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| Aufgabe | Bestimmen Sie die von { A [mm] ^{k} [/mm] x : k=0,1,2,...} erzeugten Untervektorräume, wobei A [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] und x [mm] \in \IR^{n} [/mm] wie folgt geg. sind:
A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 } [/mm] und x = [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] bzw. x = [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 3} [/mm] |
Meine Frage ist ganz einfach: Wie geht das ?
Grüße
Phys1kAuer
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> Bestimmen Sie die von [mm] {A^{k}x : k=0,1,2,...} [/mm] erzeugten Untervektorräume, wobeiA [mm] \in \IR^{n \times n} [/mm] und x [mm] \in \IR^{n}
[/mm]
> wie folgt geg. sind:
>
>
> A = [mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 } [/mm] und x =
> [mm] \pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 } [/mm] bzw. x = [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 3}
[/mm]
> Meine
> Frage ist ganz einfach: Wie geht das ?
Hallo,
stellen wir eine andere Frage voran: was soll man tun?
Man soll herausfinden, welcher Raum von [mm] \{A^0x, A^1x, A^2x, A^3x,...\} [/mm] erzeugt wird für [mm] x=\pmat{ 1 \\ 0 \\ 1 }. [/mm]
Danach das gleiche mit x = [mm] \pmat{1 \\ 0 \\ 3}.
[/mm]
Wie geht das?
Nun berechnest Du die A^kx.
[mm] A^{0}x=x, A^{k+1}x=A(A^kx).
[/mm]
Wenn Du Glück hast, gibt es Regelmäßigkeiten, Wiederholungen.
Und dann schaust Du den Span/das (lineare) Erzeugnis, die lineare Hülle an.
Gruß v. Angela
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hallo,
danke für deine antwort. bevor ich weitere frage stelle, unter welchem stichwort muss ich nachgucken um etwas zu diesem thema zu finden?
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> danke für deine antwort. bevor ich weitere frage stelle,
> unter welchem stichwort muss ich nachgucken um etwas zu
> diesem thema zu finden?
Hallo,
meine Antwort von vorhin ist jetzt besser zu lesen, vielleicht klärt sich manches von selbst.
Ansonsten hängt es natürlich von Deinem Problem ab, wo Du nachgucken mußt.
Ist es Rechentechnisches, das Multiplizieren von Matrizen?
Oder weißt Du nicht, was der von einer Menge Vektoren erzeugte Raum ist? Das ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren. Nachzulesen unter Erzeugnis, erzeugter Untervektorraum, lineare Hülle, Span.
Zur Aufgabe: Mach Dir klar, daß die A^kx jeweils Vektoren sind.
Der Vektor x wird mit A multipliziert, ergibt den vektor Ax
Dieser wird von vorn wieder mit A multiliziert, was den nächsten Vektor ergibt A(Ax)=A^2x usw.
Und den von diesen Vektoren erzeugten Unterraum soll man anschauen.
Ich würde vorschlagen, daß Du zunächst einmal beginnst, diese Vektoren zu berechnen, dann sehen wir an diesem konkreten Beispiel weiter.
Gruß v. Angela
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Danke für deine Antwort!
ok, ich habe jetzt mal was berechnet:
(x, Ax, [mm] A^{2} x)=\pmat{ 1 & 2 & 6 \\ 0 & 2 & 8 \\ 1 & 2 & 6 }
[/mm]
[mm] A^{2} [/mm] x=4 A x - [mm] 2A^{0}x
[/mm]
=4 A x - 2x
=(4 A -2 E) x
E:=Einheitsmatrix
Die lineare Hülle von [mm] A^{2} [/mm] x ist lin (U)={ [mm] \alpha [/mm] A x - [mm] \beta [/mm] x : [mm] \alpha ,\beta \in \IR [/mm] }
Und wenn ich dich richtig verstanden habe soll ich jetzt eine Bildungsvorschrift für [mm] A^{k} [/mm] angeben?!?!
Beste Grüße
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> Danke für deine Antwort!
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> ok, ich habe jetzt mal was berechnet:
> (x, Ax, [mm]A^{2} x)=\pmat{ 1 & 2 & 6 \\ 0 & 2 & 8 \\ 1 & 2 & 6 }[/mm]
Hallo,
so wäre das ja gedacht:
[mm] \{\vektor{1 \\ 0 \\1}, \vektor{2 \\ 2 \\2}, \vektor{6 \\ 8 \\6}, ...\},
[/mm]
denn Du müßtest ja eigentlich bis zum St. Nimmerleinstag weitermultiplizieren.
> $ [mm] A^{2} [/mm] $ x=4 A x - $ [mm] 2A^{0}x [/mm] $
=4 A x - 2x
Und hier siehst Du nun etwas wichtiges:
Der Vektor Ax hatte noch "Neuigkeiten" zu bieten insofern, als daß er von x linear unabhängig ist.
Bereits A^2x ist eine Linearkombination von x und Ax, und Du kannst Dir überlegen, daß Du beim Weitermultiplizieren nichts anderes mehr als Linearkombinationen von x und Ax erhalten kannst. (Das meinte ich mit Gesetzmäßigkeiten.)
Also gibt es [mm] a_i b_i, [/mm] so daß die zu bildende Menge so aussieht:
[mm] \{x,Ax, a_1x+b_1Ax, a_2x+b_2Ax,a_3x+b_3Ax,...\}
[/mm]
Gesucht ist nun der von diesen Vektoren aufgespannte Raum, also die Menge aller Linearkombinationen, die man aus den Vektoren in der Menge oben bilden kann.
Du kannst dir nun überlegen, daß man jeden Vektor, den man als Linearkombination der obigen Vektoren schreiben kann, ebensogut als Linearkombination von x und Ax schreiben kann.
Deshalb ist der von [mm] \{x,Ax, a_1x+b_1Ax, a_2x+b_2Ax,a_3x+b_3Ax,...\}
[/mm]
erzeugt Raum gleich dem von [mm] \{x,Ax\} [/mm] erzeugten Raum. Man schreibt oft
<x,Ax, a_1x+b_1Ax, [mm] a_2x+b_2Ax,a_3x+b_3Ax,...>==\{\lambda x+ \mu Ax: \lambda, \mu \in \IR \}.
[/mm]
Ich hoffe, daß Du nach diesen Anregungen weitermachen kannst mir dem zweiten Vektor.
Ich habe es nicht durchgerechnet, aber sicherheitshalber ein Tip:
wenn Du drei linear unabhängige Vektoren errechnet hast, kannst du aufhören: die spannen den [mm] \IR^3 [/mm] auf, und an dem von der Menge erzeugten Raum kann sich nichts mehr ändern.
Ich schicke demnächst meinen Rechner in Wochenendruhe, also nicht wundern, wenn ich mich nicht mehr melde.
Gruß v. Angela
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okay, dann war das was ich gemacht hatte ja schon gar nicht so schlecht. ;)
wenn ich die Matrix mit dem 2.Vektor multipliziere erhalte ich:
{x, Ax, [mm] A^{2}x}= \pmat{ 1 & 2 & 8 \\ 0 & 4 & 16 \\ 3 & 6 & 16 }
[/mm]
Wenn ich mir jetzt [mm] A^{2}x [/mm] angucke dann kann ich diesen nicht als Linearkombination von Ax bzw x darstellen. Wie sieht dann meine Lineare Hülle aus? Gibts überhaupt eine?
Besten Dank!
Phys1kauer
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> okay, dann war das was ich gemacht hatte ja schon gar nicht
> so schlecht. ;)
Nein, es war überhaupt nicht schlecht.
>
> wenn ich die Matrix mit dem 2.Vektor multipliziere erhalte
> ich:
> {x, Ax, [mm]A^{2}x}= \pmat{ 1 & 2 & 8 \\ 0 & 4 & 16 \\ 3 & 6 & 16 }[/mm]
>
> Wenn ich mir jetzt [mm]A^{2}x[/mm] angucke dann kann ich diesen
> nicht als Linearkombination von Ax bzw x darstellen. Wie
> sieht dann meine Lineare Hülle aus? Gibts überhaupt eine?
Eine lineare Hülle gibt's immer, denn sobald Du Vektoren hast, kannst du Linearkombinationen bilden.
Wenn Du nun drei linear unabhängige Vektoren [mm] \in \IR^3 [/mm] hast, wird alles, was Du jetzt noch zufügst, von diesen abhängig sein, denn die drei sind ja eine Basis des [mm] \IR^3. [/mm] Welchen Raum spannen sie also auf? Welchen Raum erhält man mit allen Linearkombinationen dieser drei Vektoren?
Gruß v. Angela
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danke für die schnelle hilfe!
Also die von mir angegebenen Vektoren spannen den [mm] /IR^{3} [/mm] auf. (da bin ich mir sicher ;) ) und jede linearkombination einen (n-1)-dimensionalen Raum?!? (Hierbei bin ich mir nicht mehr so sicher)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:59 Sa 13.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo zusammen,
angela hatte ja ihr WE angekuendigt, also versuche ich mal zu helfen:
> Also die von mir angegebenen Vektoren spannen den [mm]/IR^{3}[/mm]
> auf. (da bin ich mir sicher ;) )
sehr schoen - damit hast du deine Antwort auf die Aufgabe - der [mm] $\IR^3$ [/mm] wird also aufgespannt.
> und jede linearkombination
> einen (n-1)-dimensionalen Raum?!? (Hierbei bin ich mir
> nicht mehr so sicher)
das verstehe ich nicht. Linearkombinationen von welchen Vektoren?
wenn du deine drei errechneten Vektoren meinst, dann ist die Menge der Linearkombinationen dasselbe wie der von ihnen aufgespannte Raum.
(laut definition geschieht das "aufspannen" als linearkombination)
wenn du etwas anderes meinst, musst du das nochmal anders formulieren..
:-?
viele Gruesse
DaMenge
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