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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 Sa 29.12.2007 | | Autor: | side |
| Aufgabe | Es sein V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und W ein Untervektorraum von V. Zeigen Sie:
Wenn dimV=dimW, dann W=V |
Ich find bei dieser Aufgabe nicht so recht einen Ansatz. Hab mir schon mal überlegt, dass für Untervektorräume ja gilt:
[mm] W\subseteq [/mm] V. Aber wie komm ich da weiter? Kann man daraus etwas über die Basen von V und W erfahren?
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> Es sein V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und W ein
> Untervektorraum von V. Zeigen Sie:
> Wenn dimV=dimW, dann W=V
> Ich find bei dieser Aufgabe nicht so recht einen Ansatz.
> Hab mir schon mal überlegt, dass für Untervektorräume ja
> gilt:
> [mm]W\subseteq[/mm] V. Aber wie komm ich da weiter? Kann man daraus
> etwas über die Basen von V und W erfahren?
Hallo,
ja.
Es sei dimW=n=dimV.
Also gibt es eine Basis [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] von W.
Überlege Dir nun, daß das auch eine Basis von V ist, und schließe hieraus, daß [mm] V\subseteq [/mm] W.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 30.12.2007 | | Autor: | side |
Es existiert also eine Basis B= [mm] \left\{b_1,...,b_n\right\} [/mm] von W. [mm] \Rightarrow [/mm] Die Vektoren [mm] b_1,...,b_n [/mm] sind linear unabhängig.
Da dimV=n ist, ist die Menge linear unabhängiger Vektoren [mm] b_1,...,b_n [/mm] eine Basis von V.
[mm] \Rightarrow [/mm] W=<B>=V
[mm] \Rightarrow [/mm] W=V
reicht das?
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> Es existiert also eine Basis B= [mm]\left\{b_1,...,b_n\right\}[/mm]
> von W. [mm]\Rightarrow[/mm] Die Vektoren [mm]b_1,...,b_n[/mm] sind linear
> unabhängig.
> Da dimV=n ist, ist die Menge linear unabhängiger Vektoren
> [mm]b_1,...,b_n[/mm] eine Basis von V.
> [mm]\Rightarrow[/mm] W=<B>=V
> [mm]\Rightarrow[/mm] W=V
> reicht das?
Hallo,
aus meiner Sicht reicht das.
Vielleicht solltest Du irgendwo noch einfügen, daß die [mm] b_i\in [/mm] V sind, [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] also eine l.u. Familie in V ist.
Gruß v. Angela
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