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| Aufgabe | | Seien U,W Untervektorräume eines Vektorrams V. Wann ist [mm] U \cup W[/mm] ein Untervektorraum in V? Wann ist [mm] U \cap W[/mm] ein Untervektorraum von V? |
Hallo Leute,
ich habe hierzu folgenden Ansatz: Ich habe einfach die UV-Axiome benutzt.
i) [mm] U \cup W :=\{x \in U \cup W : x \in U \vee x \in W \} [/mm]
1) [mm] U \cup W[/mm] ist nicht leer, da U,W Untervektorräume sind.
2) Für x+x'=x'' muss gelten [mm] U \cup W :=\{x'' \in U \cup W : x'' \in U \vee x'' \in W \} [/mm]
3) Für [mm] \lambda \in K [/mm] muss gelten [mm] U \cup W :=\{\lambda x \in U \cup W : \lambda x \in U \vee \lambda x \in W \} [/mm]
ii) [mm] U \cap W :=\{x \in U \cap W : x \in U \wedge x \in W \} [/mm]
1) Beide Mengen dürfen nicht disjunkt sein.
2) Für x+x'=x'' muss gelten [mm] U \cap W :=\{x'' \in U \cap W : x'' \in U \wedge x'' \in W \} [/mm]
3) Für [mm] \lambda \in K [/mm] muss gelten [mm] U \cap W :=\{\lambda x \in U \cap W : \lambda x \in U \wedge \lambda x \in W \} [/mm]
Stimmt das so?
Schönen Gruß und vielen Dank schon mal im Voraus
Christoph
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Fr 10.12.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo Christoph,
> Seien U,W Untervektorräume eines Vektorrams V. Wann ist [mm]U \cup W[/mm]
> ein Untervektorraum in V? Wann ist [mm]U \cap W[/mm] ein
> Untervektorraum von V?
> Hallo Leute,
>
> ich habe hierzu folgenden Ansatz: Ich habe einfach die
> UV-Axiome benutzt.
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> i) [mm]U \cup W :=\{x \in U \cup W : x \in U \vee x \in W \}[/mm]
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> 1) [mm]U \cup W[/mm] ist nicht leer, da U,W Untervektorräume sind.
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> 2) Für x+x'=x'' muss gelten [mm]U \cup W :=\{x'' \in U \cup W : x'' \in U \vee x'' \in W \}[/mm]
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> 3) Für [mm]\lambda \in K[/mm] muss gelten [mm]U \cup W :=\{\lambda x \in U \cup W : \lambda x \in U \vee \lambda x \in W \}[/mm]
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> ii) [mm]U \cap W :=\{x \in U \cap W : x \in U \wedge x \in W \}[/mm]
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> 1) Beide Mengen dürfen nicht disjunkt sein.
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> 2) Für x+x'=x'' muss gelten [mm]U \cap W :=\{x'' \in U \cap W : x'' \in U \wedge x'' \in W \}[/mm]
>
> 3) Für [mm]\lambda \in K[/mm] muss gelten [mm]U \cap W :=\{\lambda x \in U \cap W : \lambda x \in U \wedge \lambda x \in W \}[/mm]
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> Stimmt das so?
>
> Schönen Gruß und vielen Dank schon mal im Voraus
>
> Christoph
was willst Du denn nun konstruieren? Ich kenne die Aussage, daher kann ich Dir direkt sagen, was Du beweisen musst:
Genau dann ist $U [mm] \cup [/mm] W$ ein Unterraum, wenn entweder $U [mm] \subseteq [/mm] W$ oder aber $W [mm] \subseteq [/mm] U$ gilt.
Der Beweis ist nicht schwer:
[mm] "$\Leftarrow$" [/mm] ist klar.
Zu [mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Wir nehmen an, dass $U [mm] \cup [/mm] W$ ein Unterraum ist, aber weder $U [mm] \subseteq [/mm] W$ noch $W [mm] \subseteq [/mm] U$ gilt.
Wir wählen $w [mm] \in [/mm] W [mm] \setminus [/mm] U$ und $u [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] W$ (dabei braucht man obige Annahme).
Was ist nun mit [mm] $w+u\,$? [/mm] Sicherlich ist $w+u [mm] \in [/mm] U [mm] \cup W\,,$ [/mm] weil ja $w [mm] \in [/mm] W [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \cup [/mm] W$ und $u [mm] \in [/mm] U [mm] \subseteq [/mm] U [mm] \cup [/mm] W$ und $U [mm] \cup [/mm] W$ ein Unterraum war, nach Voraussetzung. Dann muss also $u+w [mm] \in [/mm] U$ oder $u+w [mm] \in [/mm] W$ gelten (nach Definition von $U [mm] \cup [/mm] W$).
1. Fall:
Angenommen, es wäre $u+w [mm] \in W\,.$ [/mm] Dann gilt aber, weil ja auch $-w [mm] \in [/mm] W$ wegen der UR-Eigenschaft von [mm] $W\,$ [/mm] gilt, sicher
[mm] $$u=u+0=u+(w+(-w))=(u+w)+(-w)\,.$$
[/mm]
Aber nach Annahme von $u+w [mm] \in [/mm] W$ ist wegen $-w [mm] \in [/mm] W$ dann auch $(u+w)+(-w) [mm] \in W\,,$ [/mm] also folgt der Widerspruch $u [mm] \in [/mm] W$ (es war ja $u [mm] \in [/mm] U [mm] \setminus [/mm] W$).
2. Fall:
Angenommen, $u+w [mm] \in V\,.$
[/mm]
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(Führe diese Überlegung nun bitte alleine zu Ende durch, soweit es Dir gelingt.)
P.S.:
Buchempfehlung:
Gawronski, Grundlagen der Linearen Algebra. Ich empfehle es, weil es zum einen mMn sehr gut ist, zum anderen mit 2,95 Euro einem auch gerade fast hintergeschmissen wird. (Studientext, Aula-Verlag Wiesbaden.) Dort findest Du die Aufgabe oder den Satz (ob mit Lösung bzw. Beweis, weiß ich gerade nicht).
P.P.S.:
Unterräume sind übrigens nie disjunkt, da das Nullelement des (gemeinsamen) Obervektorraums in jedem Unterraum enthalten ist, d.h. oben:
[mm] $$\{0_V\} \subseteq [/mm] U [mm] \cap W\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Danke für alles Marcel ich habe es hinbekommen.
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