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Untersuchung einer Reihe: Leibniz - Kriterium
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:59 Do 20.11.2008
Autor: Babsi86

Aufgabe
Untersuche ob die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert bzw absolut konvergiert, wobei die Folge [mm] (a_{n}) n\in\IN [/mm] definiert ist durch:
[mm] (a_{n}):= (-1)^{3n} \bruch{n}{n^{2} + 5} [/mm]

So also ich wollte mal nachfragen ob das so in ordnung geht wie ich es bewiesen habe:
[mm] (-1)^{3n} \bruch{n}{n^{2} + 5} [/mm]
[mm] \gdw (-1)^{3^{n}} \bruch{n}{n^{2} + 5} [/mm]
[mm] \gdw (-1)^{n} \bruch{n}{n^{2} + 5} [/mm]
Man untersucht die Reihe mit dem Leipniz Kriterium.
Folgendes muss bewiesen werden
1) [mm] (a_{n}) [/mm] ist eine Nullfolge
2) [mm] (a_{n}) [/mm] ist monoton fallend

Jetzt zu 1)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ...... =0
--> [mm] (a_{n}) [/mm] ist eine Nullfolge
zu 2)
Zu zeigen ist, dass [mm] a_{+1}< a_{n} [/mm]
.......
am ende der ungleichung hab ich stehen [mm] n^{2} [/mm] + n - 5>0

--> eine nach oben geöffnete Parabel
Mit der Mitternachtsformel folgt:

[mm] n_{1}= -\bruch{1}{2} [/mm] - [mm] \bruch{\wurzel{21}}{2} [/mm] --> negativ
[mm] n_{2}= -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{\wurzel{21}}{2} [/mm]
mit [mm] 4<\wurzel{21}<5 [/mm] folgt : n> [mm] -\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] -\bruch{4}{2} [/mm]
[mm] \gdw n>\bruch{3}{2} [/mm]
--> für alle n [mm] \ge [/mm] 2 ist [mm] (a_{n}) [/mm] monoton fallend ( denn für n [mm] \ge [/mm] 2  ist der Bruch immer < 1)

Daraus folgt dass die Reihe nach dem Leipniz Kriterium konvergiert.

Ist das formal so richtig???
Wie beweise ich denn jetzt die absolute Konvergenz

Bitte um Mithilfe

        
Bezug
Untersuchung einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:27 Do 20.11.2008
Autor: rainerS

Hallo!

> Untersuche ob die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} a_{n}[/mm]
> konvergiert bzw absolut konvergiert, wobei die Folge
> [mm](a_{n}) n\in\IN[/mm] definiert ist durch:
> [mm](a_{n}):= (-1)^{3n} \bruch{n}{n^{2} + 5}[/mm]
>  So also ich
> wollte mal nachfragen ob das so in ordnung geht wie ich es
> bewiesen habe:
>  [mm](-1)^{3n} \bruch{n}{n^{2} + 5}[/mm]
>  [mm]\gdw (-1)^{3^{n}} \bruch{n}{n^{2} + 5}[/mm]

ok, wenn du meinst [mm] $(-1)^{3n} [/mm] = [mm] ((-1)^3)^n$, [/mm] sonst stimmt's nicht.

>  
> [mm]\gdw (-1)^{n} \bruch{n}{n^{2} + 5}[/mm]
>  Man untersucht die
> Reihe mit dem Leipniz Kriterium.
>  Folgendes muss bewiesen werden
>  1) [mm](a_{n})[/mm] ist eine Nullfolge
>  2) [mm](a_{n})[/mm] ist monoton fallend

[ok]

> Jetzt zu 1)
>  [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] ...... =0
>  --> [mm](a_{n})[/mm] ist eine Nullfolge

>  zu 2)
> Zu zeigen ist, dass [mm]a_{+1}< a_{n}[/mm]
>  .......
>  am ende der ungleichung hab ich stehen [mm]n^{2}[/mm] + n - 5>0
>  
> --> eine nach oben geöffnete Parabel
>  Mit der Mitternachtsformel folgt:
>  
> [mm]n_{1}= -\bruch{1}{2}[/mm] - [mm]\bruch{\wurzel{21}}{2}[/mm] --> negativ
>  [mm]n_{2}= -\bruch{1}{2}[/mm] + [mm]\bruch{\wurzel{21}}{2}[/mm]
>  mit [mm]4<\wurzel{21}<5[/mm] folgt : n> [mm]-\bruch{1}{2}[/mm] +

> [mm]-\bruch{4}{2}[/mm]
>  [mm]\gdw n>\bruch{3}{2}[/mm]
>  --> für alle n [mm]\ge[/mm] 2 ist [mm](a_{n})[/mm]

> monoton fallend ( denn für n [mm]\ge[/mm] 2  ist der Bruch immer <
> 1)
>  
> Daraus folgt dass die Reihe nach dem Leipniz Kriterium
> konvergiert.
>  
> Ist das formal so richtig???

[ok]

>  Wie beweise ich denn jetzt die absolute Konvergenz

Absolute Konvergenz bedeutet ja, dass die Reihe

[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{n}{n^{2} + 5}[/mm]

konvergiert. Hier hilft es entweder eine konvergente Majorante zu finden (zum Beweise der absoluten Konvergenz) oder eine divergente Minorante (zur Widerlegung der Konvergenz).

Eine Hilfe ist dir vielleicht diese Überlegung: die Folge [mm] $a_n= \bruch{n}{n^{2} + 5}$ [/mm] nähert sich für große n immer mehr der Folge [mm] $\bruch{1}{n}$ [/mm] an. Was weisst du über die Konvergenz der Reihe

[mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{1}{n}[/mm]  ?

Viele Grüße
   Rainer



Bezug
                
Bezug
Untersuchung einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:26 Do 20.11.2008
Autor: Babsi86

Okay also ich weiß dass das die harmonische Reihe ist.
Die Reihenglieder konvergieren gegen 0 aber die Reihe ist trotzdem divergent da sie gegen [mm] \infty [/mm] geht oder????


Bezug
                        
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Untersuchung einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:39 Do 20.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Babsi,

> Okay also ich weiß dass das die harmonische Reihe ist.
>  Die Reihenglieder konvergieren gegen 0 aber die Reihe ist
> trotzdem divergent da sie gegen [mm]\infty[/mm] geht oder???? [ok]

Also versuche nun, deine Reihe nach unten gegen die harmonische Reihe (bzw. eine Variante) abzuschätzen, verkleinere also deine Reihe.

Dazu kannst du den Zähler verkleinern oder den Nenner vergrößern ...

Dann hättest du mit der harmonischen Reihe (bzw. einer Variante derselben) eine divergente Minorante gefunden, deiner größeren Reihe bliebe also nichts anderes, als auch zu divergieren.

Versuche mal eine Abschätzung ...


LG

schachuzipus


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Untersuchung einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Do 20.11.2008
Autor: Babsi86

Hi das leuchtet mir aber irgendwie nicht ein
d.h [mm] \bruch{1}{n^{2}+5}???? [/mm]
Dankeschön


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Untersuchung einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 Do 20.11.2008
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> Hi das leuchtet mir aber irgendwie nicht ein
>  d.h [mm]\bruch{1}{n^{2}+5}????[/mm]

Nein, so meinte ich das nicht, die zu diesem Ausdruck gehörende Reihe wäre konvergent

Du hast ja die Reihe [mm] $\sum\frac{n}{n^2+5}$ [/mm]

Die wollen wir nach unten abschätzen, also verkleinern, uns bleibt einerseits, den Zähler zu verkleinern, das hast du ja gemacht, aber die Abschätzung ist zu grob und liefert uns leider eine konvergente Minorante, das hilft uns nicht weiter.

Die andere Möglichkeit wäre, den Nenner zu vergrößern, versuchen wir das mal:

Es ist doch sicherlich [mm] $n^2+5 [/mm] < [mm] n^2+n^2$ [/mm] ab $n=3$

Also ab $n=3$ ist [mm] $\sum\frac{n}{n^2+5} [/mm] \ > \ [mm] \sum\frac{n}{n^2+n^2} [/mm] \ = \ [mm] \sum\frac{n}{2n^2} [/mm] \ = \ [mm] \frac{1}{2}\cdot{}\sum\frac{1}{n}$ [/mm]

Und wenn [mm] $\sum\frac{1}{n}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert, so tut es [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\sum\frac{1}{n}$ [/mm] doch sicher auch ...

>  Dankeschön
>  


Gerne und Gruß

schachuzipus

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Bezug
Untersuchung einer Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:07 Do 20.11.2008
Autor: Babsi86

Okay das ist schon viel einleuchtender ;-)
Okay d.h die Reihe eigentliche reihe nicht absolut konvergent oder???(Nach Minoratenkriterium)

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Bezug
Untersuchung einer Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:15 Do 20.11.2008
Autor: reverend

Die Reihe, die Ihr da gerade untersucht, ist nicht konvergent.

Leider ist es nicht mehr die Reihe aus der Aufgabenstellung! Zwischendurch ist der Faktor [mm] (-1)^{3^n}=(-1)^n [/mm] weggefallen...

Der hat aber entscheidenden Einfluss auf den Ausgang der Untersuchung.

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Untersuchung einer Reihe: absolute Konvergenz
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:19 Do 20.11.2008
Autor: Loddar

Hallo reverend!


Babsi hat hier ja eindeutig "abolut konvergent" geschrieben. Und damit hat sie Recht.

Gruß
Loddar


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Untersuchung einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:44 Do 20.11.2008
Autor: reverend

Versteh ich gerade nicht. Ich denk mal drüber nach, beim Etikettenkleben. Noch ca. 300...

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Untersuchung einer Reihe: noch wer 'n Kaffee?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:54 Do 20.11.2008
Autor: reverend

Jeechen. Nee, is klar. Wer lesen kann, ist absolut im Vorteil.

Ich brauch mal Koffein oder Ähnliches.
Das ist heute mindestens der dritte Beitrag, den ich ganz hinten in der Sockenschublade aufheben würde.

Pardon. Und danke.

Bezug
                                                                                
Bezug
Untersuchung einer Reihe: normal <-> absolut konvergent
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:59 Do 20.11.2008
Autor: Loddar

Hallo reverend!


Zur "Debatte" steht folgende Reihe:
[mm] $$\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{3n}*\bruch{n}{n^{2} + 5} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}*\bruch{n}{n^{2} + 5}$$ [/mm]
Diese soll auf ("normale") Konvergenz sowie auf absolute Konvergenz untersucht werden.

Die o.g. Reihe ist konvergent (nach einem gewissen Herrn Leibniz). Jedoch ist die o.g. Reihe nicht absolut konvergent, da:
[mm] $$\summe_{n=0}^{\infty}\left| \ a_n \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\left|(-1)^{3n}*\bruch{n}{n^{2} + 5}\right| [/mm] \ = \ [mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{n}{n^{2} + 5} [/mm] \ [mm] \rightarrow [/mm] \ [mm] \infty$$ [/mm]

Gruß
Loddar


Bezug
                                                                                        
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Untersuchung einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:08 Do 20.11.2008
Autor: reverend

Hallo Loddar,

genau: hack noch ein bisschen drauf 'rum. ;-)

Grüße!

Bezug
                                                                                                
Bezug
Untersuchung einer Reihe: [off-topic]
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 Do 20.11.2008
Autor: Loddar

Hallo reverend!


> genau: hack noch ein bisschen drauf 'rum.

Yo! [grins]


Gruß
Loddar


PS: ich nehme meinen Kaffee schwarz ... aber bitte nicht den aus der Sockenkiste! [lol]


Bezug
                                                        
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Untersuchung einer Reihe: Du hast Recht!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 Do 20.11.2008
Autor: Loddar

Hallo Babsi!


[ok] Du hast Recht ... so stimmt es!


Gruß
Loddar


Bezug
                                
Bezug
Untersuchung einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:48 Do 20.11.2008
Autor: reverend

...und frag Dich, anknüpfend an rainerS, bei der Gelegenheit auch gleich, ob Du etwas über den Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^n*\bruch{1}{n}\not=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] weißt.

Bezug
                                        
Bezug
Untersuchung einer Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:54 Do 20.11.2008
Autor: Babsi86

alsooo jetzt bin ich total verwirrt
bitte um hilfe steh gerade total auf dem schlauch

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