Untervektorräume, Homomorphies < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Fr 05.01.2007 | | Autor: | LinAlgI |
| Aufgabe | Es seien V ein [mm] \IK-Vektorraum [/mm] und [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] Untervektorräume von V. Beweisen Sie: [mm] U_{1} [/mm] / [mm] (U_{1} \cap U_{2}) \cong (U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}) [/mm] / [mm] U_{2}
[/mm]
(Hinweis: Wenden Sie den Homomorphiesatz auf die Abbildung
[mm] \phi [/mm] : [mm] U_{1} \to (U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}) [/mm] / [mm] U_{2}, [/mm] u [mm] \mapsto [/mm] u + [mm] U_{2}, [/mm] an.)
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Zuerst wünsch ich euch allen noch ein frohes neues Jahr und alles Gute!
Nun zu der Aufgabe: Mit LinAl tue ich mich im Allgemeinen sehr schwer und so ist es auch diesmal wieder. Mir fällt einfach keine Lösungsidee ein, weiß nicht wie ich anfangen soll (geht mir generell bei Beweisaufgaben so). Ist die Idee erstmal da, ist es meistens nicht mehr so schwer weiter zu machen.
Deshalb bitte ich euch mir ein wenig zu helfen, Ansätze zu geben oder allgemeine Tipps zum Lösen von Beweisaufgaben.
Vielen Dank schon mal im Voraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Fr 05.01.2007 | | Autor: | LinAlgI |
| Aufgabe | V und W Seien [mm] \IK-Vektorräume. [/mm] Beweisen Sie, dass die Abbildung
[mm] \phi [/mm] : [mm] Hom_{ \IK } [/mm] (V, W) [mm] \to Hom_{ \IK } (W^{*}, V^{*}), \phi \to \phi^{*} [/mm] linear ist (mit anderen Worten: [mm] \phi \in Hom_{ \IK } (Hom_{ \IK } [/mm] (V, W), [mm] Hom_{ \IK } (W^{*}, V^{*} [/mm] ))). |
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Hallo nochmal,
so hier ist der Rest der Aufgabe. Denn mein Problem bezieht sich natürlich auf die ganze Aufgabe.
Also auch hier die selben Probleme wie oben.
Danke schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Fr 05.01.2007 | | Autor: | Volker2 |
Hallo,
die Aufgabe ist garnicht so schwer wie Du vielleicht denkst. Ich würde Dir empfehlen, erstmal die Homomorphiesätze zu vergessen und alles zu Fuß nachzurechnen- und zwar folgendermaßen: Zeige einfach, dass die Abbildung
$$
[mm] \psi [/mm] : [mm] U_{1} /U_{1}\cap U_{2} \to (U_{1} [/mm] + [mm] U_{2}) [/mm] / [mm] U_{2}, [/mm]
$$
$$
[mm] u_1 [/mm] + [mm] U_{1}\cap U_{2} \mapsto u_1 [/mm] + [mm] U_{2},
[/mm]
$$
wohldefiniert, linear, injektiv und surjektiv ist.
Wohldefiniertheit: Für [mm] u_1\in U_1 [/mm] und [mm] u\in U_1\cap U_2, [/mm] gilt
[mm] (u_1+u) [/mm] + [mm] U_2 =u_1+(u+U_2) =u_1+U_2. [/mm] Also ist [mm] \psi [/mm] wohldefiniert.
Linearität: Folgt aus der Definition der Quotientenräume auf beiden Seiten. Überlasse ich Dir.
Surjektivität: Das Element [mm] u_1+u_2\in U_1+U_2 [/mm] ist modulo [mm] U_2 [/mm] das Bild von [mm] u_1+U_1\cap U_2 [/mm] unter [mm] \psi. [/mm] Also ist [mm] \psi [/mm] surjektiv.
Injektivität: Falls V endlichdimensional ist, kannst Du die Dimensionsformel für Unterräume anwenden. Daraus folgt, dass beide Seiten dieselbe Dimension haben und die surjektive Abbildung [mm] \psi [/mm] automatisch auch injektiv sein muß.
Der algemeine Fall für beliebiges V geht anders. Ich überlasse ihn Dir. Dann kannst Du mal versuchen den Homomorphiesatz auf [mm] \phi [/mm] anzuwenden.
Volker
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