Untersuchung ganzrat. Funktion < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für jedes t [mm] \ge [/mm] ist ein Funktion [mm] f_{t} [/mm] gegeben durch [mm] f_{t}(x)= [/mm] x³+tx²+1.
a)Für welchen [mm] t_{0} [/mm] geht die Wendetangente an den Graphen der zugehörigen Funktion durch den Ursprung?
b)Untersuchen Sie den Graphen der Funktion für [mm] t=t_{0} [/mm] auf Hoch-,Tief-, und Wendepunkte. |
Hallo Leute,
also ich bin im Leistungskurs in Mathe und normalerweise kann ich echt gut Mathe hatte nie/selten Probleme mit aufgaben oder sonstigm....wir haben aber jetzt ne neue Lehrerin und die kann einfach nicht erklären.....
das ist mir fast schon Peinlich diese Aufgabe im Internet zu stellen...habe aber sonst niemanden der mir helfen kann...... und ich wär echt dankbar wenn ihr mir helfen könnt diese aufgabe zu lösen und das prinzip zu erklären
Also was ich wissen möchte ist:
zu a): Was meinen die mit [mm] t_{o}? [/mm] Muss ich damit ich die aufgabe lösen kann als erstes die Wendepunkte bestimmen und dann (0/0) (<- wegen ursprung) einsetzten um es zu kontrolliern...ob die Bedingung stimmt?
und...woher weis ich welche Funktion ich benutzen muss(weil "zugehöriger Funktion") muss ich die Funktion erst ausrechnen und wenn ja wie?
zu b) was heißt [mm] t=t_{0}? [/mm] Die ganzen Punkte kann ich ausrechnen, aber ich weis leider nicht den lösungsansatz!
Vielen Dank im Voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:26 Do 14.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Bestimme doch erstmal die Wendetangente.
Also:
[mm] f_{t}(x)=x³+tx²+1
[/mm]
[mm] f_{t}'(x)=3x²+2tx
[/mm]
[mm] f_{t}''(x)=6x+2t
[/mm]
[mm] f_{t}'''(x)=6x(\ne0, [/mm] damit gibt es die Wendestelle)
6x+2t=0
[mm] \gdw x_{w}=-\bruch{t}{3}
[/mm]
Also [mm] W(-\bruch{t}{3};f_{t}(\bruch{t}{3}))
[/mm]
[mm] f_{t}(-\bruch{t}{3})=\left(-\bruch{t}{3}\right)^{3}+t*\left(-\bruch{t}{3}\right)^{2}+1
[/mm]
[mm] =-\bruch{t³}{27}+\bruch{t³}{9}+1
[/mm]
[mm] =-\bruch{t³}{27}+\bruch{3t³}{27}+1
[/mm]
[mm] =\bruch{2t³}{27}+1
[/mm]
Also [mm] W(-\bruch{t}{3};\bruch{2t³}{27}+1)
[/mm]
Jetzt bestimme mal die Tangente g(x)=mx+n an W
Also
[mm] m=f_{t}'(t)=3*\left(-\bruch{t}{3}\right)^{2}+2t*\bruch{t}{3}
[/mm]
[mm] =\bruch{t²}{3}+\bruch{2t²}{3}
[/mm]
[mm] =t^{2}
[/mm]
Also: g(x)=t²*x+n
Und jetzt soll diese durch W gehen, also:
[mm] \bruch{2t³}{27}+1=t^{2}*(-\bruch{t}{3})+n
[/mm]
[mm] \gdw n=\bruch{2t³}{27}+1+\bruch{t³}{3}
[/mm]
Also: [mm] g_{t}(x)=t²*x+\bruch{2t³}{27}+1+\bruch{t³}{3}
[/mm]
Und jetzt bestimme das [mm] t_{0} [/mm] mal so, dass [mm] 0=t_{0}²*\red{0}+\bruch{2t_{0}³}{27}+1+\bruch{t_{0}³}{3}
[/mm]
Für dieses [mm] t_{0} [/mm] machst du dann die komplette Funktionsuntersuchung,
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:57 Do 14.08.2008 | | Autor: | LittleLady |
Das hat mir super weiter geholfen, endlich chek ich das jetzt vielen Dank=)
|
|
|
| |
|
>
> Jetzt bestimme mal die Tangente g(x)=mx+n an W
>
> Also
>
> [mm]m=f_{t}'(t)=3*\left(-\bruch{t}{3}\right)^{2}+2t*\bruch{t}{3}[/mm]
> [mm]=\bruch{t²}{3}+\bruch{2t²}{3}[/mm]
> [mm]=t^{2}[/mm]
>
> Also: g(x)=t²*x+n
>
Oh man... jetzt bin ich völlig verwirrt... entweder hab ich nen denkfehler oder es kann sein, dass sie ein Vorzeichenfheler gemacht haben...bei ihrem Schritt die Tangentensteigung auszurechnen steht in der ersten Reihe ganz hinten nur [mm] \bruch{t}{3}[/mm] [/mm] müsste man nicht noch ein minus vorsetzten?? weil wir müssen doch für x in der ableitung immer minus (Bruch) einsetzten ...was ist nun richtig??
|
|
|
| |
|
Hallo Agnes,
ich habe jetzt die Rechnung von Marius nur überflogen und gesehen, dass er die Wendestelle [mm] $x=-\frac{t}{3}$ [/mm] berechnet hat.
Dann musst du in der Tat für die Steigung an dieser Stelle
[mm] $m=f'_t\left(-\frac{t}{3}\right)=3\cdot{}\left(-\frac{t}{3}\right)^2+2t\cdot{}\left(-\frac{t}{3}\right)=\frac{t^2}{3}-\frac{2t^2}{3}=-\frac{t^2}{3}$ [/mm] berechnen.
Gut aufgepasst!
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Do 14.08.2008 | | Autor: | LittleLady |
Klasse....vieln Dank für die schnelle Antwort...und das noch zu so später stunde.....
Jetzt kann ich beruhigt schlafen gehn xd =)
|
|
|
| |
|
> Für jedes t [mm]\ge[/mm]
das sollte möglicherweise [mm] t\ge [/mm] 0 heissen !
> ist ein Funktion [mm]f_{t}[/mm] gegeben durch
> [mm]f_{t}(x)=[/mm] x³+tx²+1.
> a)Für welchen Wert [mm]t_{0}[/mm] geht die Wendetangente an den Graphen
> der zugehörigen Funktion durch den Ursprung?
> b)Untersuchen Sie den Graphen der Funktion für [mm]t=t_{0}[/mm] auf
> Hoch-,Tief-, und Wendepunkte.
> zu a): Was meinen die mit [mm]t_{o}?[/mm] Muss ich damit ich die
> aufgabe lösen kann als erstes die Wendepunkte bestimmen und
> dann (0/0) (<- wegen ursprung) einsetzten um es zu
> kontrolliern...ob die Bedingung stimmt?
> und...woher weis ich welche Funktion ich benutzen
> muss(weil "zugehöriger Funktion") muss ich die Funktion
> erst ausrechnen und wenn ja wie?
> zu b) was heißt [mm]t=t_{0}?[/mm] Die ganzen Punkte kann ich
> ausrechnen, aber ich weis leider nicht den lösungsansatz!
Hallo LittleLady,
aus deinen Fragestellungen entnehme ich, dass du wohl
mit dem Begriff der "Kurvenschar" noch keine oder kaum
Erfahrung hast.
In der Aufgabenstellung ist ja eigentlich nicht nur eine einzige
Funktion f(x) gegeben, sondern viele (sogar unendlich viele)
Funktionen [mm] f_t(x) [/mm] (für jede Zahl [mm] t\ge [/mm] 0 eine). Alle diese
Funktionen zusammen bilden eine sogenannte Funktionen-
Schar und ihre Graphen eine Kurvenschar.
t ist der "Scharparameter" - zu jedem zulässigen Wert von t
gehört eine der Kurven der Schar. x ist die Funktionsvariable
für alle diese einzelnen Kurven.
Jede einzelne dieser vielen Kurven hat, da es sich um kubische
Funktionen handelt, genau einen Wendepunkt und in diesem
jeweils eine "Wendetangente".
In Aufgabe a soll nun aus den vielen Kurven jene spezielle
herausgepickt werden, deren Wendetangente genau durch
den Nullpunkt O(0/0) geht. Der spezielle Parameterwert
dieser Kurve wird dann (zur Unterscheidung oder Hervorhebung)
mit dem speziellen Symbol [mm] t_0 [/mm] bezeichnet.
In Aufgabe b ist dann eine Kurvendiskussion für diese eine
Kurve der Schar (eben mit dem speziellen Wert [mm] t_0 [/mm] anstelle
des allgemeinen "t") gefragt.
LG
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:02 Do 14.08.2008 | | Autor: | LittleLady |
Danke für die zusätzliche Erklärung....damit ich den lösungs weg auf ander aufgaben anwenden kann =)
|
|
|
|
