Untervektorräume, Dimension < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 So 23.12.2007 | | Autor: | zolushka |
| Aufgabe | Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Definiere
k(V) := max [mm] {n\in N | es gibt Untervektorräume V_i von V, i= 0...n, sodass V_0 \subset V_1 \subset ... \subset V_n-1 \subset V_n }. [/mm]
Beweise :
k(V) = dim V |
Hallo,
ich verstehe die Angabe nicht einmal.. Also es ist schon bewiesen, dass [mm] V_i [/mm] Untervektorräume von V sind, und vielleicht muss ich schauen, dass alle Untervektorräume von V gleiche Kardinalität der Basen haben. ???
Hier habe ich einen Satz: (besser gesagt ein Korallar)
Sei V ein endlichdimensionaler VR und (v1....vn) eine Basis von V. Dann hat jede Basis von V genau n Element.
oder einen Satz:
2 Basen eines Vektorraums haben dieselbe Kardinalität.
Kann mir jemand bitte weiterhelfen, was ich machen muss!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 So 23.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Definiere
> [mm]k(V) := \max \{n\in \IN \mid \text{es gibt Untervektorräume $V_i$ von $V$, $i= 0\dots n$, sodass $V_0 \subset V_1 \subset \dots \subset V_{n-1} \subset V_n$} \}.[/mm]
> Beweise :
> k(V) = dim V
> Hallo,
>
> ich verstehe die Angabe nicht einmal.. Also es ist schon
> bewiesen, dass [mm]V_i[/mm] Untervektorräume von V sind, und
> vielleicht muss ich schauen, dass alle Untervektorräume von
> V gleiche Kardinalität der Basen haben. ???
Hmm, ich versteh die Aufgabe so, dass das Symbol [mm]\subset[/mm] bedeutet, dass es sich jeweils um echte Teilmengen handelt, also zum Beispiel [mm]V_{n-1} \not= V_n[/mm]. Anders ergibt das für mich keinen Sinn.
Angenommen, dass [mm]V_{n-1} \subset V_n[/mm], [mm]V_{n-1} \not= V_n[/mm]. Was kannst du über die Dimensionen von [mm]V_{n-1}[/mm] und [mm]V_n[/mm] aussagen?
(Übrigens: wenn du mehr als ein Symbol als Index hast, musst du geschweifte Klammern drumherum schreiben, sonst wird aus [mm]V_{n-1}[/mm] die Formel [mm]V_n-1[/mm].)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 So 23.12.2007 | | Autor: | zolushka |
> Hmm, ich versteh die Aufgabe so, dass das Symbol [mm]\subset[/mm]
> bedeutet, dass es sich jeweils um echte Teilmengen handelt,
> also zum Beispiel [mm]V_{n-1} \not= V_n[/mm]. Anders ergibt das für
> mich keinen Sinn.
>
> Angenommen, dass [mm]V_{n-1} \subset V_n[/mm], [mm]V_{n-1} \not= V_n[/mm].
> Was kannst du über die Dimensionen von [mm]V_{n-1}[/mm] und [mm]V_n[/mm]
> aussagen?
also dann hat zum Beispiel
[mm] V_1 [/mm] hat die Basis [mm] \{v_0, v_1\} [/mm] und [mm] dim(V_1)= [/mm] 1
[mm] V_2 [/mm] hat die Basis [mm] \{v_0, v_1, v_2\} [/mm] umd [mm] dim(V_2)= [/mm] 2
[mm] V_{n-1}hat [/mm] die Basis [mm] \{v_0, ..., v_{n-1}\} [/mm] und [mm] dim(V_{n-1}) [/mm] = n-1
[mm] V_n [/mm] hat die Basis [mm] \{v_0, ...v_n\} [/mm] und [mm] dim(V_n) [/mm] = n
Um zu beweisen, dass k(V) = dim V ist, muss ich zuerst zeigen, dass mein V die Basis [mm] \{v_0, ... v_n\} [/mm] hat.
Angenommen, wenn [mm] V_i [/mm] , i= 0, ....n+1 gewesen wäre, wäre es so
V [mm] \subset [/mm] k(V)
aber wie beweise ich es , oder ist es falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 So 23.12.2007 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
Das V mit dim(V)=n eine Basis [mm] \{v_1,v_2,...,v_n\} [/mm] hat, davon darst du sicher schon ausgehen. (ohne [mm] v_0, [/mm] sonst wären es ja n+1)
Somit hast du mit deinen Beispiel :
[mm] V_0=\{0\} [/mm] mit [mm] dim(V_0)= [/mm] 0
[mm] V_1 [/mm] hat die Basis [mm] \{v_1\} [/mm] und [mm] dim(V_1)= [/mm] 1
[mm] V_{n-1} [/mm] hat die Basis [mm] \{v_1, ..., v_{n-1}\} [/mm] und [mm] dim(V_{n-1}) [/mm] = n-1
[mm] V_n [/mm] hat die Basis [mm] \{v_1, ...v_n\} [/mm] und [mm] dim(V_n) [/mm] = n
eine Lösung gefunden, für die gilt :
[mm] n\in\{m\in N | es gibt Untervektorräume V_i von V, i= 0...m, so dass V_0 \subset V_1 \subset ... \subset V_{m-1} \subset V_m=V\}
[/mm]
Da k(V) das Maximum dieser Menge ist, musst du also zeigen, dass es kein [mm] n_2>n [/mm] mit Zerlegung [mm] {V_0\subset V_1\subset ...\subset V_{n_2-1}\subset V_{n_2}}=V [/mm] gibt.
Ciao.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:12 So 23.12.2007 | | Autor: | zolushka |
Frohe Weihnachten wünsche ich allen Mitglieder dieses Forums! !!
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