Untervektorräume addieren < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sind die Untervektorräume
[mm] $U_1 [/mm] = [mm] <\{^t(0,1,1,0)\}>$
[/mm]
[mm] $U_2 [/mm] = [mm] <\{^t(1,0,0,1), ^t(0,1,0,9)\}>$
[/mm]
[mm] $U_3 [/mm] = [mm] <\{^t(1,0,0,1), ^t(0,1,1,0)\}>$
[/mm]
Gesucht: Basis von [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2$, [/mm] ... uvm. |
Um die Basis zu bestimmen muss ich ja erst einmal wissen, was [mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2$ [/mm] sind, nicht wahr? Und daran scheiterts:
[mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = [mm] \{ v \in \mathbb{R}^4 | v = v_1 + v_2: v_1 \in U_1, v_2 \in U_2 \}$
[/mm]
Seien $k, l [mm] \in \mathbb{R}$:
[/mm]
[mm] $U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = [mm] \{ k\cdot ^t(0,1,1,0) + l\cdot^t(1,0,0,1) \} \cup \{ k\cdot ^t(0,1,1,0) + l\cdot^t(0,1,0,9) \}$
[/mm]
??!?
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Hallo Kartoffelchen,
> Um die Basis zu bestimmen muss ich ja erst einmal wissen,
> was [mm]U_1 + U_2[/mm] sind, nicht wahr?
Naja nicht wirklich. Wenn stets [mm] $U_i=\langle S_i\rangle$, [/mm] dann ist [mm] $\sum U_i=\langle\bigcup S_i\rangle$. [/mm] Also musst du aus der Vereinigung der Erzeugendsysteme nur solange Elemente rauswerfen, bis du ein linear unabhängiges System hast.
Liebe Grüße,
Universelles Objekt
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Hi!
Danke dir.
Wie stelle ich das an? :D
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Hi!
Die Vereinigung bilden oder linear abhängige Elemente aus der Menge rausnehmen?
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Beides. Zumindest komme ich grad nicht so zurecht damit..
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 13:55 Di 03.12.2013 | | Autor: | angela.h.b. |
> Hallo Kartoffelchen,
>
> > Um die Basis zu bestimmen muss ich ja erst einmal wissen,
> > was [mm]U_1 + U_2[/mm] sind, nicht wahr?
>
> Naja nicht wirklich. Wenn stets [mm]U_i=\langle S_i\rangle[/mm],
> dann ist [mm]\sum U_i=\langle\bigcup S_i\rangle[/mm]. Also musst du
> aus der Vereinigung der Erzeugendsysteme nur solange
> Elemente rauswerfen, bis du ein linear unabhängiges System
> hast.
Hallo,
damit kann man eine Bauchlandung erleben:
Nehmen wir mal das EZS [mm] (\vektor{1\\0\\0}, \vektor{1\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1}).
[/mm]
Das ist linear abhängig.
Ich werfe einen Vektor raus und prüfe
[mm] (\vektor{1\\0\\0}, \vektor{1\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0}).
[/mm]
Abhängig.
Ich werfe einen Vektor raus und prüfe
[mm] (\vektor{1\\0\\0}, \vektor{1\\1\\0}).
[/mm]
Unabhängig. Freue mich, stelle fest
[mm] dim(\vektor{1\\0\\0}, \vektor{1\\1\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{0\\0\\1})=2
[/mm]
- und liege auf dem Bauch...
LG Angela
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> Gegeben sind die Untervektorräume
>
> [mm]U_1 = <\{^t(0,1,1,0)\}>[/mm]
> [mm]U_2 = <\{^t(1,0,0,1), ^t(0,1,0,9)\}>[/mm]
>
> [mm]U_3 = <\{^t(1,0,0,1), ^t(0,1,1,0)\}>[/mm]
>
> Gesucht: Basis von [mm]U_1 + U_2[/mm], ... uvm.
> Um die Basis zu bestimmen muss ich ja erst einmal wissen,
> was [mm]U_1 + U_2[/mm] sind, nicht wahr?
Hallo,
auf jeden Fall.
Wenn man die Menge nicht kennt, kann man ja keine Basis bestimmen.
> Und daran scheiterts:
>
> [mm]U_1 + U_2 = \{ v \in \mathbb{R}^4 | v = v_1 + v_2: v_1 \in U_1, v_2 \in U_2 \}[/mm]
Da steht: in [mm] U_1+U_2 [/mm] sind alle vektoren, die man als Summe eines Vektors aus [mm] U_1 [/mm] und eines aus [mm] U_2 [/mm] bekommen kann.
>
Jetzt überlege Dir, wie die [mm] u_1\in U_1 [/mm] aussehen: es sind Vielfache von [mm] \vektor{0\\1\\1\\0},
[/mm]
und die [mm] u_2\in U_2 [/mm] sind Linearkombinationen von [mm] \vekor{1\\0\\0\\1} [/mm] und [mm] \vektor{0\\1\\0\\9}.
[/mm]
Also sind alle Vektoren aus [mm] U_1+U_2 [/mm] von der Bauart
[mm] v=r\vektor{0\\1\\1\\0}+s\vektor{1\\0\\0\\1}+t\vektor{0\\1\\0\\9},
[/mm]
und damit wird augenfällig, daß diese drei Vektoren ein Erzeugendensystem von [mm] U_1+U_2 [/mm] sind.
Du solltest wissen, daß jedes EZS eine Basis enthält, wenn Du das nicht weißt, stürz Dich aus dem Fenster arbeite dies gründlich nach.
So nun gehst Du daher, nimmst einen vom Nullvektor verschiedenen Vektor des EZS.
Ergänzt ihn durch einen weiteren.
Prüfst: sind die beiden unabhängig?
Ja: freuen, den nächsten dazunehmen, die lineare Unabhängigkeit der drei prüfen
Nein: Vektor wegerfen, nächsten probieren.
So lange, bis das EZS "alle" ist.
LG Angela
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