Untervektorräume-direkte Summe < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Fr 21.05.2010 | | Autor: | Nerix |
| Aufgabe | Geben Sie jeweils geeignete Untervektorräume U,U* von [mm] R^4 [/mm] an mit:
a) U [mm] \oplus [/mm] U* = [mm] R^4
[/mm]
b) U + U* = [mm] R^4
[/mm]
c) U [mm] \oplus [/mm] U* echt enhalten in [mm] R^4
[/mm]
d) U + U* echt enthalten in [mm] R^4 [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand helfen bei der Aufgabe??Es happert an 2 Stellen:
1. Ich weiß nicht wirklich was ein Untervektorraum ist!(d.h was ist der Unterschied zwischen einem UVR und einem VR??)
2. Ich weiß nicht was der Unterschied zwischen einer direkten Summe und einer Summe sein soll?!
Danke
Nerix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:02 Fr 21.05.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
ja,wir haben schon ein skript,aber da sind nur die Definitionen aufgeführt und ich versteh diese nicht!!!Deshalb kann mir mal wer evtl einen untervektorraum im gegensatz zu einem VR an einem Bsp zeigen?
Nerix
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Hallo,
> hallo,
> ja,wir haben schon ein skript,aber da sind nur die
> Definitionen aufgeführt und ich versteh diese
> nicht!!!
Was verstehst du an den Definitionen nicht?
> Deshalb kann mir mal wer evtl einen untervektorraum
> im gegensatz zu einem VR an einem Bsp zeigen?
> Nerix
Beispiel:
Vektorraum über $\ [mm] \IR [/mm] $ :
1) $\ [mm] \IR^2$
[/mm]
2) Die Menge aller Funktionen $\ f: [mm] \IR \to \IR \$ [/mm] bildet den Vektorraum $\ \ [mm] F(\IR, \IR)$ [/mm]
Untervektorraum:
1) $\ [mm] \IR \times \{0\} [/mm] $
2) Die Menge aller reellen Polynomfunktionen $\ [mm] P(\IR) [/mm] $ ist ein UVR von $\ \ [mm] F(\IR, \IR)$ [/mm]
In den Links aus meiner ersten Antwort finden sich übrigens zu haufe Beispiele.
ChopSuey
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> Geben Sie jeweils geeignete Untervektorräume U,U* von [mm]R^4[/mm]
> an mit:
> a) U [mm]\oplus[/mm] U* = [mm]R^4[/mm]
> b) U + U* = [mm]R^4[/mm]
> c) U [mm]\oplus[/mm] U* echt enhalten in [mm]R^4[/mm]
> d) U + U* echt enthalten in [mm]R^4[/mm]
> Hallo,
>
> kann mir jemand helfen bei der Aufgabe??Es happert an 2
> Stellen:
> 1. Ich weiß nicht wirklich was ein Untervektorraum
> ist!(d.h was ist der Unterschied zwischen einem UVR und
> einem VR??)
Hallo,
ich stimme CopSuey zu: die Definitionen sind das A und O, ohne die genaue Kenntnis läuft überhaupt nichts.
Erklärungen im Plauderton können sie keinesfalls ersetzen - manchmal vielleicht ein wenig ergänzen.
Ein Unterraum ist auch ein Vektorraum. Alle Axiome des Vektorraumes gelten auch im Unterraum.
Aber das "Unter" deutet an, daß es auch ein "Ober" gibt:
ein Untervektorraum ist ein Vektorraum, der eine Teilmenge eines gegebenen Vektorraumes ist und in welchem dieselben Verknüpfungen definiert sind wie im (Ober-)Vektorraum.
Bei der Entscheidung, ob eine Teilmenge eines VRes ein Untervektorraum ist, helfen die Unterraumkriterien.
> 2. Ich weiß nicht was der Unterschied zwischen einer
> direkten Summe und einer Summe sein soll?!
Die Definitionen geben Dir Auskunft.
Wenn Du zwei Untervektorräume U und W hast, sind in U+W alle Vektoren, die Du als Summe eines Vektors aus U und eines aus V schreiben kannst.
Wenn ein Raum V die direkte Summe von UVRen U und W ist, dann ist V=U+W und zusätzlich ist der Nullvektor das einzige Element, welches in U und V gleichzeitig liegt.
Das, was ich hier gesagt habe, solltest Du jetzt mal anhand der Dir vorliegenden Definitionen prüfen.
Bzgl. der direkten Summe lohnt im Hinblick auf die zu bearbeitende Aufgabe eventuell auch ein Blick auf die Sätzchen die auf die Def. folgen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:38 Mo 24.05.2010 | | Autor: | Nerix |
hallo,
habe mich jetzt mit dem Thema sehr lange beschäftigt und bin schon mal zu der Erkentnis gekommen,dass ich bei Teilaufgabe a) und b) wobei die Summe der UVR = [mm] R^4 [/mm] sein soll folgendermaßen aussehn müssen:
Variante 1:
UVR1: Ein Element(1x4) tupel und UVR2: drei Elemente (1x4)tupel, so dass eine Basis bzw EZS entsteht von [mm] R^4. [/mm] (jeweils lin. unabhängig)
Variante 2:
UVR1:Zwei Element(1x4) tupel und UVR2: zwei Elemente (1x4)tupel, so dass eine Basis bzw EZS entsteht von [mm] R^4. [/mm] (jeweils lin. unabhängig)
Richtig soweit???
--> Folgerung für c) und d):
Weniger Vektoren,dass keine Basis aus lin.unabhängigen Vektoren mehr entsteht!
Aber des mit dem Unterschied direkte Summe/keine direkte Summe versteh ich immer no ned!!Wie teste ich den Unterschied???
Anmerkung: Ich kann ja die Standartbasis Vektoren in [mm] R^4 [/mm] benutzten,oder??(Frage is nur als direkt oder nicht!)
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> hallo,
> habe mich jetzt mit dem Thema sehr lange beschäftigt und
> bin schon mal zu der Erkentnis gekommen,dass ich bei
> Teilaufgabe a) und b) wobei die Summe der UVR = [mm]R^4[/mm] sein
> soll folgendermaßen aussehn müssen:
> Variante 1:
> UVR1: Ein Element(1x4) tupel und UVR2: drei Elemente
> (1x4)tupel, so dass eine Basis bzw EZS entsteht von [mm]R^4.[/mm]
> (jeweils lin. unabhängig)
> Variante 2:
> UVR1:Zwei Element(1x4) tupel und UVR2: zwei Elemente
> (1x4)tupel, so dass eine Basis bzw EZS entsteht von [mm]R^4.[/mm]
> (jeweils lin. unabhängig)
>
> Richtig soweit???
Hallo,
beide Variationen sind direkte Summen, die den [mm] \IR^4 [/mm] ergeben.
Der [mm] \IR^4 [/mm] ist offensichtlich die Summe dieser Räume,
und die Summen sind direkt, weil im Schnitt der beiden Unterräume nur der Nullvektor liegt.
Ein Beispiel für Unterräume U,W mit [mm] U+W=\IR^4, [/mm] wobei die Summe nicht direkt ist, wäre z.B.
[mm] U:=<\vektor{1\\0\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0\\0}, \vektor{0\\0\\1\\0}>, W:=<\vektor{1\\1\\1\\2},\vektor{0\\0\\0\\1}>.
[/mm]
Überlege Dir, weshalb.
> --> Folgerung für c) und d):
> Weniger
unabhängige
>Vektoren,dass keine Basis aus lin.unabhängigen
> Vektoren mehr entsteht!
>
>
> Aber des mit dem Unterschied direkte Summe/keine direkte
> Summe versteh ich immer no ned!!Wie teste ich den
> Unterschied???
Indem Du die Def. bzw. äquivalente Aussagen kennst und prüfst, ob sie zutreffen.
Vielleicht postest Du mal die Definitionen mit, denn sie sind der Prüfstand, auf welchen die Beispiele müssen.
Ich hoffe, Du verstehst es an meinem Beispiel oben - schau doch gleich mal, ob es zu den Dir vorliegenden Definitionen paßt.
>
>
> Anmerkung: Ich kann ja die Standartbasis Vektoren in [mm]R^4[/mm]
> benutzten,oder??
Standard schreibt man mit d am Ende.
Ja, Du kannst die Standardbasis nehmen, aber auch jede andere.
Gruß v. Angela
(Frage is nur als direkt oder nicht!)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:22 Di 25.05.2010 | | Autor: | Nerix |
Hallo,
sorry erst mal für den Tippfehler in Standardbasis^^
also bei deinem Beispiel sind von den 5 Vektoren 4 lin. unabhängig und [mm] \pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 } [/mm] ist lin abhängig. also ist mir völlig klar,warum sie den [mm] R^4 [/mm] aufspannen.
Wg: der Definition:
Also zeichnen sich direkte Summen dadurch aus, dass sie bei einer Schnittmenge NUR den Nullektor haben,habe ich das richtig verstanden? Wie bestimmt man die Schnittmenge von Vektoren??(mit Gauß?)
Wir haben in unsere Def. nämlich direkte Summen über die Summe der [mm] Eig(A,\lambda1) [/mm] bis [mm] Eig(A,\lambda [/mm] s)hergeleitet und da wir hier aber keine solche Matrix A geschweige denn Eig davon haben,tu ich mich recht schwer.
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Di 25.05.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> sorry erst mal für den Tippfehler in Standardbasis^^
> also bei deinem Beispiel sind von den 5 Vektoren 4 lin.
> unabhängig und [mm]\pmat{ 1 \\ 1 \\ 1 \\ 2 }[/mm] ist lin
> abhängig. also ist mir völlig klar,warum sie den [mm]R^4[/mm]
> aufspannen.
>
> Wg: der Definition:
> Also zeichnen sich direkte Summen dadurch aus, dass sie
> bei einer Schnittmenge NUR den Nullektor haben,habe ich da
> richtig verstanden?
Ja. Ist V ein Vektorraum und sind U und U* Untervektorräume, so bedeutet
U $ [mm] \oplus [/mm] $ U* = $ V $
das folgende:
V = { u+u*: u [mm] \in [/mm] U, u* [mm] \in [/mm] U* } und U [mm] \cap [/mm] U* = {0}
FRED
> Wir haben in unsere Def. nämlich direkte Summen über die
> Summe der [mm]Eig(A,\lambda1)[/mm] bis [mm]Eig(A,\lambda[/mm] s)hergeleitet
> und da wir hier aber keine solche Matrix A geschweige denn
> Eig davon haben,tu ich mich recht schwer.
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:32 Di 25.05.2010 | | Autor: | Nerix |
hey,
super danke.
Die Schnittmenge rechne ich einfach mit einem Gauß aus,und wenn da nur die triviale Lsg raus kommt,dann is es direkt,oda?
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> Die Schnittmenge rechne ich einfach mit einem Gauß aus,und
> wenn da nur die triviale Lsg raus kommt,dann is es
> direkt,oda?
Hallo,
ja.
Gruß v. Angela
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Vektorraum