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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Fr 09.01.2009 | | Autor: | LoBi83 |
| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum.
Sei W [mm] \subset [/mm] V eine Teilmenge. Man zeige,dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
i) W ist ein Untervektorraum von V
ii) Es gilt W= [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \forall\lambda\in [/mm] K [mm] u,w\in W:u+\lambda w\in [/mm] W
iii) Es gilt W= [mm] \emptyset [/mm] und [mm] \forall\lambda\in [/mm] K [mm] u,w\in W:\lambda (u+w)\in [/mm] W |
Ich muss also zeigen das: [mm] i)\gdw ii)\gdw [/mm] iii)
Dazu will ich zeigen das [mm] i)\Rightarrow [/mm] ii) ; [mm] ii)\Rightarrow [/mm] i) und [mm] i)\Rightarrow [/mm] iii) ; [mm] iii)\Rightarrow [/mm] i)
Sei also W ein UVR und u,w [mm] \in [/mm] W und [mm] \lambda \in [/mm] K
W ist UVR [mm] \Rightarrow [/mm]
Die Untervektorraumaxiome
U1) [mm] W=\emptyset [/mm]
U2) [mm] u,w\in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] u+w [mm] \in [/mm] W
U3) [mm] w\in [/mm] W, [mm] \lambda \in [/mm] K [mm] \Rightarrow \lambda w\in [/mm] W
gelten.
i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii) Nach U3) Ist [mm] \lambda [/mm] w [mm] \in [/mm] W. Also ist mit U2) auch u + [mm] \lambda w\in [/mm] W
i) [mm] \Rightarrow [/mm] iii) Nach U2) Ist u + w [mm] \in [/mm] W. Also ist mit U3) auch [mm] \lambda(u+w)\in [/mm] W
iii) [mm] \Rightarrow [/mm] i) & ii) [mm] \Rightarrow [/mm] i)
Hier müsste ich die UVR-Axiome nachprüfen
W [mm] \subset [/mm] V
U1) W = [mm] \emptyset
[/mm]
....
Ich weiss jetzt leider nicht wie ich U2 und U3 nachprüfen kann. Ist überhaupt die Hinrichtung korrekt, und ausführlich genug ?
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Hi,
> Es sei V ein K-Vektorraum.
> Sei W [mm]\subset[/mm] V eine Teilmenge. Man zeige,dass die
> folgenden Aussagen äquivalent sind.
> i) W ist ein Untervektorraum von V
> ii) Es gilt W= [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\forall\lambda\in[/mm] K [mm]u,w\in W:u+\lambda w\in[/mm]
> W
> iii) Es gilt W= [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\forall\lambda\in[/mm] K [mm]u,w\in W:\lambda (u+w)\in[/mm]
> W
> Ich muss also zeigen das: [mm]i)\gdw ii)\gdw[/mm] iii)
> Dazu will ich zeigen das [mm]i)\Rightarrow[/mm] ii) ; [mm]ii)\Rightarrow[/mm]
> i) und [mm]i)\Rightarrow[/mm] iii) ; [mm]iii)\Rightarrow[/mm] i)
>
> Sei also W ein UVR und u,w [mm]\in[/mm] W und [mm]\lambda \in[/mm] K
>
> W ist UVR [mm]\Rightarrow[/mm]
> Die Untervektorraumaxiome
> U1) [mm]W=\emptyset[/mm]
> U2) [mm]u,w\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] u+w [mm]\in[/mm] W
> U3) [mm]w\in[/mm] W, [mm]\lambda \in[/mm] K [mm]\Rightarrow \lambda w\in[/mm] W
> gelten.
>
> i) [mm]\Rightarrow[/mm] ii) Nach U3) Ist [mm]\lambda[/mm] w [mm]\in[/mm] W. Also ist
> mit U2) auch u + [mm]\lambda w\in[/mm] W
> i) [mm]\Rightarrow[/mm] iii) Nach U2) Ist u + w [mm]\in[/mm] W. Also ist mit
> U3) auch [mm]\lambda(u+w)\in[/mm] W
>
> iii) [mm]\Rightarrow[/mm] i) & ii) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
> Hier müsste ich die UVR-Axiome nachprüfen
>
> W [mm]\subset[/mm] V
> U1) W = [mm]\emptyset[/mm]
>
> ....
> Ich weiss jetzt leider nicht wie ich U2 und U3 nachprüfen
> kann.
Setze mal z.B. [mm] u=\vec{0} [/mm] bzw. [mm] \lambda [/mm] = 1......
> Ist überhaupt die Hinrichtung korrekt, und
> ausführlich genug ?
>
Ja, ich wäre zufrieden mit deiner Antwort.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Fr 09.01.2009 | | Autor: | LoBi83 |
ii) [mm] \Rightarrow [/mm] i)
Ich setze also zuerst u=0
u + [mm] \lambda w\in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] 0 + [mm] \lambda w\in [/mm] W [mm] \RightArrow \lambda [/mm] w [mm] \in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] U3)
Als nächstes [mm] \lambda [/mm] = 1
u + [mm] \lambda w\in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] u + [mm] 1w\in [/mm] W [mm] \Rightarrow u+w\in [/mm] W [mm] \Rightarrow [/mm] U2)
Wenn ich u = 0 setze beweise ich zwar für ein spezielles u aber für alle [mm] \lambda, [/mm] und wenn ich dann [mm] \lambda [/mm] = 1 setze für ein spezielles [mm] \lambda, [/mm] aber für alle u.
Somit habe ich dann auch die Axiome U2) und U3) für alle [mm] \lambda [/mm] und u nachgewiesen.
So korrekt?
Vielen Dank schonmal im vorraus
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> ii) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
Bew.:
a) zu zeigen: 3) für alle [mm] \lambda \in [/mm] K und für alle [mm] w\in [/mm] W ist [mm] \lambda [/mm] w [mm] \in [/mm] W
Bew.: Nach Voraussetzung gilt [...]
> Ich setze also zuerst u=0,
denn [mm] 0\in [/mm] W, da W ein UVR ist.
> u + [mm]\lambda w\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] 0 + [mm]\lambda w\in[/mm] W
> [mm]\RightArrow \lambda[/mm] w [mm]\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] 3)
b) zu zeigen: 2) für alle [mm] u,w\in [/mm] W ist [mm] \lambda [/mm] u+w [mm] \in [/mm] W
Bew.:
nach Vorauseetzung [...],
also insbesondere für [mm] \lambda=1.
[/mm]
> Als nächstes [mm]\lambda[/mm] = 1
> u + [mm]\lambda w\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] u + [mm]1w\in[/mm] W [mm]\Rightarrow u+w\in[/mm]
> W [mm]\Rightarrow[/mm] U2)
Das ist in Ordnung so. (Sicherheitshalber solltest Du noch erwähnen, daß n.V [mm] W\not=\emptyset.)
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Fr 09.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Es sei V ein K-Vektorraum.
> Sei W [mm]\subset[/mm] V eine Teilmenge. Man zeige,dass die
> folgenden Aussagen äquivalent sind.
> i) W ist ein Untervektorraum von V
> ii) Es gilt W= [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\forall\lambda\in[/mm] K [mm]u,w\in W:u+\lambda w\in[/mm]
> W
> iii) Es gilt W= [mm]\emptyset[/mm] und [mm]\forall\lambda\in[/mm] K [mm]u,w\in W:\lambda (u+w)\in[/mm]
> W
> Ich muss also zeigen das: [mm]i)\gdw ii)\gdw[/mm] iii)
> Dazu will ich zeigen das [mm]i)\Rightarrow[/mm] ii) ; [mm]ii)\Rightarrow[/mm]
> i) und [mm]i)\Rightarrow[/mm] iii) ; [mm]iii)\Rightarrow[/mm] i)
>
> Sei also W ein UVR und u,w [mm]\in[/mm] W und [mm]\lambda \in[/mm] K
>
> W ist UVR [mm]\Rightarrow[/mm]
> Die Untervektorraumaxiome
> U1) [mm]W=\emptyset[/mm]
> U2) [mm]u,w\in[/mm] W [mm]\Rightarrow[/mm] u+w [mm]\in[/mm] W
> U3) [mm]w\in[/mm] W, [mm]\lambda \in[/mm] K [mm]\Rightarrow \lambda w\in[/mm] W
> gelten.
>
> i) [mm]\Rightarrow[/mm] ii) Nach U3) Ist [mm]\lambda[/mm] w [mm]\in[/mm] W. Also ist
> mit U2) auch u + [mm]\lambda w\in[/mm] W
> i) [mm]\Rightarrow[/mm] iii) Nach U2) Ist u + w [mm]\in[/mm] W. Also ist mit
> U3) auch [mm]\lambda(u+w)\in[/mm] W
>
> iii) [mm]\Rightarrow[/mm] i) & ii) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
> Hier müsste ich die UVR-Axiome nachprüfen
>
> W [mm]\subset[/mm] V
> U1) W = [mm]\emptyset[/mm]
>
> ....
> Ich weiss jetzt leider nicht wie ich U2 und U3 nachprüfen
> kann. Ist überhaupt die Hinrichtung korrekt, und
> ausführlich genug ?
>
Muß das "Hinrichtung " sein ??
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:51 Fr 09.01.2009 | | Autor: | LoBi83 |
Es ist auch ein Ringschluss möglich
also i) [mm] \Rightarrow [/mm] ii) [mm] \Rightarrow [/mm] iii) [mm] \Rightarrow [/mm] i)
Man müsste sogar eine Folgerung weniger machen. War das gemeint mit der Frage?
Als ich die Aufgabe bekommen habe schien mir "meine" Methode als einfacher.
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> Es ist auch ein Ringschluss möglich
> also i) [mm]\Rightarrow[/mm] ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
Hallo,
ja, das macht man gerne bei solchen Beweisen.
>
> Man müsste sogar eine Folgerung weniger machen. War das
> gemeint mit der Frage?
Nein.
Fred findet nicht Deine Beweisidee schlecht, sondern er stößt sich an dem Wort "Hinrichtung".
> Als ich die Aufgabe bekommen habe schien mir "meine"
> Methode als einfacher.
Die eigene Idee ist grundsätzlich wertvoll, auch wenn ein paar Zeilen mehr damit verbunden sind.
Oft sieht man ja auch, wenn man alles fertig hat, wo man etwas straffen kann.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:13 Fr 09.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> > Es ist auch ein Ringschluss möglich
> > also i) [mm]\Rightarrow[/mm] ii) [mm]\Rightarrow[/mm] iii) [mm]\Rightarrow[/mm] i)
>
> Hallo,
>
> ja, das macht man gerne bei solchen Beweisen.
>
> >
> > Man müsste sogar eine Folgerung weniger machen. War das
> > gemeint mit der Frage?
>
> Nein.
>
> Fred findet nicht Deine Beweisidee schlecht, sondern er
> stößt sich an dem Wort "Hinrichtung".
So ist es. Daran stoße ich mich gewaltig.
FRED
>
> > Als ich die Aufgabe bekommen habe schien mir "meine"
> > Methode als einfacher.
>
> Die eigene Idee ist grundsätzlich wertvoll, auch wenn ein
> paar Zeilen mehr damit verbunden sind.
> Oft sieht man ja auch, wenn man alles fertig hat, wo man
> etwas straffen kann.
>
> Gruß v. Angela
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