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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:23 So 04.01.2009 | | Autor: | MartaG |
| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume der angegebenen Vektorräume?
b) [mm] {(x_{1},x_{2})\in\IR²:x_{1}²+x_{2}^4=0}\subset\IR² [/mm] |
Könntet ihr uns helfen? Wir wissen nicht wie wir es anfangen sollen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 So 04.01.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
sei [mm] U:=\{(x_{1},x_{2})\in\IR²:x_{1}²+x_{2}^4=0\}\subset\IR².
[/mm]
Frage: Ist U Untervektorraum des [mm] \IR^2.
[/mm]
Jetzt heißt U UVR von [mm] \IR^2 [/mm] genau dann, wenn gilt:
UVR 1) [mm] U\not=\emptyset
[/mm]
UVR 2) [mm] \forall{x,y\in{U}}\Rightarrow{x+y\in{U}}
[/mm]
UVR 3) [mm] \forall{x\in{U}},\lambda\in\IR\Rightarrow{\lambda*x\in{U}}
[/mm]
Sehen wir uns also U an:
[mm] U:=\{(x_{1},x_{2})\in\IR²:x_{1}²+x_{2}^4=0\}\subset\IR²
[/mm]
Jetzt gilt [mm] x_1^2>0 [/mm] für alle [mm] x_1\in\IR\backslash\{0\} [/mm] und [mm] x_2^4>0 [/mm] für alle [mm] x_2\in\IR\backslash\{0\} [/mm] und
somit [mm] x_1^2+x_2^4>0 [/mm] für alle [mm] (x_1,x_2)\in\IR^2\backslash\{(0,0)\}.
[/mm]
[mm] x_1^2+x_2^4=0\gdw{(x_1,x_2)=(0,0)}.
[/mm]
Das bedeutet: U={(0,0)}.
Damit gilt UVR 1. Und daraus ergibt sich ebenfalls: UVR 2 und UVR 3 sind erfüllt.
Wenn die Frage gestellt wird, ob es sich bei einer gegebenen Menge um einen UVR handelt, ist immer zu prüfen, ob UVR 1 - UVR 3 erfüllt sind.
MfG barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:29 So 04.01.2009 | | Autor: | MartaG |
Muss es denn für alle x gelten, oder reicht es wenn wir zeigen dass es für die Null gilt. Wieso kann man sagen dass aus UVR 1 UVR 2 und UVR 3 folgt?
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Hallo Marta,
> Muss es denn für alle x gelten, oder reicht es wenn wir
> zeigen dass es für die Null gilt. Wieso kann man sagen dass
> aus UVR 1 UVR 2 und UVR 3 folgt?
Na, barsch hat doch gezeigt, dass der einzige Vektor, der in U liegt, der Nullvektor $(0,0)$ ist
Damit folgen die anderen Kriterien trivialerweise
UVR2 und UVR3 lassen sich im Detail aber auch schnell nachrechnen/nachprüfen, es ist ja nur ein Vektor in U
UVR2: [mm] $(0,0)+(0,0)=(0,0)\in [/mm] U$
UVR3: Nimm dir ein beliebiges [mm] $\lambda\in\IR$ [/mm] her und den einzigen Vektor aus U, $(0,0)$
Dann ist [mm] $\lambda\cdot{}(0,0)=(\lambda\cdot{}0,\lambda\cdot{}0)=....$
[/mm]
Ist das wieder in U ?
LG
schachuzipus
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