Untersuchung einer Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 18:59 Do 20.11.2008 | Autor: | Babsi86 |
Aufgabe | Untersuche ob die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert bzw absolut konvergiert, wobei die Folge [mm] (a_{n}) n\in\IN [/mm] definiert ist durch:
[mm] (a_{n}):= (-1)^{3n} \bruch{n}{n^{2} + 5} [/mm] |
So also ich wollte mal nachfragen ob das so in ordnung geht wie ich es bewiesen habe:
[mm] (-1)^{3n} \bruch{n}{n^{2} + 5}
[/mm]
[mm] \gdw (-1)^{3^{n}} \bruch{n}{n^{2} + 5}
[/mm]
[mm] \gdw (-1)^{n} \bruch{n}{n^{2} + 5}
[/mm]
Man untersucht die Reihe mit dem Leipniz Kriterium.
Folgendes muss bewiesen werden
1) [mm] (a_{n}) [/mm] ist eine Nullfolge
2) [mm] (a_{n}) [/mm] ist monoton fallend
Jetzt zu 1)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ...... =0
--> [mm] (a_{n}) [/mm] ist eine Nullfolge
zu 2)
Zu zeigen ist, dass [mm] a_{+1}< a_{n}
[/mm]
.......
am ende der ungleichung hab ich stehen [mm] n^{2} [/mm] + n - 5>0
--> eine nach oben geöffnete Parabel
Mit der Mitternachtsformel folgt:
[mm] n_{1}= -\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{21}}{2} [/mm] --> negativ
[mm] n_{2}= -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{21}}{2}
[/mm]
mit [mm] 4<\wurzel{21}<5 [/mm] folgt : n> [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] -\bruch{4}{2}
[/mm]
[mm] \gdw n>\bruch{3}{2}
[/mm]
--> für alle n [mm] \ge [/mm] 2 ist [mm] (a_{n}) [/mm] monoton fallend ( denn für n [mm] \ge [/mm] 2 ist der Bruch immer < 1)
Daraus folgt dass die Reihe nach dem Leipniz Kriterium konvergiert.
Ist das formal so richtig???
Wie beweise ich denn jetzt die absolute Konvergenz
Bitte um Mithilfe
|
|
|
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 20:26 Do 20.11.2008 | Autor: | Babsi86 |
Okay also ich weiß dass das die harmonische Reihe ist.
Die Reihenglieder konvergieren gegen 0 aber die Reihe ist trotzdem divergent da sie gegen [mm] \infty [/mm] geht oder????
|
|
|
|
|
Hallo Babsi,
> Okay also ich weiß dass das die harmonische Reihe ist.
> Die Reihenglieder konvergieren gegen 0 aber die Reihe ist
> trotzdem divergent da sie gegen [mm]\infty[/mm] geht oder????
Also versuche nun, deine Reihe nach unten gegen die harmonische Reihe (bzw. eine Variante) abzuschätzen, verkleinere also deine Reihe.
Dazu kannst du den Zähler verkleinern oder den Nenner vergrößern ...
Dann hättest du mit der harmonischen Reihe (bzw. einer Variante derselben) eine divergente Minorante gefunden, deiner größeren Reihe bliebe also nichts anderes, als auch zu divergieren.
Versuche mal eine Abschätzung ...
LG
schachuzipus
|
|
|
|
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 20:47 Do 20.11.2008 | Autor: | Babsi86 |
Hi das leuchtet mir aber irgendwie nicht ein
d.h [mm] \bruch{1}{n^{2}+5}????
[/mm]
Dankeschön
|
|
|
|
|
Hallo nochmal,
> Hi das leuchtet mir aber irgendwie nicht ein
> d.h [mm]\bruch{1}{n^{2}+5}????[/mm]
Nein, so meinte ich das nicht, die zu diesem Ausdruck gehörende Reihe wäre konvergent
Du hast ja die Reihe [mm] $\sum\frac{n}{n^2+5}$
[/mm]
Die wollen wir nach unten abschätzen, also verkleinern, uns bleibt einerseits, den Zähler zu verkleinern, das hast du ja gemacht, aber die Abschätzung ist zu grob und liefert uns leider eine konvergente Minorante, das hilft uns nicht weiter.
Die andere Möglichkeit wäre, den Nenner zu vergrößern, versuchen wir das mal:
Es ist doch sicherlich [mm] $n^2+5 [/mm] < [mm] n^2+n^2$ [/mm] ab $n=3$
Also ab $n=3$ ist [mm] $\sum\frac{n}{n^2+5} [/mm] \ > \ [mm] \sum\frac{n}{n^2+n^2} [/mm] \ = \ [mm] \sum\frac{n}{2n^2} [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\sum\frac{1}{n}$
[/mm]
Und wenn [mm] $\sum\frac{1}{n}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert, so tut es [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\sum\frac{1}{n}$ [/mm] doch sicher auch ...
> Dankeschön
>
Gerne und Gruß
schachuzipus
|
|
|
|
|
Status: |
(Frage) beantwortet | Datum: | 21:07 Do 20.11.2008 | Autor: | Babsi86 |
Okay das ist schon viel einleuchtender
Okay d.h die Reihe eigentliche reihe nicht absolut konvergent oder???(Nach Minoratenkriterium)
|
|
|
|
|
Die Reihe, die Ihr da gerade untersucht, ist nicht konvergent.
Leider ist es nicht mehr die Reihe aus der Aufgabenstellung! Zwischendurch ist der Faktor [mm] (-1)^{3^n}=(-1)^n [/mm] weggefallen...
Der hat aber entscheidenden Einfluss auf den Ausgang der Untersuchung.
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 21:19 Do 20.11.2008 | Autor: | Loddar |
Hallo reverend!
Babsi hat hier ja eindeutig "abolut konvergent" geschrieben. Und damit hat sie Recht.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 21:44 Do 20.11.2008 | Autor: | reverend |
Versteh ich gerade nicht. Ich denk mal drüber nach, beim Etikettenkleben. Noch ca. 300...
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 21:54 Do 20.11.2008 | Autor: | reverend |
Jeechen. Nee, is klar. Wer lesen kann, ist absolut im Vorteil.
Ich brauch mal Koffein oder Ähnliches.
Das ist heute mindestens der dritte Beitrag, den ich ganz hinten in der Sockenschublade aufheben würde.
Pardon. Und danke.
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 21:59 Do 20.11.2008 | Autor: | Loddar |
Hallo reverend!
Zur "Debatte" steht folgende Reihe:
[mm] $$\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{3n}*\bruch{n}{n^{2} + 5} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{n}{n^{2} + 5}$$
[/mm]
Diese soll auf ("normale") Konvergenz sowie auf absolute Konvergenz untersucht werden.
Die o.g. Reihe ist konvergent (nach einem gewissen Herrn Leibniz). Jedoch ist die o.g. Reihe nicht absolut konvergent, da:
[mm] $$\summe_{n=0}^{\infty}\left| \ a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left|(-1)^{3n}*\bruch{n}{n^{2} + 5}\right| [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{n^{2} + 5} [/mm] \ [mm] \rightarrow [/mm] \ [mm] \infty$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 22:08 Do 20.11.2008 | Autor: | reverend |
Hallo Loddar,
genau: hack noch ein bisschen drauf 'rum.
Grüße!
|
|
|
|
|
Status: |
(Antwort) fertig | Datum: | 21:17 Do 20.11.2008 | Autor: | Loddar |
Hallo Babsi!
Du hast Recht ... so stimmt es!
Gruß
Loddar
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 20:48 Do 20.11.2008 | Autor: | reverend |
...und frag Dich, anknüpfend an rainerS, bei der Gelegenheit auch gleich, ob Du etwas über den Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{1}{n}\not=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] weißt.
|
|
|
|
|
Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | Datum: | 20:54 Do 20.11.2008 | Autor: | Babsi86 |
alsooo jetzt bin ich total verwirrt
bitte um hilfe steh gerade total auf dem schlauch
|
|
|
|