Untersuchung von Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:23 So 09.03.2008 | | Autor: | djun |
| Aufgabe | Untersuchen Sie folgenden Reihen auf absolute Konvergenz bzw Divergenz:
a) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!}{n^n}
[/mm]
b) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*(\wurzel{n+1}-\wurzel{n}) [/mm] |
Hallo,
ich habe leider ein enormes Verstaendnisproblem was das Konvergenzverhalten betrifft...
Wie genau gehe ich bei so einem Fall vor?
Angeblich darf ich Majoranten/Minorantenkritium immer verwenden - sollte ich immer mit diesen einen Vergleich anstellen? Und davor einfach ein bißchen algebraisch umformen?
Muss ich stets die Folgen/Reihen mit bekannten (harmonische, alternierende,...) vergleichen um dadurch das Konvergenzverhalten aufzuzeigen?
Meine Fragen sind etwas grundlegend, aber ich weiß leider nicht wie ich da vorgehen soll.
Vielen Dank,
David
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Kannst du bitte nochmal überprüfen, ob du auch wirklich überall die richtigen Variablen und so genommen hast?
Es scheint mir z.B.
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{n!}{n^{n}} [/mm] etwas komisch, denn dann könnte man ja gleich schreiben
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{n!}{n^{n}} [/mm] = [mm] n*\bruch{n!}{n^{n}}.
[/mm]
Trotz allem würde ich für das erste eher Quotientenkriterium, für das zweite Leibniz-Kriterium vorschlagen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 So 09.03.2008 | | Autor: | djun |
Doch das stimmt so, das war sogar ein Testbeispiel. Der obere Summant ist unendlich.
Stimmt meine Vorangehensweise?
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> Doch das stimmt so, das war sogar ein Testbeispiel.
Hallo,
könnte es nicht sein, daß unter dem Summenzeichen "n=1" stehen soll?
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 So 09.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo David!
Deine Reihen machen nur Sinn, wenn die Aufgaben wie folgt lauten:
a) [mm]\summe^{\infty}_{\red{n}=1}\bruch{n!}{n^n}[/mm]
b) [mm]\summe^{\infty}_{\red{n}=1}(-1)^n*\left( \ \wurzel{n+1}-\wurzel{n} \ \right)[/mm]
Dann solltest Du (wie bereits angedeutet) bei der ersten Reihe mit dem Quotientenkriterium oder dem Wurzelkriterium vorgehen.
Bei der 2. Reihe richt es ganz stark nach dem Leibniz-Kriterium, da wir eine alternierende Reihe vorliegen haben.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 So 09.03.2008 | | Autor: | djun |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty}((-1)^n)(n/((n^2-4n+3))) [/mm] |
Hallo Loddar,
du hast natuerlich recht, so lauten die Angaben.
ich habe mich heute noch intensiv damit beschaeftigt, ueberpruefe ich immer mit Quotientenkriterium ob ><1 und sehe dann konv/div bei einem Bruch? falls =1 versagt doch das Kriterium oder? vermute ich oder kommt das tatsaechlich oft in der realitaet vor?
beim abschaetzen habe ich dann enorme probleme, kann ich das tatsaechlich so machen:
[mm] n/(n^2-4n+3) [/mm] > [mm] n/n^2 [/mm] < 1/n und somit habe ich bewiesen dass die reihe divergent ist (vgl harmonische reihe)??
kann die abschaetzung tatsaechlich so grauenhaft und grob sein? das wuerde doch derartige beispiele auf einzeiler reduzieren...
beim obigen beispiel habe ich ja dann eine alternierende reihe, dann muss ich dich mit dem leibnitz die monotonie aufzeigen, wie genau mache ich das denn?
bei a+1<a kommt am ende dann:
[mm] n^2+n>3 [/mm] heraus - was sagt mir das jetzt ueber die monotonie, hab ich das so richtig gemacht?
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Hallo,
mir ist jetzt nicht ganz klar, was Du zu tun gedenkst. Du präsentierst heir ja jetzt eine andere Aufgabe, die ersten beiden sind also inzwischen gelöst?
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}((-1)^n)(n/((n^2-4n+3)))[/mm]
> ich habe mich heute noch intensiv damit beschaeftigt,
> ueberpruefe ich immer mit Quotientenkriterium ob ><1 und
> sehe dann konv/div bei einem Bruch?
Ich weiß jetzt nicht genau, was Du mit "immer" meinst. Man wendet ja nicht immer das Quotientenkriterium an, aber wenn man es anwendet, schaut man ob man <1 oder >1 herausbekommt.
Wenn man =1 herausbekommt, kann man die Konvergenz mit dem Quotientenkriterium nicht entscheiden.
> falls =1 versagt doch
> das Kriterium oder? vermute ich oder kommt das tatsaechlich
> oft in der realitaet vor?
Ich kann hier nur aus der Realität der Übungsaugaben sprechen: ja, so etwas kommt gerne vor. Dann muß man eben ein anderes Kriterium versuchen.
>
> beim abschaetzen habe ich dann enorme probleme, kann ich
> das tatsaechlich so machen:
>
> [mm]n/(n^2-4n+3)[/mm] > [mm]n/n^2[/mm] < 1/n und somit habe ich bewiesen dass
> die reihe divergent ist (vgl harmonische reihe)??
Deine Ungleichheitszeichen sind etwas skurril (bzw. falsch...) gesetzt, aber so würde die Abschätzung durchaus stimmen:
[mm] n/(n^2-4n+3) [/mm] > [mm] n/n^2 [/mm] =1/n
Bewiesen hättest Du damit, daß die Reihe
[mm] \summe_{n=4}^{\infty}n/(n^2-4n+3) [/mm] divergiert.
Du allerdings sollst ja eine andere Reihe betrachten: beachte den Faktor [mm] (-1)^n.
[/mm]
Im übrigen kann die Reihe so, wie sie oben steht, nicht stimmen.
Soll es vielleicht [mm] \summe_{n=4}^{\infty}((-1)^n)(n/((n^2-4n+3))) [/mm] heißen?
Denn für n=1 und n=3 wäre [mm] n/(n^2-4n+3) [/mm] ja gar nicht definiert.
Ich würde hier mit dem Leibnizkriterium arbeiten.
Gruß v. Angela
>
> kann die abschaetzung tatsaechlich so grauenhaft und grob
> sein? das wuerde doch derartige beispiele auf einzeiler
> reduzieren...
>
> beim obigen beispiel habe ich ja dann eine alternierende
> reihe, dann muss ich dich mit dem leibnitz die monotonie
> aufzeigen, wie genau mache ich das denn?
>
> bei a+1<a kommt am ende dann:
> [mm]n^2+n>3[/mm] heraus - was sagt mir das jetzt ueber die
> monotonie, hab ich das so richtig gemacht?
>
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