Untersuchung auf Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen auf Konvergenz:
i) [mm] a_{n}:= \bruch{n^2}{1+n+n^2} [/mm] |
Hallo zusammen,
Also man kann ja verschiedene Zugänge wählen: Entweder über die direkte Definition der Konvergenz, mit dem [mm] \varepsilon [/mm] oder auch über monotonie und Beschränktheit. Ich weiß nicht, was in diesem Fall einfacher ist, aber ich wollte es mal mit Monotonie und Beschränktheit versuchen:
Wenn man sich diese Funktion einmal plottet, scheint sie für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gegen den Grenzwert 1 zu konvergieren. (von unten)
Also möchte ich erstmal zeigen, dass die Folge monoton Wachsend ist (beginnend ab dem Folgenindex n=0)
Monoton wachsend bedeutet doch nun, dass [mm] a_{n}\le a_{n+1} \forall [/mm] n
Wie kann ich das nun mathematisch zeigen?
Danke schonmal im Voraus.
Gruß
|
|
| |
|
Huhu,
> Also man kann ja verschiedene Zugänge wählen: Entweder
> über die direkte Definition der Konvergenz, mit dem
> [mm]\varepsilon[/mm] oder auch über monotonie und Beschränktheit.
> Ich weiß nicht, was in diesem Fall einfacher ist, aber ich
> wollte es mal mit Monotonie und Beschränktheit versuchen:
Oder man nutzt die Grenzwertsätze, was ich hier vorziehen würde.
> Wie kann ich das nun mathematisch zeigen?
Hinschreiben, umformen! Davon seh ich bei dir erstmal noch nichts.....
Fange an mit:
[mm] $a_n \le a_{n+1}$, [/mm] setz erstmal die Definition von [mm] a_n [/mm] ein und dann forme solange um, bis eine wahre Aussage dasteht.
Aber ich würde einen anderen Weg wählen:
[mm] n^2 [/mm] im Zähler und Nenner ausklammern und kürzen, dann Grenzwertsätze benutzen.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
Hallo,
habe jetzt doch den Zugang über die Grenzwertsätze versuch:
Zunächst durch Umformung:
[mm] a_{n}:=\bruch{n^2}{1+n+n^2}=\bruch{n^2}{n^2(\bruch{n}{n^2}+\bruch{1}{n^2}+1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}+1} [/mm] und mithilfe der Grenzwertsätze:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}+1}= \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(1)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}+1)}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(1)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n})+\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n^2})+\limes_{n\rightarrow\infty}(1)} [/mm]
Kann man das so machen?
Für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n} [/mm] erhalte ich ja 0 und für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^2} [/mm] ebenso. Für die konstante Folge [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}1 [/mm] erhalte ich 1, also letztendlich:
[mm] \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}1}=\bruch{1}{1}=1...
[/mm]
Ist das korrekt und habe ich damit gezeigt, dass die Folge konvergiert?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Theoretix,
> Hallo,
>
> habe jetzt doch den Zugang über die Grenzwertsätze
> versuch:
>
> Zunächst durch Umformung:
>
> [mm]a_{n}:=\bruch{n^2}{1+n+n^2}=\bruch{n^2}{n^2(\bruch{n}{n^2}+\bruch{1}{n^2}+1}[/mm]
Klammer zu
> = [mm]\bruch{1}{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}+1}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") und mithilfe der
> Grenzwertsätze:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}+1}= \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(1)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}+\bruch{1}{n^2}+1)}=\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}(1)}{\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n})+\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n^2})+\limes_{n\rightarrow\infty}(1)}[/mm]
>
> Kann man das so machen?
>
> Für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n}[/mm] erhalte ich ja
> 0 und für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{n^2}[/mm]
> ebenso. Für die konstante Folge
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}1[/mm] erhalte ich 1, also
> letztendlich:
>
> [mm]\bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}1}{\limes_{n\rightarrow\infty}1}=\bruch{1}{1}=1...[/mm]
>
> Ist das korrekt und habe ich damit gezeigt, dass die Folge
> konvergiert?
Ja, das stimmt so!
>
> Gruß
Zurück
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz:
ii) [mm] b_{n}:=\bruch{n^n}{n!} [/mm] |
Hallo zusammen,
Da [mm] n^n [/mm] ja immer größer ist als n! (Begründung eher intuitiv: [mm] n^n [/mm] bedeutet n mal eine Zahl n, wobei n! bedeutet die Zahl n, n mal mit einer Zahl jeweils n-1 kleiner als n multipliziert)
Aus [mm] n^n>n! \forall [/mm] n folgt, dass der Zähler immer größer ist als der Nenner. Offensichtlich divergiert die Folge (meiner Ansicht nach), aber meine Frage:
Wie kann ich mathematisch korrekt zeigen, dass das so ist? (Also ich müsste ja z.B. zeigen können, dass der Zähler für wachsende n „stärker“ wächst als der Nenner?)
Wäre nett, wenn da eben jemand helfen könnte!
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Theoretix!
Du kannst den Bruch wie folgt zerlegen:
[mm] \bruch{n^n}{n!} \ = \ \bruch{\overbrace{n\cdot{}n\cdot{}n\cdot{}...\cdot{}n}^{\text{= n Faktoren}}}{\underbrace{1\cdot{}2\cdot{}3\cdot{}...\cdot{}n}_{\text{= n Faktoren}}} \ = \ \underbrace{\bruch{n}{1}\cdot{}\bruch{n}{2}\cdot{} \bruch{n}{3}\cdot{}...\cdot{} \bruch{n}{n} }_{\text{= n Faktoren}} [/mm]
Nun abschätzen und zeigen, dass dieser Term über alle Grenzen wächst.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Dankeschön für die Antwort!
Jetzt „sehe“ ich zwar, dass die Folge über alle Grenzen wächst, aber weiß nicht so recht wie ich das in einen mathematisch sauberen Aufschrieb packen soll, sprich wie ich das korrekt abschätze, um zu zeigen, dass die Folge auch wirklich über alle Grenzen wächst..?
Gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Theoretix!
Lass den ersten Bruch als $n_$ stehen. Alle anderen Brüche sind [mm] $\ge [/mm] \ 1$ , so dass Du das Gesamtprodukt mit $... \ [mm] \ge [/mm] \ n$ abschätzen kannst.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folge auf Konvergenz:
[mm] c_{n}:=(\wurzel{n+1}-\wurzel{n)}*\wurzel{n} [/mm] |
Hallo zusammen,
es bleibt ja mir überlassen, welchen weg ich wähle, um die konvergenz nachzuweisen. ich weiß nicht, welcher davon hier am schnellsten geht. z.b. könnte ich versuchen monotonie und beschränktheit nachzuweisen.
Für die Monotonie muss dann gelten [mm] c_{n}\le c_{n+1}\forall [/mm] n. wie zeigt man das konkret? schon einsetzen, aber setze ich jetzt konkrete werte ein? das wäre ja dann kein nachweis sondern nur für ein n gezeigt.
Für die Beschränktheit müsste dann gelten: [mm] ||c_{n}||\le [/mm] C [mm] \forall [/mm] n. Wie finde ich so eine Schranke?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Erweitere [mm] c_n [/mm] mit
[mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n}
[/mm]
FRED
|
|
|
| |
|
Danke für den Tipp, komme dann auf:
[mm] \bruch{(\wurzel{n+1}-\wurzel{n})*(\wurzel{n+1}+\wurzel{n})*\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}=\bruch{(n+1-n)\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}=\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}} [/mm] Jetzt müsste ich Zähler und Nenner doch irgendwie gegeneinander abschätzen können, indem ich argumentiere, dass [mm] \wurzel{n+1}+\wurzel{n} [/mm] für wachsende n immer größer ist als [mm] \wurzel{n}, [/mm] und demnach die Folge konvergiert. Alleridings wird diese Begründung wahrscheinlich nicht akzeptiert werden=)
Kann man das sauber begründen?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
Klammere in
[mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+\wurzel{n}}
[/mm]
in Zähler und Nenner [mm] \wurzel{n} [/mm] aus
FRED
|
|
|
| |
|
Ausgeklammert:
[mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}(\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}})}=\bruch{1}{\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}}(=\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}})
[/mm]
Ich weiß, ich bin grade etwas langsam, aber nun müsste ich ja noch „zeigen“, dass [mm] \wurzel{n+1}\ge \wurzel{n}\forall [/mm] n, um zu zeigen, dass der Nenner gegen unendlich geht für wachsende n und damit die Folge konvergiert, oder?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:48 Do 20.01.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ausgeklammert:
>
> [mm]\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}(\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}})}=\bruch{1}{\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}}(=\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}})[/mm]
Das stimmt nicht !
Links muß es beginnen mit:
[mm] \bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n}(\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}+1)}
[/mm]
FRED
>
> Ich weiß, ich bin grade etwas langsam, aber nun müsste
> ich ja noch „zeigen“, dass [mm]\wurzel{n+1}\ge \wurzel{n}\forall[/mm]
> n, um zu zeigen, dass der Nenner gegen unendlich geht für
> wachsende n und damit die Folge konvergiert, oder?
>
> Gruß
|
|
|
| |
|
Stimmt, hab ich übersehen:
Daraus bekomme ich doch dann:
[mm] \bruch{1}{\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}+1}=\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+1} [/mm] ?
Also intuitiv scheint es klar, dass [mm] \wurzel{n+1}+1\ge \wurzel{n}, \forall [/mm] n, aber man muss das ja auch immer begründen. Und kann ich damit dann auch zeigen, dass die folge wirklich konvergiert?
Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:16 Do 20.01.2011 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Stimmt, hab ich übersehen:
>
> Daraus bekomme ich doch dann:
>
> [mm]\bruch{1}{\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}+1}=\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{n+1}+1}[/mm]
> ?
Nein.
Außerdem sollst du bloß den Grenzwert [mm] \bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}} [/mm] bestimmen. Der ist gleiche wie der Grenzwert [mm] \bruch{n+1}{n}=1+\bruch{1}{n}. [/mm] Nun sollst du eben dieser Gleichungskette nacheinander zurückverfolgen (man darf mit konvergenten Folgen "ganz normal rechnen") um schließlich auf 1/2 zu kommen.
> Also intuitiv scheint es klar, dass [mm]\wurzel{n+1}+1\ge \wurzel{n}, \forall[/mm]
> n, aber man muss das ja auch immer begründen. Und kann ich
> damit dann auch zeigen, dass die folge wirklich
> konvergiert?
Das brauchst du nicht (s.o.), aber um die Fragen zu beantworten: um die Abschätzung zu krigen fängst du links an und vergisst die äußere eins (offensichtlich) und dann die innere (Wurzel ist monoton steigend ab 1). Um dann Konvergenz zu zeigen, ist erst die Beschränktheit notwendig (klar - von unten durch null) und dann die MONOTONIE! Das gibt dir aber den Grenzwert nicht an.
>
> Gruß
Grüße,
dormant
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort!
> Außerdem sollst du bloß den Grenzwert
> [mm]\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}[/mm] bestimmen. Der ist gleiche
> wie der Grenzwert [mm]\bruch{n+1}{n}=1+\bruch{1}{n}.[/mm] Nun sollst
> du eben dieser Gleichungskette nacheinander
> zurückverfolgen (man darf mit konvergenten Folgen "ganz
> normal rechnen") um schließlich auf 1/2 zu kommen.
Heißt das ich kann einfach mit den Grenzwertsätzen argumentieren und da die Konstanten Folgen 1 im Zähler und im Nenner für n gegen unendlich 1 bleiben und [mm] \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0 konvergiert, konvergiert die gesamte Folge??
> > Also intuitiv scheint es klar, dass [mm]\wurzel{n+1}+1\ge \wurzel{n}, \forall[/mm]
> > n, aber man muss das ja auch immer begründen. Und kann ich
> > damit dann auch zeigen, dass die folge wirklich
> > konvergiert?
>
> Das brauchst du nicht (s.o.), aber um die Fragen zu
> beantworten: um die Abschätzung zu krigen fängst du links
> an und vergisst die äußere eins (offensichtlich) und dann
> die innere (Wurzel ist monoton steigend ab 1). Um dann
> Konvergenz zu zeigen, ist erst die Beschränktheit
> notwendig (klar - von unten durch null) und dann die
> MONOTONIE! Das gibt dir aber den Grenzwert nicht an.
Ja, nur sollen wir immer so strikt nach definitionen arbeiten, d.h. um beschränktheit reicht es nicht zu sagen beschränkt durch 0 nach unten (was eig klar ist) sondern, es muss gelten: [mm] ||c_{n}||\le [/mm] C [mm] \forall [/mm] n
wie könnte ich das zeigen?
Gruß
> > Gruß
>
> Grüße,
> dormant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:44 Do 20.01.2011 | | Autor: | dormant |
> Danke für die Antwort!
>
>
>
> > Außerdem sollst du bloß den Grenzwert
> > [mm]\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n}}[/mm] bestimmen. Der ist gleiche
> > wie der Grenzwert [mm]\bruch{n+1}{n}=1+\bruch{1}{n}.[/mm] Nun sollst
> > du eben dieser Gleichungskette nacheinander
> > zurückverfolgen (man darf mit konvergenten Folgen "ganz
> > normal rechnen") um schließlich auf 1/2 zu kommen.
>
> Heißt das ich kann einfach mit den Grenzwertsätzen
> argumentieren und da die Konstanten Folgen 1 im Zähler und
> im Nenner für n gegen unendlich 1 bleiben und [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
> gegen 0 konvergiert, konvergiert die gesamte Folge??
Ja.
> > > Also intuitiv scheint es klar, dass [mm]\wurzel{n+1}+1\ge \wurzel{n}, \forall[/mm]
> > > n, aber man muss das ja auch immer begründen. Und kann ich
> > > damit dann auch zeigen, dass die folge wirklich
> > > konvergiert?
> >
> > Das brauchst du nicht (s.o.), aber um die Fragen zu
> > beantworten: um die Abschätzung zu krigen fängst du links
> > an und vergisst die äußere eins (offensichtlich) und dann
> > die innere (Wurzel ist monoton steigend ab 1). Um dann
> > Konvergenz zu zeigen, ist erst die Beschränktheit
> > notwendig (klar - von unten durch null) und dann die
> > MONOTONIE! Das gibt dir aber den Grenzwert nicht an.
>
> Ja, nur sollen wir immer so strikt nach definitionen
> arbeiten, d.h. um beschränktheit reicht es nicht zu sagen
> beschränkt durch 0 nach unten (was eig klar ist) sondern,
> es muss gelten: [mm]||c_{n}||\le[/mm] C [mm]\forall[/mm] n
> wie könnte ich das zeigen?
Wenn das ganze monoton fallend ist, so brauchst du eine Schranke nur nach unten. Da alles positiv ist, kannst du dir die Norm (also in diesem Fall den Betrag) schenken.
> Gruß
> > > Gruß
> >
> > Grüße,
> > dormant
Grüße,
dormant
|
|
|
|
