Untersuchung einer Kurvenschar < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 So 03.02.2008 | | Autor: | MrPotter |
| Aufgabe | Gegeben ist die folgende Kurvenschar
[mm]f_a: \IR^+ \rightarrow \IR;\quad a \in \IR\[/mm] mit [mm]\ f_a(x)\ =\ x^a*e^x[/mm]
a) Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen
b) Untersuchen Sie mit geeigneter Fallunterscheidung das Verhalten des Graphen am linken Rand des Definitionsbereichs in Abhängigkeit von a.
c) Bestimmen Sie die relativen Extrema der Kurvenschar.
d) Zeigen Sie, dass die Graphen der Schar für a [mm] \geq [/mm]1 keinen Wendepunkt besitzen.
e) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktionsgrafen von [mm] Gf_1 [/mm] (also a = 1) und [mm] Gf_2 [/mm] (also a = 2). |
Hallo vorhilfe-User,
ich hab da so meine Probleme mit der Obenstehenden Aufgabe. Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst. Hier sind meine beiden Ableitungen:
[mm]f_a'(x)\ =\ a*x^{a-1}*e^x [/mm]
[mm]f_a''(x)\ =\ (a-1)*a*x^{a-2}*e^x [/mm]
zu b)
Mit dem linken Rand vom Definitionsbereich ist ja die 0 gemeint, richtig? Dazu meine Lösung:
[mm]\lim_{x \to 0}f_a \ =\ \lim_{x \to 0}x^a*e^x [/mm]
Fall 1:
[mm]a > 0\ \Rightarrow\ x_a \rightarrow 0[/mm]
Fall 2:
[mm]a = 0\ \Rightarrow\ x_a \rightarrow 1[/mm]
Fall 3:
[mm]a < 0\ \Rightarrow\ x_a \rightarrow \infty[/mm]
zu c)
Hier komme ich nicht weiter. Mein Lösungsansatz:
Extremstellen:
Notwendig: [mm]f'_a(x)\ = \ 0[/mm]
[mm]\Rightarrow a*x^{a-1}*e^x\ = \0[/mm]
Da [mm] e^x [/mm] nie 0 wird, wird der andere Faktor betrachtet:
[mm]a*x^{a-1} = 0[/mm]
[mm]\Leftrightarrow\ x^{a-1}\ =\ 0[/mm]
[mm]\Leftrightarrow\ a-1*\ln x\ =\ 0[/mm]
[mm]\Leftrightarrow\ a-1\ =\ 0 [/mm]
[mm]\Leftrightarrow\ a-1\ \not=\ 0 [/mm]
Was habe ich hier falsch gemacht, bzw. wie kann man hier klüger Vorgehen als ich es getan habe?
Vielen Dank für eure Hilfe
MrPotter
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo MrPotter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Gegeben ist die folgende Kurvenschar
> [mm]f_a: \IR^+ \rightarrow \IR;\quad a \in \IR\[/mm] mit [mm]\ f_a(x)\ =\ x^a*e^x[/mm]
>
> a) Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen
>
> b) Untersuchen Sie mit geeigneter Fallunterscheidung das
> Verhalten des Graphen am linken Rand des
> Definitionsbereichs in Abhängigkeit von a.
>
> c) Bestimmen Sie die relativen Extrema der Kurvenschar.
>
> d) Zeigen Sie, dass die Graphen der Schar für a [mm]\geq [/mm]1
> keinen Wendepunkt besitzen.
>
> e) Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktionsgrafen von
> [mm]Gf_1[/mm] (also a = 1) und [mm]Gf_2[/mm] (also a = 2).
> Hallo vorhilfe-User,
> ich hab da so meine Probleme mit der Obenstehenden
> Aufgabe. Aufgabenteil a) habe ich bereits gelöst. Hier sind
> meine beiden Ableitungen:
>
> [mm]f_a'(x)\ =\ a*x^{a-1}*e^x[/mm]
> [mm]f_a''(x)\ =\ (a-1)*a*x^{a-2}*e^x[/mm]
Das musst Du nochmal nachrechnen.
>
> zu b)
> Mit dem linken Rand vom Definitionsbereich ist ja die 0
> gemeint, richtig? Dazu meine Lösung:
Ja.
>
> [mm]\lim_{x \to 0}f_a \ =\ \lim_{x \to 0}x^a*e^x[/mm]
>
> Fall 1:
> [mm]a > 0\ \Rightarrow\ x_a \rightarrow 0[/mm]
>
> Fall 2:
> [mm]a = 0\ \Rightarrow\ x_a \rightarrow 1[/mm]
>
> Fall 3:
> [mm]a < 0\ \Rightarrow\ x_a \rightarrow \infty[/mm]
Stimmt.
Alles weitere erübrigt sich, da die Ableitungen nicht stimmen.
> Vielen Dank für eure Hilfe
> MrPotter
>
> PS:
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 So 03.02.2008 | | Autor: | MrPotter |
> > Hier sind meine beiden Ableitungen:
> >
> > [mm]f_a'(x)\ =\ a*x^{a-1}*e^x[/mm]
> > [mm]f_a''(x)\ =\ (a-1)*a*x^{a-2}*e^x[/mm]
>
> Das musst Du nochmal nachrechnen.
Hallo MathePower!
Danke für die rasche Hilfe. Ich hab da wohl die Produktregel nicht benutzt  Auweia, wie peinlich.
Ich habe aber immer noch so das Gefühl, das da was nicht stimmt, da es dennoch noch keine Lösung für mögliche Extremstellen-Kandidaten gibt.
Hier erstmal wieder die Ableitungen:
[mm]f'_a(x) = ax^{a-1}*e^x + x^a * e^x = e^x * (ax^{a-1}+x^a)[/mm]
[mm]f''_a(x) = e^x*(ax^{a-1}+x^a)+e^x*((a-1)*ax^{a-2}+ax^{a-1}) = e^x * (2ax^{a-1} + x^a + a^2 - ax^{a-2})[/mm]
(Ist das so richtig zusammengefasst?)
Na ja, bevor die Ableitungen nicht stimmen, macht's ja keinen Sinn die (falsche) Extremstellenberechnung zu posten.
Vielen lieben Dank!
MrPotter
|
|
|
| |
|
Hallo!
Deine 1. Ableitung ist richtig:
Du hast [mm] e^{x}(ax^{a-1}+x^{a}) [/mm] Übrigens du kannst noch was ausklammern. Schau [mm] x^{a-1}e^{x}(a+x) [/mm] Bedenke das [mm] x^{a-1}*x=x^{a} [/mm] Wenn du das so vereinfachst also so ausklammerst dann solltest du als zweite Ableitung folgendes herausbekommen [mm] f''(x)=e^{x}x^{a-2}(ax²+2ax+a-1)
[/mm]
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 So 03.02.2008 | | Autor: | MrPotter |
Hallo Tyskie84,
danke für den Hinweis bei der ersten Ableitung. Wieder mal so ein Potenzgesetz, was ich nicht gesehen habe.
Aber so richtig nachvollziehen kann ich die dritte Ableitung nicht.
Ich nehme mal an, du hast diese nach der Form [mm]f_a''(x) = u'*v*w + u*v'*w + u*v*w'[/mm] abgeleitet? Das schaff ich aber nicht zusammenzufassen!
[mm]f_a''(x) = (a-1)x^{a-2}*e^x*(a+x)+x^{a-1}*e^x*(a+x)+x^{a-1}*1[/mm]
Okay, ich sehe man kann ein [mm] e^x [/mm] ausklammern. Also:
[mm]\Leftrightarrow e^x*[(a-1)*x^{a-2}*2(a+x) + (a-1)*(a-1)*(a+x) + x^{a-1}][/mm]
Naja, und jetzt kann ich noch die Klammern zusammenfassen:
[mm]\Leftrightarrow e^x*[(a^2-1+ax-x)x^{a-2} + (a^2-1+ax-x)+x^{a-1}][/mm]
Aber damit komm ich nie und nimmer auf deine Lösung. Hast du das so sauber per Zettel und Stift gerechnet? Oder stell ich mich nur ein wenig blöd an ?? :-D
Lieben Gruß
MrPotter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:27 So 03.02.2008 | | Autor: | MrPotter |
Hey!
Kein Problem, ich finds voll super, das hier einem so schnell geholfen wird. Fehler machen wir doch alle (ich besonders gern' in Mathe).
Hase-hh hat mir schon gesagt, wie ich auf die zweite Ableitung komme - verstanden hab ich das auch :-D
Dank dir für deine Hilfe!
Liebe Grüße
MrPotter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:08 So 03.02.2008 | | Autor: | hase-hh |
moin,
> [mm]f'_a(x) = ax^{a-1}*e^x + x^a * e^x = e^x * (ax^{a-1}+x^a)[/mm]
>
>
> [mm]f''_a(x) = e^x*(ax^{a-1}+x^a)+e^x*((a-1)*ax^{a-2}+ax^{a-1}) = e^x * (2ax^{a-1} + x^a + a^2 - ax^{a-2})[/mm]
>
> (Ist das so richtig zusammengefasst?)
nicht ganz. da hast du eine klammer falsch aufgelöst...
[mm]f''_a(x) = e^x*(ax^{a-1}+x^a)+e^x*((a-1)*ax^{a-2}+ax^{a-1}) = e^x * (2ax^{a-1} + x^a + (a^2 - a)x^{a-2})[/mm]
schauen wir mal weiter...
klammern wir also die größtmögliche potenz von x aus... d.h. [mm] x^{a-2}
[/mm]
[mm]f''_a(x) = e^x*x^{a-2}*(2ax + x^2 + (a^2 - a)})[/mm]
gruß
wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:29 So 03.02.2008 | | Autor: | MrPotter |
Hey Wolfgang!
Vielen vielen Dank :-D Das hab ich verstanden und konnte es sogar nachvollziehen. Bin jetzt aber zu Müde um den Rest der Aufgabenteile zu vervollständigen. Wenn's Probleme gibt, dann schreie ich. Hoffen wir das aber mal nicht^^ Ich will's einmal auch alleine schaffen...
Gute Nacht
MrPotter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Di 05.02.2008 | | Autor: | MrPotter |
Hey nochmal!
Also nachdem ich dank euch die Ableitungen nun habe und die Untersuchung der Funktion am Definitionsrand, komme ich nun mit den Extremstellen nicht so wirklich weiter. Bzw. bin ich über das Ergebnis etwas verunsichert. Evtl. kann das jemand mal durchsehen.
Extremstellen
Notwenig: [mm]f_a'(x) = 0[/mm]
[mm]x^{a-1}*e^x*(a+x) = 0[/mm]
Faktorenuntersuchung (Ist einer der Faktoren null, ist das Produkt null):
(1)
[mm]x^{a-1} = 0[/mm]
[mm]\gdw a-1*\ln x = 0[/mm]
[mm]\gdw a-1 = 0 \Rightarrow [/mm] falsche Aussage
(2)
[mm]e^x = 0 \Rightarrow [/mm] Exponentialfunktion erreicht die Null nie
(3)
[mm]a+x = 0[/mm]
[mm]x = a \Rightarrow[/mm] Kandidat für mögliches Extrema
Hinreichend: Notwendig und [mm]f_a''(x)\not=0 [/mm]
[mm]f_a''(x) < 0 \Rightarrow Maximum[/mm]
[mm]f_a''(x) > 0 \Rightarrow Minimum[/mm]
[mm]f_a''(a) = e^a*a^{a-2}*(2a^2+a^2+(a^2-a))[/mm]
So, hier muss ich ja jetzt Prüfen ob der Term größer oder kleiner Null ist (bzw. null wird.).
Dabei sind doch [mm] e^a [/mm] und die große Klammer immer positiv; nur den Faktor [mm] a^{a-2} [/mm] muss ich mir ansehen, stimmts?
Also, das wäre dann meine Fallunterscheidung (die irgendwie merkwürdig/fehlerbehaftet sein wird...)
Fall 1:
[mm]a \ge 0 \quad f_a''(x)\ >\ 0 \quad \Rightarrow Minimum [/mm]
Fall 2:
[mm]a < 0 und a = [/mm] ungerade [mm] \quad f_a''(x)\ < 0 \quad \Rightarrow Maximum [/mm]
Fall 3:
[mm]a < 0 und a = [/mm] gerade [mm] \quad f_a''(x)\ > 0 \quad \Rightarrow Minimum [/mm]
Gibt es überhaupt Unterscheidungen zwischen gerade und ungerade? Hier in diesem Fall ja irgendwie schon...
y-Koordinate:
[mm]f_a(a) = a^a * e^a[/mm]
[mm] E(a/(ae)^a)
[/mm]
Tja, der Y-Wert stimmt, wenn ich die Funktion für verschiedene a's Plotte. Nur mit den Y-Werten klappt's nicht. Außerdem stimmen die Fallunterscheidungen nicht.
Was hab ich denn nun schon wieder fasch gemacht? .-.
Vielen Dank an euch!
MrPotter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Di 05.02.2008 | | Autor: | Maggons |
Hallo !
Also. Ich bin nicht so in der Aufgabe drin aber spontan würde ich sagen, dass deine Extrempunkte falsch bestimmt sind.
Von außen her genau die richtige Vorgehensweise nur leider ein paar kleine Patzer; durch diese ist dann leider auch der Rest ein wenig verkorkst.
Also zur Ableitung:
[mm] x^{a-1}\cdot{}e^x\cdot{}(a+x) [/mm] = 0
Wie richtig von dir angemerkt wird die Fkt. 0, wenn einer der Faktoren 0 wird.
[mm] 0^{n}=0; [/mm] ausgesprochen wird 0 hoch irgendwas immer 0. Somit ist schonmal 0 eine Nullstelle der Funktion, falls a>0, wobei ich gerade spontan leider keinen Definitionsbereich in deinen Angaben gefunden habe.
Dann ist deine 2. Nullstelle der Ableitung fast korrekt:
du schreibst selbst: a+x = 0
Aber dann ist doch nicht die Nullstelle bei a sondern bei -a, weil du doch das a in der Rechnung auf die andere Seite bringen musst:
a+x = 0 | -a
x= -a
Ich nehme an, dass deshalb auch die Fallunterscheidungen ein wenig verkorkst sind.
Naja vllt möchte ja noch jemand mehr dazu schreiben; leider finde ich es nicht sehr produktiv nun bei allem zu sagen, dass es auf Grund deines anfänglichen Fehlers fehlerhaft ist.
In einer Arbeit würdest du sehr viele Teilpunkte kassieren, da deine Rechnungen nachvollziehbar und größtenteils korrekt sind :)
Lg
|
|
|
| |
|
> Hallo !
Hey Maggons!
> [mm]0^{n}=0;[/mm] ausgesprochen wird 0 hoch irgendwas immer 0. Somit
> ist schonmal 0 eine Nullstelle der Funktion, falls a>0,
> wobei ich gerade spontan leider keinen Definitionsbereich
> in deinen Angaben gefunden habe.
Der Stand in der Aufgabenstellung. Ist aber nicht schlimm. Das ist er:
[mm]a \in \IR[/mm]
Stimmt, diesen Fall habe ich übersehen. Klasse für den Hinweis. Also echt, manchmal glaub ich, dass ich eine zweite Brille brauche. xD
> Aber dann ist doch nicht die Nullstelle bei a sondern bei
> -a, weil du doch das a in der Rechnung auf die andere Seite
> bringen musst.
Da red' ich mich jetzt nicht raus. Das ist wieder mal richtig peinlich. Danke dir auch dafür!
> Ich nehme an, dass deshalb auch die Fallunterscheidungen
> ein wenig verkorkst sind.
Na ja, ich habe doch jetzt ein weiteren Kandidaten. Die 0 für ein mögliches Extrema. Wenn ich diese jedoch in die 2. Ableitung einsetze, wird mein Hinreichendes Kriterium nicht erfüllt [mm]f_a''(0) = 0[/mm]
Man, jetzt muss ich ja hier noch über das Vorzeichenwechsel argumentieren, oder? Diese Aufgabe ist so mies.
Die Fallunterscheidungen für x = - a sind leider immer noch ein Horror. Wenn ich -a in die 2. Ableitung einsetze, ist e^-a immer noch > 0 und die Klammer geht dieses Mal ins positive. Wie kann man das genauer (also ohne Testen) ermitteln?
Die Fallunterscheidungen für [mm]-a^{a-2}[/mm] sehen jetzt wie folgt aus:
Fall 1:
a < 0 - positiver Faktor [mm]f_a''(x) < 0 \Rightarrow Maximum[/mm]
Fall 2:
a > 0 und a ungerade - negativ [mm]f_a''(x) > 0 \Rightarrow Maximum[/mm]
Fall 3:
a > 0 und a gerade - positiv [mm]f_a''(x) > 0 \Rightarrow Maximum[/mm]
Fall 4 (den hatte vergessen):
a = 0 [mm]f_a''(x) = 0 \Rightarrow [/mm] Arg. mit Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung, stimmts? :-(
y-Koordinate :
[mm]E1(0/0)[/mm] -> Das ist doch eigentlich Blödsinn, oder?! Das ist doch kein Extrema?! *grübel
[mm]E2(a/(-a^a*e^{-a}))[/mm] (Jaa, die Stimmt^^)
Liebe Grüße
MrPotter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Do 07.02.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:00 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, MrPotter,
> zu b)
> Mit dem linken Rand vom Definitionsbereich ist ja die 0
> gemeint, richtig? Dazu meine Lösung:
>
> [mm]\lim_{x \to 0}f_a \ =\ \lim_{x \to 0}x^a*e^x[/mm]
>
> Fall 1:
> [mm]a > 0\ \Rightarrow\ x_a \rightarrow 0[/mm]
Naja: Du meinst sicher: [mm] f_{a}(x) \to [/mm] 0, stimmt's?!
(analog unten)
> Fall 2:
> [mm]a = 0\ \Rightarrow\ x_a \rightarrow 1[/mm]
>
> Fall 3:
> [mm]a < 0\ \Rightarrow\ x_a \rightarrow \infty[/mm]
mfG!
Zwerglein
|
|
|
|
