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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Guten Abend alle zusammen!
hab mal ne frage, ob folgende überlegungen richtig sind bzw. wie ich sie an manchen stellen noch ergänzen kann.
ich soll beweisen bzw. widerlegen, ob es sich bei folgenden mengen um einen untervektorraum des angegebenen vektorraums handelt.
a) [mm] \{ (a,b,c) \in \IR^{3} |a=b=2c \} \le \IR^{3}
[/mm]
also ich hab erstmal den nullvektor nachgewiesen [mm] \vektor{x \\ y\\ z}=\vektor{0 \\ 0\\ 0} [/mm] d.h. x=0,y=0,z=0
einsetzten in bedingung: 0=0=2*0
dann die abgeschlossenheit bzgl. addition:
r= [mm] \vektor{x1 \\ y1\\ z1} [/mm] mit x1=y1=2z1
[mm] s=\vektor{x2 \\ y2\\ z2} [/mm] mit x2=y2=2z2
[mm] \vektor{x1 \\ y1\\ z1} [/mm] + [mm] \vektor{x2 \\ y2\\ z2}
[/mm]
behauptung x1+x2=y1+y2=2z1+2z2
mit einsetzen der obigen bedingungen x1=y1=2z1 und x2=y2=2z2
ergibt sich x1+y1=x1+y1=x1+y1 daher würde ich sagen, es ist kein UVR
b) [mm] \{ (x1,x2) \in \IR^{2} | x1^{2}+x2^{4}=0 \} \le \IR^{2}
[/mm]
nachweis nullvektor: [mm] \vektor{x \\ y}= \vektor{0 \\ 0}, [/mm] d.h. x=0,y=0
einsetzen in die bedingung [mm] x1^{2}+x2^{4}=0^{2}+0^{4}=0
[/mm]
dann abgeschlossenheit der addition
[mm] r=\vektor{x1 \\ y1}
[/mm]
[mm] s=\vektor{x 2\\ y2} summe:\vektor{x1 \\ y1}+\vektor{x 2\\ y2}
[/mm]
behauptung: [mm] (x1+x2)^{2}+(y1+y2)^{4}=0
[/mm]
klammer [mm] auflösen:x1^{2}+ x2^{2}+2x1x2+y1 ^{4}+4y1^{3}y2+6y1^{2} y2^{2}+4y1y2^{3}+y2^{4}
[/mm]
da laut bedingung [mm] x1^{2}+x2^{4}=0 [/mm] bleiben nur noch folgenden summanden stehen:
[mm] 4y1^{3}y2+6y1^{2} y2^{2}+4y1^{3}y2+2x1x2
[/mm]
aber wie mache ich hier jetzt weiter? ich glaub mal es ist ein UVR
c) [mm] \{ (a+b,b^{2}) \in \IR^{2} |a,b \in \IR \} \le \IR^{2}
[/mm]
hier weiß ich gar nicht so recht, wie ich das anstellen soll!!!!
d) [mm] \{f \in \IR^{ \IR} |für alle x \in \IR:f(x)=f(-x) \} \le \IR^{\IR}
[/mm]
nullfunktion: f(0)=f(-0)
addition: f+f: (f+f)(x)=f(x)+f(-x)=f(0)
skalarmultiplikation: [mm] \lambda*f:( \lambda*f)(x)= \lambda*f(x)
[/mm]
[mm] (\lambda*f)(-x)= \lambda*f(-x)
[/mm]
also ist es meiner meinung nach ein UVR
ich gebe zu, alles noch sehr kückenhaft, aber ich hoffe ihr könnt mir helfen
liebe grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Franziska!
> mit einsetzen der obigen bedingungen x1=y1=2z1 und x2=y2=2z2
> ergibt sich x1+y1=x1+y1=x1+y1 daher würde ich sagen, es ist kein UVR
Das verstehe ich nicht. Addierst du die beiden Gleichungsreihen, erhältst du genau [mm] $x_1+x_2=y_1+y_2=2(z_1+z_2)$, [/mm] d.h. der Vektor [mm] $\vektor{x_1+x_2\\ y_1+y_2\\ z_1+z_2}$ [/mm] liegt wieder in $U$! Es bleibt also noch die Abgeschlossenheit bezüglich der Multiplikation mit Skalaren nachzuweisen.
> b) $ [mm] \{ (x1,x2) \in \IR^{2} | x1^{2}+x2^{4}=0 \} \le \IR^{2} [/mm] $
Hier solltest du nachdenken, bevor du groß rechnest. Es ist [mm] $x_1^2+x_2^4$ [/mm] stets größer gleich 0 und genau dann gilt Gleichheit, wenn [mm] $x_1=x_2=0$ [/mm] gilt. Die Menge besteht also nur aus dem Nullvektor, ist also ein trivialer Unterraum des [mm] $\IR^2$.
[/mm]
> c) $ [mm] \{ (a+b,b^{2}) \in \IR^{2} |a,b \in \IR \} \le \IR^{2} [/mm] $
> hier weiß ich gar nicht so recht, wie ich das anstellen soll!!!!
Die zweite Komponente eines Vektors dieser Menge ist stets nicht-negativ. Allerdings muss, wenn durch die Menge ein Unterraum gegeben ist, auch mit jedem Vektor $v$ der Menge auch $-v$ in der Menge liegen. War die zweite Komponente in $v$ allerdings echt größer als 0, so ist sie in $-v$ echt kleiner als 0 und $-v$ kann somit nicht in der gegebenen Menge liegen, letztere insbesondere also keinen Unterraum beschreiben. Ein solcher Vektor $v$ ist schnell gefunden: nimm beispielsweise [mm] $(1+1,1^2)=(2,1)$; [/mm] der Vektor $(-2,-1)$ kann nicht in der Menge liegen, da es kein [mm] $b\in \IR$ [/mm] mit [mm] $b^2=-1$ [/mm] gibt.
> d) $ [mm] \{f \in \IR^{ \IR} |für alle x \in \IR:f(x)=f(-x) \} \le \IR^{\IR} [/mm] $
> nullfunktion: f(0)=f(-0)
Es sei [mm] $0\in \IR^{\IR}$ [/mm] die Nullfunktion. Dann ist $0(x)=0=0(-x)$ für alle [mm] $x\in \IR$. [/mm] Also liegt die Nullabbildung in der beschriebenen Menge.
> addition: f+f: (f+f)(x)=f(x)+f(-x)=f(0)
Das verstehe ich nicht. Nimm dir $f,g$ mit $f(x)=f(-x), g(x)=g(-x)$ für alle [mm] $x\in \IR$. [/mm] Dann ist nachzuweisen, dass auch $(f+g)(x)=(f+g)(-x)$ für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] gilt. Dazu schreibst du $(f+g)(x)$ einfach aus und wendest $f(x)=f(-x), g(x)=g(-x)$ an.
> skalarmultiplikation: $ [mm] \lambda\cdot{}f:( \lambda\cdot{}f)(x)= \lambda\cdot{}f(x) [/mm] $
$ [mm] (\lambda\cdot{}f)(-x)= \lambda\cdot{}f(-x) [/mm] $
Hier ist die Reihenfolge nicht korrekt. Es muss [mm] $(\lambda f)(x)=\lamba [/mm] f(x) = [mm] \lambda [/mm] f(-x) = [mm] (\lambda [/mm] f)(-x)$ heißen.
Also ist durch die Menge tatsächlich ein Unterraum des [mm] $\IR^{\IR}$ [/mm] gegeben.
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Do 17.11.2005 | | Autor: | Franzie |
Hallo nochmal!
ich hänge bei folgendem nachweis eines untevektorraumes noch an der abgeschlossenheit bezüglich skalarmultiplikation:
[mm] \{ (a,b,c) \in \IR^{3}| a=b=2c \} \le \IR^{3}
[/mm]
wenn ich jetzt den vektor [mm] \vektor{x 1\\ y1 \\ z1}* \lambda= \vektor{x2 \\ y2 \\ z2}* \lambda=2*\vektor{x3 \\ y3 \\ z3}* \lambda [/mm] oder wie bau ich jetzt da die bedingung a=b=2c ein?
liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:23 Fr 18.11.2005 | | Autor: | Sigrid |
Hallo Franzie,
> Hallo nochmal!
> ich hänge bei folgendem nachweis eines untevektorraumes
> noch an der abgeschlossenheit bezüglich
> skalarmultiplikation:
> [mm]\{ (a,b,c) \in \IR^{3}| a=b=2c \} \le \IR^{3}[/mm]
> wenn
> ich jetzt den vektor [mm]\vektor{x 1\\ y1 \\ z1}* \lambda= \vektor{x2 \\ y2 \\ z2}* \lambda=2*\vektor{x3 \\ y3 \\ z3}* \lambda[/mm]
Wie kommst du denn darauf?
Es gilt doch
[mm] \lambda \vektor{x \\ y \\ z} = \vektor{\lambda\ x\\ \lambda\ y \\ \lambda\ z} [/mm]
Du weißt, dass x=y=2z
Jetzt kommst du sicher alleine weiter.
Gruß
Sigrid
> oder wie bau ich jetzt da die bedingung a=b=2c ein?
>
> liebe grüße
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