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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:44 Mi 31.01.2007 | | Autor: | xsara |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen Untervektorräume des jeweiligen [mm] \IR-Vektorraums[/mm] [mm]V[/mm] sind, und beweisen Sie ihre Aussage:
(i) [mm]V=Abb(\IR,\IR), U:={f \in V | f(0)=1}.[/mm]
(ii) [mm]V=Abb(\IR,\IR), U:={f \in V | f}[/mm] beschränkt.
(iii) [mm]V=Abb(\IR,\IR), U:={f \in V | \ |f(x)| \le 10 [/mm] für alle [mm]x \in \IR}[/mm].
(iv) [mm]V=\mathcal{C}^1([0,1]), U:={f \in V | f(0)=f(1), f'(\bruch{1}{2})=0, \integral_{0}^{1}{f(x) dx} = 0}.[/mm]
(v) [mm]V=\mathcal{C}([0,1]), U:={f \in V | \integral_{0}^{1}{f(x) dx}= \pi}.[/mm] |
Hallo!
Mir ist klar, das ich bei allen fünf Teilaufgaben die Unterraumaxiome nachrechnen muss, also
(1) [mm] u,w \in U \Rightarrow u+x \in U [/mm]
(2) [mm] v \in U, \lambda \in K \Rightarrow \lambda v \in U [/mm]
für alle U [mm] \not= \emptyset, [/mm] U [mm] \subset [/mm] V, V Vektorraum.
Bei (i) müsste man doch dann eine Fallunterscheidung vornehmen. Einerseits hätte man die konstante Funktion [mm]f(x)=1[/mm] und andererseits irgendeine Funktion mit [mm]f(0)=1[/mm], oder?
Mir ist jetzt nicht klar, wie ich den Beweis führen soll.
Heißt das für (1) [mm]f(u), f(w) \in U \Rightarrow f(u+w) \in U [/mm] oder [mm]u:=f(x_1) und w:=f(x_2) \Rightarrow u+w \in U[/mm]?
Ebenso ist mir für (ii) und (iii) unklar, ob der Betrag mit [mm] \lambda [/mm] multipliziert wird oder nicht.
[mm] \mathcal{C}^1 [/mm] bedeutet doch, dass die unbekannte Funktion einmal differenzierbar ist, also die zweite Ableitung gleich [mm]0[/mm] ist, oder?
Vielen Dank für eure Mühe!
xsara
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Hallo xsara,
> Entscheiden Sie, welche der folgenden Mengen
> Untervektorräume des jeweiligen [mm]\IR[/mm]-Vektorraums [mm]V[/mm] sind, und beweisen Sie ihre Aussage:
(i) [mm]V=Abb(\IR,\IR), U:={f \in V | f(0)=1}.[/mm]
> (ii) [mm]V=Abb(\IR,\IR), U:={f \in V | f \text{ beschränkt}}.[/mm]
> (iii) [mm]V=Abb(\IR,\IR), U:={f \in V | \ |f(x)| \le 10 [/mm] für alle [mm]x \in \IR[/mm].
> [mm] (iv) [mm]V=\mathcal{C}^1([0,1]),[/mm] U:={f [mm]\in[/mm] V | f(0)=f(1), [mm]f'(\bruch{1}{2})=0, \integral_{0}^{1}{f(x) dx}[/mm] = [mm]0}.[/mm][/mm]
> [mm] (v) [mm]V=\mathcal{C}([0,1]),[/mm] U:={f [mm]\in[/mm] V | [mm]\integral_{0}^{1}{f(x) dx}= \pi}.[/mm][/mm]
> Hallo!
> [mm]Mir ist klar, das ich bei allen fünf Teilaufgaben die Unterraumaxiome nachrechnen muss, also[/mm]
> [mm] (1) [mm]u,w \in U \Rightarrow u+x \in U[/mm]
> [mm] (2) [mm]v \in U, \lambda \in K \Rightarrow \lambda v \in U[/mm]
> [mm] für alle U [mm]\not= \emptyset,[/mm] U [mm]\subset[/mm] V, V Vektorraum.[/mm]
> [mm]Bei (i) müsste man doch dann eine Fallunterscheidung vornehmen. Einerseits hätte man die konstante Funktion [mm]f(x)=1[/mm] und andererseits irgendeine Funktion mit [mm]f(0)=1[/mm], oder?[/mm]
> [mm] [/mm]
> [mm]Mir ist jetzt nicht klar, wie ich den Beweis führen soll.[/mm]
> [mm] Heißt das für (1) [mm]f(u), f(w) \in U \Rightarrow f(u+w) \in U[/mm] oder [mm]u:=f(x_1) und w:=f(x_2) \Rightarrow u+w \in U[/mm]?[/mm]
Weder noch: Bei (i) mußt Du prüfen, ob mit $f,g \in U$ auch $f+g\in U$ liegt.
> [mm] Ebenso ist mir für (ii) und (iii) unklar, ob der Betrag mit [mm]\lambda[/mm] multipliziert wird oder nicht.[/mm]
Die Funktion $\lambda \cdot f$ ist ja definiert durch $(\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x)$ ($x \in \IR$). Also muß der Betrag mit $|\lambda|$ multipliziert werden.
> [mm]\mathcal{C}^1[/mm] bedeutet doch, dass die unbekannte Funktion einmal differenzierbar ist, also die zweite Ableitung gleich [mm]0[/mm] ist, oder?[/mm]
Ja.
Mfg
zahlenspieler
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:06 Mi 31.01.2007 | | Autor: | xsara |
Hallo!
Kann mir jemand weiter helfen?
Meine Fragen sind noch aktuell.
Vielen Dank für eure Mühe!
xsara
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> Heißt das für (1) $ f(u), f(w) [mm] \in [/mm] U [mm] \Rightarrow [/mm] f(u+w) [mm] \in [/mm] U $ oder $ [mm] u:=f(x_1) [/mm] und [mm] w:=f(x_2) \Rightarrow [/mm] u+w [mm] \in [/mm] U $?
Hallo,
die Elemente Deiner Mengen sind Funktionen.
Du mußt also zeigen, daß für je zwei Funktionen f,g mit der geforderten Eigenschaft auch f+g die entsprechende Eigenschaft hat.
Zeigen tut man es elementweise, also
für alle x gilt (f+g)(x)=f(x)+g(x). (Oder eben, daß es nicht gilt)
Fürs Produkt entsprechend: [mm] (\lambda f)(x)=\lambda [/mm] f(x)
> $ [mm] \mathcal{C}^1 [/mm] $ bedeutet doch, dass die unbekannte Funktion einmal differenzierbar ist, also die zweite Ableitung gleich 0 ist, oder?
Nein. [mm] {C}^1 [/mm] sind die einmal stetig differenzierbaren Funktionen.
Das sind die Funktionen, die (mindestens) einmal differenzierbar sind, und deren 1.Ableitung stetig ist.
Gruß v. Angela
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