Untervektorräume des R4 < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des R4? Geben Sie in diesem Falle die Dimension und eine Basis an.
a) U1={(1;2-t;s;t)T: s,t R}
b) U2={(t;s;s-t;s+t)T: s,t R}
c)... |
Hallo zusammen!
Ich finde hier nicht mal einen Ansatz. Hab auch schon das Forum durchsucht, aber irgendwie versteh ich die Antworten überhaupt nicht.
Wie geh ich hier vor? Ich weiß, dass es drei Eigenschaften gibt, die erfüllt sein müssen:
1. der Nullvektor ist in der Lösungsmenge enthalten
2. Falls x,y L, so auch x + y L
3. Falls x L und a R, so auch ax L
Für a) Ist das richtig, dass nicht mal die Eigenschaft 1 zutrifft? Der Nullvektor ist doch nicht in der Lösungsmenge enthalten, oder?
Für b) Der Nullvektor ist enthalten, weil t und s Null sein können. Soweit hab ich das dann verstanden. Aber wie mache ich das mit dem addieren? Ist damit gemeint, wenn ich t und s addiere, muss auch t+s im Vektorraum liegen? Was ja in diesem Fall zutreffen würde, oder? Schließlich steht an 4. Stelle ja ein s+t...
Und das mit der 3. Eigenschaft ist mir ein absolutes Rätsel.
Lt. der Lösung die ich hab ist b ein Untervektorraum. Wie berechne ich hier die Dimension und was ist die Basis?
Schon mal vielen Dank für eure Antworten!
ch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Mo 03.07.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Bettina und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Welche der folgenden Mengen sind Untervektorräume des R4?
> Geben Sie in diesem Falle die Dimension und eine Basis an.
> a) U1={(1;2-t;s;t)T: s,t R}
> b) U2={(t;s;s-t;s+t)T: s,t R}
> c)...
> Hallo zusammen!
>
> Ich finde hier nicht mal einen Ansatz. Hab auch schon das
> Forum durchsucht, aber irgendwie versteh ich die Antworten
> überhaupt nicht.
>
> Wie geh ich hier vor? Ich weiß, dass es drei Eigenschaften
> gibt, die erfüllt sein müssen:
> 1. der Nullvektor ist in der Lösungsmenge enthalten
> 2. Falls x,y L, so auch x + y L
> 3. Falls x L und a R, so auch ax L
>
> Für a) Ist das richtig, dass nicht mal die Eigenschaft 1
> zutrifft? Der Nullvektor ist doch nicht in der Lösungsmenge
> enthalten, oder?
Genauso ist es, damit bist du schon durch.
> Für b) Der Nullvektor ist enthalten, weil t und s Null sein
> können. Soweit hab ich das dann verstanden. Aber wie mache
> ich das mit dem addieren? Ist damit gemeint, wenn ich t und
> s addiere, muss auch t+s im Vektorraum liegen? Was ja in
> diesem Fall zutreffen würde, oder? Schließlich steht an 4.
> Stelle ja ein s+t...
Hier hast du anscheinend eine völlig falsche Vorstellung. Damit ist gemeint, daß, wenn ich 2 Vektoren dieses Typs habe, die Summe von beiden auch wieder von diesem Typ ist. Der Typ, also die Bauart, ist hier:
1. Komponente beliebig
2. Komponente beliebig
3. Komponente ist Differenz der 1. und 2.
4. Komponente ist Summe der 1. und 2.
Wenn du 2 solche Vektoren hast, solltest du den 1. hinschreiben als
[mm] (t_{1}, s_{1}, s_{1} [/mm] - [mm] t_{1}, s_{1} [/mm] + [mm] t_{1}) [/mm] und den 2. entsprechend, sie dann addieren und nachweisen, daß das Ergebnis wieder so aufgebaut ist.
Der Raum ist 2dimensional, weil man 2 Parameter frei wählen kann, das solltest du aber formal korrekt mit einer Basis der Länge 2 hinschreiben. Versuch's mal.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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> Hier hast du anscheinend eine völlig falsche Vorstellung.
> Damit ist gemeint, daß, wenn ich 2 Vektoren dieses Typs
> habe, die Summe von beiden auch wieder von diesem Typ ist.
> Der Typ, also die Bauart, ist hier:
> 1. Komponente beliebig
> 2. Komponente beliebig
> 3. Komponente ist Differenz der 1. und 2.
> 4. Komponente ist Summe der 1. und 2.
> Wenn du 2 solche Vektoren hast, solltest du den 1.
> hinschreiben als
> [mm](t_{1}, s_{1}, s_{1}[/mm] - [mm]t_{1}, s_{1}[/mm] + [mm]t_{1})[/mm] und den 2.
> entsprechend, sie dann addieren und nachweisen, daß das
> Ergebnis wieder so aufgebaut ist.
> Der Raum ist 2dimensional, weil man 2 Parameter frei
> wählen kann, das solltest du aber formal korrekt mit einer
> Basis der Länge 2 hinschreiben. Versuch's mal.
Hallo Dieter!
Erst mal vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Aber: Sagen wir es mal so: Ich hab nix verstanden von dem, was ich zitiert habe! Ich habe doch lediglich eine Menge gegeben. U={(t,s,s-t,s+t)T:s,tR} Wie soll ich da 2 Vektoren aufschreiben? Kannst du mir die Rechnung mal aufschreiben?
Gruß Bettina
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Mo 03.07.2006 | | Autor: | statler |
> > Hier hast du anscheinend eine völlig falsche Vorstellung.
> > Damit ist gemeint, daß, wenn ich 2 Vektoren dieses Typs
> > habe, die Summe von beiden auch wieder von diesem Typ ist.
> > Der Typ, also die Bauart, ist hier:
> > 1. Komponente beliebig
> > 2. Komponente beliebig
> > 3. Komponente ist Differenz der 1. und 2.
> > 4. Komponente ist Summe der 1. und 2.
> > Wenn du 2 solche Vektoren hast, solltest du den 1.
> > hinschreiben als
> > [mm](t_{1}, s_{1}, s_{1}[/mm] - [mm]t_{1}, s_{1}[/mm] + [mm]t_{1})[/mm] und den 2.
> > entsprechend, sie dann addieren und nachweisen, daß das
> > Ergebnis wieder so aufgebaut ist.
> > Der Raum ist 2dimensional, weil man 2 Parameter frei
> > wählen kann, das solltest du aber formal korrekt mit einer
> > Basis der Länge 2 hinschreiben. Versuch's mal.
>
> Aber: Sagen wir es mal so: Ich hab nix verstanden von dem,
> was ich zitiert habe! Ich habe doch lediglich eine Menge
> gegeben. U={(t,s,s-t,s+t)T:s,tR} Wie soll ich da 2
> Vektoren aufschreiben? Kannst du mir die Rechnung mal
> aufschreiben?
Also Bettina, das geht so:
( [mm] t_{1} [/mm] , [mm] s_{1} [/mm] , [mm] s_{1}-t_{1} [/mm] , [mm] s_{1}+t_{1} [/mm] ) + ( [mm] t_{2} [/mm] , [mm] s_{2} [/mm] , [mm] s_{2}-t_{2} [/mm] , [mm] s_{2}+t_{2} [/mm] )
= ( [mm] t_{1} [/mm] + [mm] t_{2} [/mm] , [mm] s_{1} [/mm] + [mm] s_{2} [/mm] , [mm] (s_{1} [/mm] - [mm] t_{1}) [/mm] + [mm](s_{2} - t_{2}) , (s_{1}[/mm] + [mm]t_{1}) + (s_{2} + t_{2}))
= ( t_{1} + t_{2} , s_{1} + s_{2} , (s_{1} + s_{2})[/mm] - [mm](t_{1} + t_{2}) , (t_{1}[/mm] + [mm] t_{2}) [/mm] + [mm] (s_{1} [/mm] + [mm] s_{2}))
[/mm]
Gruß
Dieter
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Hallo Dieter.
Danke für deine Antwort. Hab es für den Aufgabenteil verstanden.
In meiner Lösung bei Aufgabenteil c) ist U3={(t,s,t², s+t)T: s,t, R} kein Untervektorraum. Das versteh ich jetzt aber nicht, hab es genauso gerechnet, wie in deiner Rechnung und das Ergebnis müsste doch auch in der Lösungsmenge liegen, oder?
Gruß
Bettina
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:15 Mo 03.07.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Bettina,
vorab eine kleine Anmerkung zur Formulierung: "Lösungsmenge" ist hier vielleicht ein etwas unglücklicher Begriff, denn es gibt ja gar keine Gleichung, die zu "lösen" wäre, sondern es sind einfach irgendwelche Mengen von Vektoren vorgegeben. Ein einfaches "Menge" ist deswegen vielleicht angebrachter.
Dann zu Deiner Frage:
Habe ich dich jetzt richtig verstanden: du hast wie in Dieters Beispiel einfach mal zwei Vektoren aus der Menge [mm] U_3 [/mm] genommen, diese addiert und festgestellt, dass das Ergebnis nicht in [mm] U_3 [/mm] liegt?
Dann hast Du diese Aufgabe damit ja auch schon gelöst, denn dann ist ja Deine Bedingung 2. von oben nicht erfüllt, also ist [mm] U_3 [/mm] kein Untervektorraum.
Grundsätzlich müssen die 3 Regeln aus Deinem ersten post ja nicht für alle möglichen Mengen gelten (wie Du bei Aufgabe a) ja schon festegstellt hast), aber wenn eine Menge eine dieser Regeln verletzt, dann darf man sie eben nicht Untervektorraum nennen.
Gruß
piet
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Hallo Piet!
Ich hab das gerechnet, was Dieter gesagt hat, aber meiner Meinung nach liegt das Ergebnis in der Menge...
Aber in der Lösung heißt es halt, dass der Raum kein Untervektorraum ist.
Lt. meiner Rechnung müsste er es aber sein. Da ich in den Lösungen, die wir vom Prof. bekommen haben, schon öfters Fehler festgestellt habe, wäre ich dankbar, wenn jemand, der mehr Ahnung hat als ich, das mal nachrechnen könnte und mir, wenn ich falsch liege nochmals erläuten kann, warum das Ergebnis nicht in der Menge liegt.
Besten Dank
Bettina
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:11 Mo 03.07.2006 | | Autor: | piet.t |
Hallo Bettina,
die Lösung hat in dem Fall schon recht. Hast Du auch berücksichtigt, dass [mm] t_1^2 + t_2^2 \not= (t_1 + t_2)^2[/mm]?
Wenn's das nicht war postest Du am besten mal Deinen Rechenweg, wenn zwei (oder mehr) das gleiche sehen redet es sich leichter darüber 
Gruß
piet
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