Untervektorräume-Lineare Hülle < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 So 21.09.2008 | | Autor: | Linda. |
| Aufgabe | "Eine lineare Hülle ist zunächst einmal eine Menge von Vektoren. Mit Hilfe dieser Vektoren können (durch Linearkombinationen) neue Vektoren gebildet werden. Die Menge aller Linearkombinationen (d.h. alle Vektoren, die aus diesen Vektoren gebildet werden können) heißt genau dann lineare Hülle zu einem Vektorraum, wenn alle Vektoren dieses Vektorraum durch die lineare Hülle gebildet werden können. D.h. es darf keinen Vektor im Vektorraum geben, der sich nicht durch eine Linearkombination der Vektoren der linearen Hülle erzeugen lässt. "
(Aus: ![[]](/images/popup.gif) http://uni-wiki.mayastudios.net/index.php/Lineare_H%FClle) |
Hallo zusammen!
Ich habe eine Frage zur Definition der linearen Hülle. Da ich mit der Definition, die mein Mathebuch hergibt, nämlich nicht zurecht kam, habe ich mal recherchiert und bei "UniWiki" eine sehr verständliche Erklärung zu dem Begriff gefunden.
Dennoch bereitet mir eine Formulierung Kopfschmerzen, nämlich die, die aussagt, dass alle Vektoren im Vektorraum durch die lineare Hülle gebildet werden können, es also keinen Vektor im Vektorraum geben darf, der nicht durch eine Linearkombination erzeugt werden kann. Würde die lineare Hülle in diesem Falle nicht schon als Erzeugendensystem gelten? Andernfalls sehe ich keinen Unterschied zwischen linearer Hülle und Erzeugendensystem...
Gruß,
Linda
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> "Eine lineare Hülle ist zunächst einmal eine Menge von
> Vektoren. Mit Hilfe dieser Vektoren können (durch
> Linearkombinationen) neue Vektoren gebildet werden. Die
> Menge aller Linearkombinationen (d.h. alle Vektoren, die
> aus diesen Vektoren gebildet werden können) heißt genau
> dann lineare Hülle zu einem Vektorraum, wenn alle Vektoren
> dieses Vektorraums
Aber eben: mit "diesem Vektorraum" ist nur die von der betreffenden Menge von Vektoren erzeugte lineare Hülle gemeint. Die lineare Hülle einer Menge von Vektoren ist immer ein Vektorraum: aber eventuell nur ein Teilvektorraum des gesamten Vektorraumes (effektiv der kleinste Teilraum, der diese Menge von Vektoren enthält), der Dir gerade so vorschwebt...
> durch die lineare Hülle gebildet werden
> können. D.h. es darf keinen Vektor im Vektorraum
> geben,
genauer: in der linearen Hülle dieser Menge von Vektoren
> der sich nicht durch eine Linearkombination der Vektoren der
> linearen Hülle erzeugen lässt. "
Dies ist eine problematische Erklärung des Begriffs "lineare Hülle", die den Unterschied zwischen dem gesamten Vektorraum und der linearen Hülle (ev. nur einem Teilvektorraum) vernebelt.
> (Aus:
> [mm]http://uni-wiki.mayastudios.net/index.php/Lineare_H%FClle[/mm]
> )
> Hallo zusammen!
>
> Ich habe eine Frage zur Definition der linearen Hülle. Da
> ich mit der Definition, die mein Mathebuch hergibt, nämlich
> nicht zurecht kam, habe ich mal recherchiert und bei
> "UniWiki" eine sehr verständliche Erklärung zu dem Begriff
> gefunden.
Es scheint, dass die Erklärung vielmehr missverständlich formuliert war.
> Dennoch bereitet mir eine Formulierung Kopfschmerzen,
> nämlich die, die aussagt, dass alle Vektoren im Vektorraum
> durch die lineare Hülle gebildet werden können, es also
> keinen Vektor im Vektorraum geben darf, der nicht durch
> eine Linearkombination erzeugt werden kann. Würde die
> lineare Hülle in diesem Falle nicht schon als
> Erzeugendensystem gelten? Andernfalls sehe ich keinen
> Unterschied zwischen linearer Hülle und
> Erzeugendensystem...
Die Frage ist, was denn vom "Erzeugendensystem" erzeugt werden soll. Jede Menge (besser: Familie) von Vektoren ist Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle. Aber diese lineare Hülle braucht nicht notwendigerweise der ganze Vektorraum sein: es kann sich auch nur um einen Teilvektorraum handeln.
Ist die lineare Hülle einer Familie von Vektoren der ganze Vektorraum, dann ist sie in der Tat auch ein Erzeugendensystem (des ganzen Vektorraums).
Die lineare Hülle $[M]$ einer Menge $M$ von Vektoren eines Vektorraumes $V$ ist der [mm] $\subseteq$-kleinste [/mm] Teilvektorraum von $V$, der diese Menge von Vektoren enthält. Er kann im wesentlichen auf zwei Arten angeschrieben werden:
1. Möglichkeit: als der Durchschnitt aller Teilräume des Gesamtvektorraumes, die $M$ enthalten (dann ist zu zeigen, dass dieser Durchschnitt $M$ enthält und ein Teilvektorraum ist):
[mm][M] = \bigcap\left\{V'\,\mid\, V'\text{ ist Teilvektorraum von } V \text{ und } M\subseteq V'\right\}[/mm]
2. Möglichkeit: als Menge aller Linearkombinationen von Vektoren aus $M$. Auch in diesem Falle ist zu zeigen, dass diese Menge $M$ enthält und ein Teilvektorraum ist (und zwar, wie gesagt, der kleinste Teilvektorraum mit dieser Eigenschaft):
[mm][M] = \left\{\lambda_1 v_1+\cdots \lambda_n v_n\, \mid \, v_{1,\ldots, n}\in M \text{ und } \lambda_{1,\ldots,n}\in \IR \text{ beliebig}\right\}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:50 So 21.09.2008 | | Autor: | Linda. |
Ohje... die Erklärung hat wohl wirklich mehr Verwirrung als Klarheit geschaffen ;).
Also, habe ich den Begriff der linearen Hülle richtig verstanden, wenn ich sage:
Voraussetzung für die Bildung einer linearen Hülle ist die Menge M von Vektoren eines Vektorraums V. Durch diese Vektoren können durch Linearkombination neue Vektoren gebildet werden. Die Menge aller Vektoren, die aus den Vektoren aus M gebildet werden können heißen lineare Hülle (= ein Untervektorraum U [mm] \subseteq [/mm] V) ?
Bilden aber dann nur die neu entstandenen Vektoren die lineare Hülle oder auch die Vektoren aus M? Wahrscheinlich doch alle Vektoren aus M und die durch Linearkombination entstandenen, oder? Da M ja ein Untervektorraum von V ist, wäre dann wahrscheinlich auch M und seine durch Linearkombination entstandenen Vektoren Untervektorraum von V...?
Würde die lineare Hülle als Erzeugendensystem dann bedeuten, dass man durch Linearkombination der Vektoren aus M jeden Vektor aus V bestimmen kann?
Tut mir Leid, aber mir fällt es wirklich schwer die Definition nachzuvollziehen, kann da keinen klaren Gedanken fassen. Ich hoffe, du kannst trotzdem einigermaßen verstehen, was ich meine ;)
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> Ohje... die Erklärung hat wohl wirklich mehr Verwirrung als
> Klarheit geschaffen ;).
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> Also, habe ich den Begriff der linearen Hülle richtig
> verstanden, wenn ich sage:
>
> Voraussetzung für die Bildung einer linearen Hülle ist die
> Menge M von Vektoren eines Vektorraums V. Durch diese
> Vektoren können durch Linearkombination neue Vektoren
> gebildet werden. Die Menge aller Vektoren, die aus den
> Vektoren aus M gebildet werden können heißen lineare Hülle
> (= ein Untervektorraum U [mm]\subseteq[/mm] V) ?
Richtig. Man spricht also von der linearen Hülle von $M$, oft $[M]$ geschrieben.
> Bilden aber dann nur die neu entstandenen Vektoren die
> lineare Hülle oder auch die Vektoren aus M?
Die Vektoren aus $M$ sind natürlich immer auch in der linearen Hülle enthalten. Es gilt also immer [mm] $M\subseteq [/mm] [M]$. Denn jeder Vektor [mm] $v\in [/mm] M$ kann als triviale Linearkombination [mm] $v=1\cdot [/mm] v$ aufgefasst werden und ist somit stets auch ein Element der Menge aller Linearkombinationen
[mm][M] = \left\{\lambda_1 v_1+\cdots \lambda_n v_n\, \mid \, v_{1,\ldots, n}\in M \text{ und } \lambda_{1,\ldots,n}\in \IR \text{ beliebig}\right\}[/mm]
von Vektoren aus $M$, also [mm] $v\in [/mm] [M]$.
> Wahrscheinlich
> doch alle Vektoren aus M und die durch Linearkombination
> entstandenen, oder? Da M ja ein Untervektorraum von V ist,
> wäre dann wahrscheinlich auch M
Nein, $M$ darf natürlich eine beliebige Menge von Vektoren aus dem Gesamtvektorraum $V$ sein. Eventuell ist $M$ sogar ein Erzeugendensystem von $V$, dann gilt $[M]=V$.
> und seine durch
> Linearkombination entstandenen Vektoren Untervektorraum von
> V...?
Ja, dies ist richtig, für alle [mm] $M\subseteq [/mm] V$ ist die lineare Hülle $[M]$ ein Teilvektorraum von $V$ (eventuell sogar der ganze Vektorraum $V$). Es gilt also stets folgende Sandwich-Beziehung: [mm] $M\subseteq [M]\subseteq [/mm] V$. Im Falle [mm] $[M]\subsetneq [/mm] V$ ist $M$ kein Erzeugendensystem von $V$ (aber $M$ ist natürlich ein Erzeugendensystem von $[M]$).
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> Würde die lineare Hülle als Erzeugendensystem dann
> bedeuten, dass man durch Linearkombination der Vektoren aus
> M jeden Vektor aus V bestimmen kann?
Diese Formulierung ist etwas konfus. Man wird von einer beliebigen Menge $M$ sagen können, sie sei ein Erzeugendensystem ihrer linearen Hülle (dieses Bilden aller Linearkombionationen von $M$ ist ja so etwas wie ein Prozess des "Erzeugens" eines Teilvektorraumes von $V$, der jedenfalls auch $M$ enthält).
Falls der so erzeugte Teilvektorraum $[M]$ gerade ganz $V$ sein sollte (grösser kann er nicht werden, weil $V$ ja bezüglich der Bildung von Linearkombinationen seiner Elemente abgeschlossen ist), dann nennt man wohl $M$ kurz ein Erzeugendensystem (von $V$, um genau zu sein).
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> Tut mir Leid, aber mir fällt es wirklich schwer die
> Definition nachzuvollziehen, kann da keinen klaren Gedanken
> fassen. Ich hoffe, du kannst trotzdem einigermaßen
> verstehen, was ich meine ;)
Gehe doch einmal von einem etwas konkreteren Beispiel aus: Sei [mm] $V=\IR^3$:
[/mm]
Ist [mm] $M=\{v\}\subseteq \IR^3$, [/mm] wobei [mm] $v\neq [/mm] 0$, dann ist $[M]$ ein 1-dimensionaler Vektorraum: "die Gerade mit Richtungsvektor $v$", denn alle Linearkombionationen dieses einen Vektors $v$ liegen auf derselben Geraden. Diese Gerade ist ein Teilvektorraum von [mm] $\IR^3$, [/mm] aber natürlich entschieden nicht der Gesamtraum [mm] $\IR^3$. [/mm] Jedoch kann man sich durchaus auf den Standpunkt stellen, dass $M$ ein Erzeugendensystem von $[M]$ sei (also des von $v$ aufgespannten 1-dim Teilvektorraumes von [mm] $\IR^3$):
[/mm]
Ist [mm] $M=\{v_1,v_2\}$ [/mm] und sind [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] linear unabhängig, so ist $[M]$ die von den Vektoren [mm] $v_1$ [/mm] und [mm] $v_2$ [/mm] aufgespannte Ebene (ein 2-dim Teilvektorraum von [mm] $\IR^3$).
[/mm]
Ist [mm] $M=\{v_1,v_2,v_3\}$ [/mm] und sind [mm] $v_1, v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] linear unabhängig, so ist [mm] $[M]=\IR^3$ [/mm] und somit ist $M$ ein Erzeugendensystem des Gesamtraumes [mm] $\IR^3$.
[/mm]
Wenn man sagt, die Menge $M$ von Vektoren aus $V$ sei ein Erzeugendensystem, dann will man damit in der Regel schon sagen, dass $[M]=V$ gelte. Dass $M$ ein Erzeugendensystem von $[M]$ (aber nicht unbedingt von ganz $V$) sei, gilt immer. Denn dieses "Erzeugen" von $[M]$ mittels Bildung von Linearkombinationen von $M$ ist gerade das Erzeugen eines Teilvektorraumes, eben von $[M]$, dem kleinsten Teilvektorraum von $V$ der $M$ enthält.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 So 21.09.2008 | | Autor: | Linda. |
Gut, also was genau die lineare Hülle ist, habe ich jetzt verstanden! Beim Erzeugendensystem haperts noch etwas. Werde mir das morgen noch mal ansehen.
Aber eine Frage hätte ich noch bezogen auf das Beispiel:
"Ist $ [mm] M=\{v_1,v_2,v_3\} [/mm] $ und sind $ [mm] v_1, v_2 [/mm] $ und $ [mm] v_3 [/mm] $ linear unabhängig, so ist $ [mm] [M]=\IR^3 [/mm] $ und somit ist M ein Erzeugendensystem des Gesamtraumes $ [mm] \IR^3 [/mm] $."
Ist M in diesem Falle auch die Basis des Gesamtraumes? Denn eine Basis ist laut Definition ja als unabhängiges Erzeugendensystem gekennzeichnet.
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> "Ist [mm]M=\{v_1,v_2,v_3\}[/mm] und sind [mm]v_1, v_2[/mm] und [mm]v_3[/mm] linear
> unabhängig, so ist [mm][M]=\IR^3[/mm] und somit ist M ein
> Erzeugendensystem des Gesamtraumes [mm]\IR^3 [/mm]."
>
> Ist M in diesem Falle auch die Basis des Gesamtraumes?
Hallo,
es ist eine (!) Basis des [mm] \IR^3. [/mm] Eine. Nicht: "die".
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:13 So 21.09.2008 | | Autor: | Linda. |
Ach so, in Ordnung!
Vielen Dank für eure Hilfe, besonders an Somebody! So ist mir doch einiges klarer geworden, hast es super erklärt! :)
Viele Grüße,
Linda
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