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| Aufgabe | Bertrachten Sie in [mm] \IR³ [/mm] die Untervektorräume U und V gegeben durch:
[mm] U:=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 2 } [/mm] , [mm] \pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 } [/mm] und V:= [mm] \pmat{ 2 \\ -1 \\ 1 } [/mm] , [mm] \pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 }
[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis von U [mm] \cap [/mm] V und U + V an und bestimmen Sie für dieses eine Basis... |
unsere Übungsleiterin nimmt solche Aufgaben total ernst. Würdet ihr mir bitte helfen dies zu lösen?
Im vorraus. Danke.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Do 13.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Bertrachten Sie in [mm]\IR³[/mm] die Untervektorräume U und V
> gegeben durch:
> [mm]U:=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 2 }[/mm] , [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm] und V:=
> [mm]\pmat{ 2 \\ -1 \\ 1 }[/mm] , [mm]\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 }[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Basis von U [mm]\cap[/mm] V und U + V an und
> bestimmen Sie für dieses eine Basis...
> unsere Übungsleiterin nimmt solche Aufgaben total ernst.
Das würde ich an Deiner Stelle auch tun.
Wo sind Deine Lösungsansätze ?
FRED
> Würdet ihr mir bitte helfen dies zu lösen?
> Im vorraus. Danke.
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Do 13.11.2008 | | Autor: | Schneider |
wenn ich ein Lösungsansatz hätte...würden ich ihn da auch drunter setzten....
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:20 Fr 14.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Das ist nicht immer so
FRED
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:39 Do 13.11.2008 | | Autor: | JSchmoeller |
> Bertrachten Sie in [mm]\IR³[/mm] die Untervektorräume U und V
> gegeben durch:
> [mm]U:=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 2 }[/mm] , [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm] und V:=
> [mm]\pmat{ 2 \\ -1 \\ 1 }[/mm] , [mm]\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 }[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Basis von U [mm]\cap[/mm] V und U + V an und
> bestimmen Sie für dieses eine Basis...
> unsere Übungsleiterin nimmt solche Aufgaben total ernst.
> Würdet ihr mir bitte helfen dies zu lösen?
> Im vorraus. Danke.
>
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Ich habe die gleiche Aufgabe zu bearbeiten und habe mir gedacht, man könnte vielleicht mit der Dimensionsformel arbeiten...Bin ich da auf dem richtigen Weg?
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> Bertrachten Sie in [mm]\IR³[/mm] die Untervektorräume U und V
> gegeben durch:
> [mm]U:=\pmat{ 1 \\ 1 \\ 2 }[/mm] , [mm]\pmat{ 0 \\ 1 \\ 1 }[/mm] und V:=
> [mm]\pmat{ 2 \\ -1 \\ 1 }[/mm] , [mm]\pmat{ 1 \\ 2 \\ 1 }[/mm]
>
> Bestimmen Sie eine Basis von U [mm]\cap[/mm] V und U + V an und
> bestimmen Sie für dieses eine Basis...
> unsere Übungsleiterin nimmt solche Aufgaben total ernst.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Daß Eure Übungsleiterin solche Aufgaben sehr ernst nimmt, spricht für sie.
Es ist ja eher eine der leichten Aufgaben insofern, als daß keinerlei Abstraktion gefordert wird.
Sehr ernst solltest Du die Tatsache nehmen, daß Du hier nicht in der Lage bist, einen kleinen Lösungsansatz zu liefern.
Ernst an der Aufgabe ist auch, daß von solcher Art die Aufgaben in Klausuren sind, mit denen diejenigen etwas punkten können, die ansonsten den Überblick weitgehend verloren haben.
J.Schmoeller schrieb:
> Ich habe die gleiche Aufgabe zu bearbeiten und habe mir
> gedacht, man könnte vielleicht mit der Dimensionsformel
> arbeiten...Bin ich da auf dem richtigen Weg?
Die Dimensionsformel ist hier sicher im Spiel. Wenn sie am Ende bei dem, was Du ausgerechnet hast, nicht gilt, ist das ein Grund zum Grübeln.
Ein Ansatz aber mit der Dimensionsformel wird Dir aber nichts bringen, denn für die Dimensionsformel mußt Du ja schon Dimensionen kennen.
U und V haben offensichtlich die Dimension 2.
Wie ist U+V definiert?
Was ist folglich ein Erzeugendensystem von U+V?
Aus diesem Erzeugendensystem muß nun eine maximale linear unabhängige Teilmenge abgefischt werden.
Schau mal, wie weit Du so kommst, dann kann man weitersehen.
Gruß v. Angela
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> Ein Ansatz aber mit der Dimensionsformel wird Dir aber
> nichts bringen, denn für die Dimensionsformel mußt Du ja
> schon Dimensionen kennen.
>
> U und V haben offensichtlich die Dimension 2.
>
> Wie ist U+V definiert?
> Was ist folglich ein Erzeugendensystem von U+V?
> Aus diesem Erzeugendensystem muß nun eine maximale linear
> unabhängige Teilmenge abgefischt werden.
>
> Schau mal, wie weit Du so kommst, dann kann man
> weitersehen.
>
Also, nach Dimensionsformel gilt ja:
[mm]\dim(U \cap V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U+V)[/mm]
Wenn ich mich nicht irre, dann ist [mm]U+V=\{u+v|u\in U, \, v\in V\}[/mm]
Demnach wäre dann [mm]\dim(U \cap V)=2+2-2=2[/mm]
Richtig?
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> > Ein Ansatz aber mit der Dimensionsformel wird Dir aber
> > nichts bringen, denn für die Dimensionsformel mußt Du ja
> > schon Dimensionen kennen.
> >
> > U und V haben offensichtlich die Dimension 2.
> >
> > Wie ist U+V definiert?
> > Was ist folglich ein Erzeugendensystem von U+V?
> > Aus diesem Erzeugendensystem muß nun eine maximale
> linear
> > unabhängige Teilmenge abgefischt werden.
> >
> > Schau mal, wie weit Du so kommst, dann kann man
> > weitersehen.
> >
>
>
> Also, nach Dimensionsformel gilt ja:
>
> [mm]\dim(U \cap V)=\dim(U)+\dim(V)-\dim(U+V)[/mm]
>
> Wenn ich mich nicht irre, dann ist [mm]U+V=\{u+v|u\in U, \, v\in V\}[/mm]
Hallo,
ja.
>
> Demnach wäre dann [mm]\dim(U \cap V)=2+2-2=2[/mm]
>
> Richtig?
Wenn Du Dich davon überzeugt hast, daß U+V die dim 2 hat, ist das richtig.
Gruß v. Angela
>
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> Wenn Du Dich davon überzeugt hast, daß U+V die dim 2 hat,
> ist das richtig.
>
stimmt, das muss ich auch noch zeigen.
Danke!
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Jetzt habe ich doch noch mal ne Frage:
Muss ich jetzt also 2 linear unabhängige Vektoren finden, die beide jeweils in U und in V sind?
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> Jetzt habe ich doch noch mal ne Frage:
> Muss ich jetzt also 2 linear unabhängige Vektoren finden,
> die beide jeweils in U und in V sind?
Hallo,
wofür? Für U+V ?
Ich wundere mich ein bißchen, woher Du die Gewißheit nimmst, daß U+V die Dimension 2 hat. (Es stimmt aber EDIT: Es stimmt auch nicht.)
Du weißt doch schon, welche Vektoren U+V erzeugen. Welche?
Von aus diesen mußt Du eine maximale, linear unabhängige Teilmenge auswählen.
Die Basisvektoren von U+V müssen naturlich nicht jeweils in U und V liegen. In der Regel werden welche dabei sein, die nur in einem der Räume liegen - aber Ausnahmen bestätigen die Regel.
Gruß v. Angela
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hmmm, jetzt werde ich wieder unsicher.
Ich dachte, ich erhalte U+V, indem ich jeweils den ersten und den zweiten Vektor addiere. Dann bekomme ich 2 neue Vektoren [mm]\vektor{3\\0 \\3} \,\text{und}\, \vektor{1\\3\\2}[/mm], die beide auch linear unabhängig sind.
Jetzt soll ich eine Basis von [mm]U\cap V[/mm] bestimmen....Und dazu brauche eine maximale linear unabhängige Teilmenge von U+V?
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> Ich dachte, ich erhalte U+V, indem ich jeweils den ersten
> und den zweiten Vektor addiere. Dann bekomme ich 2 neue
> Vektoren [mm]\vektor{3\\0 \\3} \,\text{und}\, \vektor{1\\3\\2}[/mm],
> die beide auch linear unabhängig sind.
Hallo,
Der Weg ist völlig falsch.
(Ich habe auch ein zweites mal gerechnet und gemerkt, daß die Dimension doch nicht =2 ist.)
Stelle Dir vor, Du hättest U:= [mm] <\vektor\{1,2}> [/mm] , [mm] V:=<\vektor\{-1,-2}>.
[/mm]
Da würdest Du mit dieser Vorgehensweise erbärmlich scheitern. Oder wenn der eine Raum von zwei und der andere von 5 Vektoren aufgespannt würde.
So geht es also nicht.
Du weißt doch, wie U+V definert ist. Da sind alle Vektoren drin, die man als Summe u+v mit [mm] u\in [/mm] U, [mm] v\in [/mm] V, schreiben kann.
Wie sehen die Vektoren in U aus? Es sind Linearkombinationen der erzeugenden Vektoren von U, die in V Linearkombis der erzeugenden Vektoren von V.
Damit solltest Du jetzt wirklich wissen, was ein Erzeugendensystem von U+V ist. Und die Basis von dem Raum, der von diesem Erzeugendensystem erzeugt wird, brauchst Du.
Die kannst Du finden, indem Du eine maximale linear unabhängige Teilmenge suchst.
> Jetzt soll ich eine Basis von [mm]U\cap V[/mm] bestimmen....Und dazu
> brauche eine maximale linear unabhängige Teilmenge von U+V?
Nein. U+V ist ja ein völlig anderer Raum als [mm] U\cap [/mm] V. (Obgleich sie ene Beziehung haben: was habe sie miteinander zu tun.)
Bevor Du jetzt im Schnellschußverfahren eine Basis suchst, überlege Dir erstmal, welche Eigenschat die Vektoren haben, de in [mm] U\cap [/mm] V liegen. Oder anders: was bedeutet "Schnitt"?
Auf welche zwei Weisen kannst Du einen Vektor aus dem Schnitt schreiben?
Jetzt erst kommt's Rechnen.
Gruß v. Angela
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> Bevor Du jetzt im Schnellschußverfahren eine Basis suchst,
> überlege Dir erstmal, welche Eigenschat die Vektoren haben,
> de in [mm]U\cap[/mm] V liegen. Oder anders: was bedeutet "Schnitt"?
> Auf welche zwei Weisen kannst Du einen Vektor aus dem
> Schnitt schreiben?
> Jetzt erst kommt's Rechnen.
ok, ich hatte schon befürchtet, dass es nicht so einfach war.
Aso, wenn die Vektoren im Schnitt liegen, dann liegen sie natürlich in beiden Räumen. Wie früher in der Schule: wenn sich zwei Ebenen schneiden bekommt man eine Schnittgerade, wenn die Ebenen nicht gerade parallel oder identisch sind.
Deshalb müsste doch theoretisch die dimension vom schnitt auch kleiner sein, als die Dimension von den beiden...
Ich hatte schon überlegt, ob ich da nicht auch mengentheoretisch heran gehen kann, z.B.: [mm]U\cap V=(U\backslash V)^c\cup (V\backslash U)^c[/mm], aber da komme ich auch nicht weiter....
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> > Bevor Du jetzt im Schnellschußverfahren eine Basis suchst,
> > überlege Dir erstmal, welche Eigenschat die Vektoren haben,
> > de in [mm]U\cap[/mm] V liegen. Oder anders: was bedeutet "Schnitt"?
> > Auf welche zwei Weisen kannst Du einen Vektor aus dem
> > Schnitt schreiben?
> > Jetzt erst kommt's Rechnen.
Hallo,
eine Basis von U+V hast Du jetzt?
> Aso, wenn die Vektoren im Schnitt liegen, dann liegen sie
> natürlich in beiden Räumen.
Genau.
> Deshalb müsste doch theoretisch die dimension vom schnitt
> auch kleiner sein, als die Dimension von den beiden...
Ja.
>
> Ich hatte schon überlegt, ob ich da nicht auch
> mengentheoretisch heran gehen kann
Du kannst Dir sicher allerlei "mengentheoretisch" ausdenken, eine Basis findest Du so nicht.
An Mengentheorie hast Du genug getan, wenn Du begriffen hast, daß Du Dich für die Vektoren interessierst, die in beiden Unterräumen liegen.
Nun mach's wie in der Schule: rechne den Schnitt aus. U und V sind doch beides Ebenen. (Ebenen durch den Nullpunkt. Sonst wären's ja keine Vektorräume.)
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Hasret |
Hallo,
ich sitze jetzt auch an dieser Aufgabe dran und komme nicht weiter.
Ich habe mir überlegt, wenn ich U [mm] \bigcap [/mm] V berechnen möchte, dann muss ich folgendes tun:
U:= (a1*(1,1,2)+a2*(0,1,1)| a1,a2 [mm] \in \IR)
[/mm]
V:= (a3*(2,1,1)+a4*(1,2,1)| a3,a4 [mm] \in \IR)
[/mm]
anschließend habe ich ein GLS aufgestellt mit
[mm] a1*\vektor{1 \\ 1 \\ 2} [/mm] + [mm] a2*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}=a3*\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+a4*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Ist der Ansatz schonmal richtig?
wenn ich das ganze umformuliere erhalte ich a4=0 und a1=2a3 und a2=-3a3
und wie mache ich jetzt weiter? Muss ich die Schnittgerade ermittel?
Dafür erhalte ich wenn ich das tue [mm] a3*\vektor{2 \\ -1 \\ 1}
[/mm]
Ich komme leider nicht weiter ich wäre sehr dankbar für eure Hilfe
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> Hallo,
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> ich sitze jetzt auch an dieser Aufgabe dran und komme nicht
> weiter.
> Ich habe mir überlegt, wenn ich U [mm]\bigcap[/mm] V berechnen
> möchte, dann muss ich folgendes tun:
>
> U:= (a1*(1,1,2)+a2*(0,1,1)| a1,a2 [mm]\in \IR)[/mm]
> V:=
> (a3*(2,1,1)+a4*(1,2,1)| a3,a4 [mm]\in \IR)[/mm]
>
> anschließend habe ich ein GLS aufgestellt mit
>
> [mm]a1*\vektor{1 \\ 1 \\ 2}[/mm] + [mm]a2*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}=a3*\vektor{2 \\ 1 \\ 1}+a4*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> Ist der Ansatz schonmal richtig?
Hallo,
.
Der Ansatz ist richtig.
>
> wenn ich das ganze umformuliere erhalte ich a4=0 und a1=2a3
> und a2=-3a3
>
> und wie mache ich jetzt weiter? Muss ich die Schnittgerade
> ermittel?
>
> Dafür erhalte ich wenn ich das tue [mm]a3*\vektor{2 \\ -1 \\ 1}[/mm]
Die Zahlen habe ich nicht kontrolliert, Dein Tun ist goldrichtig.
Du weißt jetzt, daß jedes Element des Schnittes die Gestalt [mm] a_3*\vektor{2 \\ -1 \\ 1} [/mm] hat, also eine Linearkombination von [mm] \vektor{2 \\ -1 \\ 1} [/mm] ist.
Damit kennst Du doch die Basis von [mm] U\cap [/mm] V.
>
> Ich komme leider nicht weiter ich wäre sehr dankbar für
> eure Hilfe
Du brauchst die Hilfe eigentlich nicht.
Ist doch gut gelungen!
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Hasret |
Erstmal danke für deine schnelle Antwort.
Zumindest weis ich, dass ich auf dem richtigen Weg bin.
Jetzt muss ich noch ein Komplement von U geschnitten V in U+V angeben und die Basis davon bestimmen.
Könnte ich hier mit der Dimension arbeiten?
Und unser Übungsgruppenleiter meinte, dass ich mit dem Basisergänzungssatz arbeiten soll, jedoch habe ich keinerlei vorstellung wie oder was ich genau machen soll.
Müsste in diesem Falle U geschnitten V nicht [mm] \{0\} [/mm] ergeben und [mm] U+V=\IR3?
[/mm]
Oder irre ich mich da?
Wie muss ich mir das in diesem Falle vorstellen?
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Hallo,
ich habe eben doch mal nachgerechnet, und ich meine, daß Du Dich verrechnet hast bei der Bestimmung des Vektors. Prüf das nochmal - es wäre nämlich auch nicht das erste Mal, daß ich mich verrechne.
> Jetzt muss ich noch ein Komplement von U geschnitten V in
> U+V angeben und die Basis davon bestimmen.
1. Weg:
Dazu würde ich erstmal eine Basis des U+V bestimmen.
Hast Du die schon?
Welche Dimension hat U+V?
Welcher Raum ist das also?
Nun die für [mm] U\cap [/mm] V gefundene Basis zu einer dieses Raumes ergänzen.
> Könnte ich hier mit der Dimension arbeiten?
2. Weg:
Du kennst nun die Dimension von [mm] U\cap [/mm] V.
Aus dem Dimensionssatz erhältst Du die Dimension von U+V.
Damit kennst Du in diesem speziellen Fall den Raum U+V.
Ergänze die Basis von [mm] U\cap [/mm] V zu einer Basis des U+V.
> Und unser Übungsgruppenleiter meinte, dass ich mit dem
> Basisergänzungssatz arbeiten soll, jedoch habe ich
> keinerlei vorstellung wie oder was ich genau machen soll.
Sagen wir mal, a ist eine Basis von [mm] U\cap [/mm] V, und (a,b,c) eine von U+V.
Dann ist <b,c> ein Komplement von [mm] U\cap [/mm] V in U+V.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Hasret |
Hallo,
also meine Rechnung ist richtig. Ich habe sie nochmal nachgerechnet.
Ich habe wie ich vorhing gesehen habe, hier den Vektor der mit a3 multipliziert wird falsch geschrieben. Da ist ein Vorzeichenfehler.
das muss heißen [mm] a3*\vektor{2 \\ -1 \\ 1}.
[/mm]
Zu dem was du gesagt hast.
Ist die Dimension von U geschnitten V = 1?
Wir haben nämlich gesagt, dass die Anzahl von Vektoren in einer Basis Dimensionen heißen. Und hier erhalte ich ja nur ein Vektor.
UNd zu U+V
Wir haben gesagt [mm] U+v:=\{u+v|u \in U; v\inV\}
[/mm]
Kann ich nun U+V so aufschreiben oder ist das falsch?
[mm] a1*\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+a2*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+a3*\vektor{2 \\ -1 \\ 1}+a4*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
und muss ich das ganze gleich Null setzen, da ja eine Basis linear unabhängig sein muss?
Wenn ich nun ein GLS erstelle und ausrechne erhalte ich erneut
a4=0 und a1=-2a3 und a2=3a3. Aber das kann doch nicht richtig sein?
UNd vielleicht ist es ja ne dumme Frage aber was meinst du genau mit Raum?
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> Zu dem was du gesagt hast.
> Ist die Dimension von U geschnitten V = 1?
> Wir haben nämlich gesagt, dass die Anzahl von Vektoren in
> einer Basis Dimensionen heißen. Und hier erhalte ich ja nur
> ein Vektor.
Hallo,
genau.
>
> UNd zu U+V
> Wir haben gesagt [mm]U+V:=\{u+v|u \in U; v\inV\}[/mm]
>
> Kann ich nun U+V so aufschreiben oder ist das falsch?
[mm] x\in [/mm] U+V
<=>
>
>x= [mm]a1*\vektor{1 \\ 1 \\ 2}+a2*\vektor{0 \\ 1 \\ 1}+a3*\vektor{2 \\ -1 \\ 1}+a4*\vektor{1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> und muss ich das ganze gleich Null setzen, da ja eine Basis
> linear unabhängig sein muss?
Linear unabhängig ist das Stichwort.
Du hast hier 4 erzeugende Vektoren, und nun mußt Du eine maximale linear unabhängige Teilmenge herauspicken.
Dazu, dies zu tun, gibt es verschiedene Möglichkeiten.
Falls Ihr den Gaußalgorithmus schon besprochen habt: stell die 4 Vektoren als Spalten in eine Matrix und bring sie auf ZSF.
Bei der Interpretation des Ergebnisses helfe ich (oder wer anders) Dir dann.
Wenn nicht:
als ersten Basisvektor kannst Du ja schonmal den nehmen, der in beiden Räumen liegt. Nimm Dir einen zweiten dazu, guck, ob die linear unabhängig sind, wenn ja, nimm einen dritten, schau wieder, ob sie linear unabhängig sind.
Kennst Du den Dimensionssatz, über den Dein Kollege gesprochen hat? Aus diesem folgt, daß der Summenraum U+V die Dimension 3 hat. So weißt Du schonmal, wieviele linear unabhängige Vektoren Du benötigst. (Der Raum U+V ist übrigens der [mm] \IR^3. [/mm] Ich weiß aber nicht, ob Ihr das hattet: wenn ein Untervektorraum dieselbe Dimension hat wie der Vektorraum, dann ist es der Vektorraum selber.)
> a4=0 und a1=-2a3 und a2=3a3. Aber das kann doch nicht
> richtig sein?
Hieran siehst Du zunächst mal, daß es andere Lösungen als die tiviale gibt, die Vektoren also nicht linear unabhängig sind.
>
> UNd vielleicht ist es ja ne dumme Frage aber was meinst du
> genau mit Raum?
Vektorraum bzw. Untervektorraum.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Hasret |
Hallo,
erstmal vielen vielen Dank das du mir hilfst.
Ich habe nun herausgefunden, dass die Vektoren v3, v4, v2 und v3, v4, v1 linear unabhängig sind. Ist es nun egal, welches ich für U+V als Basis nehme?
So wie du nun gesagt hast ist dim U+V= 3 und laut deinem Beispiel ist ja v3 eine Basis von U geschnitten V und (v3,v4,v1) ist eine Basis von U+V also ist das Komplement (v4,v1) von U geschnitten V in U+V?
Ist das so richtig?
Und ich soll ein Komlement angeben und eine Basis für diese Bestimmen.
Habe ich das nicht schon bereits dadurch getan indem ich die Vektoren ausrechne bzw. herausfinde, die lin. unabh. sind?
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> erstmal vielen vielen Dank das du mir hilfst.
Hallo,
gern geschehen, dafür gibt's das Forum ja.
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> Ich habe nun herausgefunden, dass die Vektoren v3, v4, v2
> und v3, v4, v1 linear unabhängig sind. Ist es nun egal,
> welches ich für U+V als Basis nehme?
Ja, das ist egal.
>
> So wie du nun gesagt hast ist dim U+V= 3 und laut deinem
> Beispiel ist ja v3 eine Basis von U geschnitten V
Ja, das hattest Du ausgerechnet.
> (v3,v4,v1) ist eine Basis von U+V also ist das Komplement
> (v4,v1) von U geschnitten V in U+V?
Ein Komplement von [mm] U\cap [/mm] V= [mm] [/mm] in U+V=<v3,v4,v1> ist der Raum [mm] .
[/mm]
Die spitzen Klammern stehen für Erzeugnis von/ Lineare Hülle von /Span.
Kurz zeigen muß man noch, daß das wirklich ein Komplement ist:
Es ist U+V= [mm] (U\cap [/mm] V) + [mm] , [/mm] und es ist [mm] (U\cap [/mm] V) [mm] \cap =\{0\}.
[/mm]
(Also hat man hier eine direkte Summe - falls das dran war.)
> Und ich soll ein Komlement angeben und eine Basis für diese
> Bestimmen.
> Habe ich das nicht schon bereits dadurch getan indem ich
> die Vektoren ausrechne bzw. herausfinde, die lin. unabh.
> sind?
Im prinzip ist alles getan. Obgleich man es sofort sieht, würde ich halt noch zeigen, daß es wirklich ein Komplement ist.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 Sa 15.11.2008 | | Autor: | Hasret |
Vielen lieben Dank.
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