung) den Wert [mm] $\wurzel{22}$ [/mm] ein ... fertig!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:01 So 16.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hallo Loddar,
stimmt das so?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 So 16.04.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo SuperTTT!
Der Term $- \ 4$ ist zuviel in dieser Darstellung; schließlich ist das der Wert der Ebene $E_$ und nicht der gesuchten Ebene [mm] $E_2$ [/mm] .
Anschließend würde ich diese Gleichung dann auch mit dem Wert [mm] $\wurzel{\bruch{22}{9}}$ [/mm] multiplizieren (evtl. sogar auch noch mit [mm] $\times [/mm] \ 3$ ...), um die Brüche und Wurzeln zu eliminieren.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 So 16.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Hi,
Dann lautet die Lösung:
[mm] \bruch{1}{\wurzel{\bruch{22}{9}}} [/mm] * [mm] (x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] \bruch{2}{3}x_{3}) [/mm] = [mm] \wurzel{22} [/mm]
Korrekt?
Bei der Eliminierung der Brüche und Wurzeln habe ich erhebliche Schwierigkeiten.
Also ist es bei solch einer Aufgabe völlig irrelevant, welche Zahl in der Koordinatenform hinter dem Gleichheitszeichen steht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:17 So 16.04.2006 | | Autor: | SuperTTT |
Danke Dir!
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
!).
