Untersuchung einer E-Fkt. < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Beliar |
| Aufgabe | Die Fkt. f mit f(x)=(2x+3)e^(-x) ist gegeben, sowie die Fkt. g mit g(x)=e^(-x)
1) Untersuche den Graphen von f auf Schnittpunkte mit dem Koordinatenachsen, Hoch-Tiefpunkt- und Wendepunkte und den Verlauf für [mm] x-->+-\infty.Zeichne [/mm] den Graphen g mit hilfe einer Wertetabelle.
2)Die Tangente an den Graphen von f im Schnittpunkt mit der Y-Achse bildet mit den Koordinatenachsen ein Dreieck. Berechne den Flächeninhalt.
3)Die Paralle zur y-Achse mit der Gleichung x=u mit u>-1 schneidet den Graphen von f im Punkt P und den Graphen von g im Punkt Q.Für welchen Wert von u wird die Strecke PQ maximal? Berechne die maximale Länge der Strecke. |
Hallo, also die Aufgaben 1 und 2 habe ich glaubig soweit richtig erledigt, es wäre toll wenn jemand das mal überprüft. An der dritten arbeite ich noch,
zu 1)
habe Nullstellen gesucht:f(x)=(2x+3)e^(-x) da e^(-x) nicht null 2x+3=0 macht dann x=-1,5
ob sich an der y-Achse was tut habe ich f(x)=(2x+3)e^(-x) für x=0 ein gesetzt und 3 herausbekommen. Habe also kontakt mit den Achsen bei (-1,5/0)und (0/3)
Extremwerte:
habe die 1.-3.Ableitung gebilde:
f'(x)=e^(-x)(-2x-1)
f''(x)=e^(-x)(2x-1)
f'''(x)=e^(-x)(-2x+3)
für Tief-Hochpunkte die 1.Ableitung null gesetzt und
x=-0,5 heraus bekommen (also nur ein Hochpunkt und keinen Tiefpunkt) durch einsetzten in die Ausgangsfkt. den y-Wert ermittelt ist ca. 3,3
Wendepunkte:
2.Ableitung=0
bekomme x=0,5 als y-Wert habe ich ca.2,43
Die wertetabelle sieht so aus:
für e^(-x) -4 bis 4;
-4=54,6 -3=20,1 -2=7,4 -1=2,7 0=1 1=0,4 2=0,14 3=0,05 4=0,01
zu2)
da die Steigung im Punkt (0/3) gleich der 1. Ableitung ist habe ich durch einsetzen m=-1 heraus.
y=-1x+3
habe also P1 (0/3) und P2 (3/0) meine erste Frage:
kann ich jetzt sagen meine Länge sowie meine Höhe betragen jeweils 3 Einheiten? denn dann hätte ich A=(g*h)/2 und damit einen Flächeninhalt von 4,5 sind das dann auch Einheiten, oder?
Danke für jede Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:54 Fr 03.11.2006 | | Autor: | DesterX |
Hallo Reinhard!
Deine Lösungen sind alle korrekt! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Allerdings hast du noch nichts zum Verlauf im Unendlichen gesagt, aber ist sicher auch nicht weiter schwierig?
Wie sieht's mit dem 3. Teil aus, brauchst du direkt Hilfe oder willst du es erst selber probieren?
Grüße
Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:59 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Beliar |
tüfftel noch ein bischen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:00 Fr 03.11.2006 | | Autor: | Beliar |
also nun zu 3)
ich brauche ja einen maximal wert (größt möglicher Abstand beider Fkt.) bedeutet ich muss mir eine neue Fkt.schaffen:
a(x)= f(x) - g(x)
a(x)= (2x+3)e^(-x) - e^(-x) muss ich das so rechnen?
a(x)= (2x+3)e^(-x) - (+1)e^(-x)
a(x)=e^(-x) (2x-2)
dann die 1.Ableitung und nach dem Extrem suchen hierbei den Hochpunkt?? dann hätte ich den u-wert,aber wie komme ich zur maximalen länge der Strecke (u-wert in neue Gleichung einsetzten?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:42 Fr 03.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
> also nun zu 3)
> ich brauche ja einen maximal wert (größt möglicher Abstand
> beider Fkt.) bedeutet ich muss mir eine neue Fkt.schaffen:
> a(x)= f(x) - g(x)
> a(x)= (2x+3)e^(-x) - e^(-x) muss ich das so rechnen?
> a(x)= (2x+3)e^(-x) - (+1)e^(-x)
> a(x)=e^(-x) (2x-2)
> dann die 1.Ableitung und nach dem Extrem suchen hierbei
> den Hochpunkt?? dann hätte ich den u-wert,aber wie komme
> ich zur maximalen länge der Strecke (u-wert in neue
> Gleichung einsetzten?)
Alles Korrekt, so wird es gemacht.
Marius
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Hallo Beliar,
> also nun zu 3)
> ich brauche ja einen maximal wert (größt möglicher Abstand
> beider Fkt.) bedeutet ich muss mir eine neue Fkt.schaffen:
> $a(x)= f(x) - g(x)$
> $a(x)= [mm] (2x+3)e^{-x} [/mm] - [mm] e^{-x}$ [/mm] muss ich das so rechnen?
> $a(x)= [mm] (2x+3)e^{-x} [/mm] - [mm] (+1)e^{-x}$
[/mm]
> [mm] $a(x)=e^{-x} [/mm] (2x-2)$
[edit: mit Formeleditor liest es sich viel leichter.  informix]
> dann die 1.Ableitung und nach dem Extrem suchen hierbei
> den Hochpunkt?? dann hätte ich den u-wert,aber wie komme
> ich zur maximalen länge der Strecke (u-wert in neue
> Gleichung einsetzen?)
genau so solltest du es machen!
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:17 So 05.11.2006 | | Autor: | Beliar |
Also ich glaube das ich fertig bin,aber ich traue meinem ergebnis nicht, mag jemand das mal überprüfen?
Die neue Fkt.
[mm] d(x)=e^{-x}(2x+2)
[/mm]
Die 1. und 2.Ableitung:
d'(x) [mm] =e^{-x}(-2x)
[/mm]
[mm] d''(x)=e^{-x}(2x-2)
[/mm]
jetzt Extremwert suchen:
d'(x)=0 würde heissen -2x=0 bedeutet x=0 überprüfen mit
[mm] d''(x)\not=0 [/mm] (2x-2);da e nicht null 2x-2=0 macht x=1 also ok.
Länge der Strecke ist dann:
[mm] d(x)=e^{-x}(2x+2) [/mm] setze 0 ein und bekomme den max.Abstand
d(x)=2
dann wäre der größte Abstand bei x=1 und y bzw. d(x)=2 Hoffe das es richtig ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:46 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Korrekt, und super erklärt.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:52 So 05.11.2006 | | Autor: | Beliar |
einen hab ich noch,
ich soll ja die Länge der Strecke bestimmen. habe mir das so gedacht. habe bei x=1 den größten Abstand.Bestimme von f(x) und g(x) die Position bei x=1 wäre bei g(x)=ca.0,37 und bei f(x)=ca. 1,84 subtraiere beides und bekomme die länge der Strecke die wäre 1,47 einheiten. Gibt es da eigentlich einen einfacheren weg?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:09 So 05.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Nein, der Abstand ist ja die Differenz der Funktionswerte. Also bleibt dir nicht viel anderes übrig, als das so zu berechnen.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 So 05.11.2006 | | Autor: | Beliar |
habe mich vertan, habe die strecke ja schon
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
