Untervektorraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 So 31.10.2010 | | Autor: | Skittles |
| Aufgabe | V ist Vektorraum der stetigen Funktionen über R nach R über dem Körper R
Addition von Funktionen, Multiplikation mit Skalaren werden punktweise auf den Funktionswert definiert.
Welche der Teilmengen sind Untervektorräume von V?
{f € V | f(-1) = f(1)} |
Hallo ich bin ganz neu auf dem Gebiet und hab bis jetzt noch keinen Schimmer wie ich solch eine Aufgabe überhaupt angehen kann.
Die Axiome für einen Untervektorraum sind mir klar.
1) Untervektorraum darf nicht leere Menge sein
2) Abgeschlossenheit gegenüber Addition
3) Abgeschlossenheit gegenüber Multiplikation
Wie kann ich denn jetzt für die gegebene Funktion zeigen, dass das gilt?
Bei Vektoren wüsste ich was ich tun muss. Aber bei Funktionen??
Irgendwie verwirrt mich, dass auf einmal Funktionen auftauchen.
Vielleicht könnt ihr mir ja für die eine Aufgabe mal zeigen wie soetwas geht. Die anderen möchte ich dann gerne alleine lösen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 So 31.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> V ist Vektorraum der stetigen Funktionen über R nach R
> über dem Körper R
> Addition von Funktionen, Multiplikation mit Skalaren
> werden punktweise auf den Funktionswert definiert.
> Welche der Teilmengen sind Untervektorräume von V?
>
> {f € V | f(-1) = f(1)}
Sei U:= {f € V | f(-1) = f(1)}
> Hallo ich bin ganz neu auf dem Gebiet und hab bis jetzt
> noch keinen Schimmer wie ich solch eine Aufgabe überhaupt
> angehen kann.
> Die Axiome für einen Untervektorraum sind mir klar.
> 1) Untervektorraum darf nicht leere Menge sein
Ja, und welche Funktion liegt mit sicher heit in U ?
> 2) Abgeschlossenheit gegenüber Addition
Nimm f,g [mm] \in [/mm] U und berechene (f+g)(1) und (f+g)(-1)
Ist (f+g)(1) = (f+g)(-1) ? Wenn ja, so ist f+g [mm] \in [/mm] U
> 3) Abgeschlossenheit gegenüber Multiplikation
Nimm f [mm] \in [/mm] U und [mm] \alpha \in \IR. [/mm] Berechne [mm] (\alpha [/mm] f)(1) und [mm] (\alpha [/mm] f)(-1)
Ist [mm] (\alpha [/mm] f)(1) = [mm] (\alpha [/mm] f)(-1) ?
FRED
> Wie kann ich denn jetzt für die gegebene Funktion zeigen,
> dass das gilt?
> Bei Vektoren wüsste ich was ich tun muss. Aber bei
> Funktionen??
> Irgendwie verwirrt mich, dass auf einmal Funktionen
> auftauchen.
> Vielleicht könnt ihr mir ja für die eine Aufgabe mal
> zeigen wie soetwas geht. Die anderen möchte ich dann gerne
> alleine lösen.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
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Also mein Problem besteht jetzt noch darin, dass ich immer noch nicht weiß wie ich mit den Funktionen Arbeiten soll. Ich weiß weder wie weit der Vektorraum geht, noch weiß ich welche Elemente zu ihm gehören, oder wie ich das ohne jegliche Angabe von Zahlen oder konkreten Funktionen lösen soll.
Ich bin ebenfalls ein purer Anfänger auf diesem Gebiet und würde mich sehr über eine detailliertere und vielleicht sogar mit Lösung sehr freuen. Einfach um vielleicht einfach mal zu verstehen worum es eigentlich geht und wie es anzugehen ist.
MfG Monchichu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:02 So 31.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein Begriff von Vektorraum ist zu sehr von Zahlentripeln usw. geprägt. ein die Elemente eines Vektorraums müssen wirklich nur die Axiome des VR erfüllen. da braucht es keine Zahlen.
Du musst also nur fesstellen ob die erfüllt sind.
Du sagst du kennst die Axiome, warum überprüftst du sie nicht einfach?
Dass die set. Fkt einen VR bilden musst du gar nicht mehr beweisen. Daa wird schon vorrausgesetzt.
also Nimm dir die Axiome vor und geh sie einzeln durch, wie Addition umd Mult. mit Skalar erklärt sind, wurde definiert.
Es ist wirklich wichtig, zu verstehen, dass ein Vektorraum etwas abstraktes ist, aber man später für all die objekte die man als elemente von VR identifiziern kann alle Gesetze, die man allgemein bewiesen hat gelten.
Komm also von der Vorstellung der "Pfeilchen" die durch Zahlen gegeben sind runter,
Also schreibs auf und wir kontrollieren, es ist einfacher als di denkst.
Gruss leduart
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Also okee mein Lösungsansatz wäre jetzt folgender:
Da [mm] f\inV [/mm] ist, ist auch der Nullvektor von V in f enthalten und damit ist die Teilmenge nicht leer.
(f+g)(-1)=(f+g)(1)
f(-1)+g(-1)=f(1)+g(1)
-2=2
2-2=0
damit abgeschlossen gegenüber Addition
[mm] (\lambda*f)(-1)=(\lambda*f)(1)
[/mm]
1*-1=1*1
1-1=0
damit abgeschlossen gegenüber Multiplikation
Alle Axiome erfüllt, damit ist A ein Unterraum von V
Würde mich sehr freuen wenn hier jemand drüber gucken könnte und mir sagen kann ob der Lösungsansatz so richtig ist.
Wenn nicht bitte ich um Verbesserung.
MfG monchichu
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Hiho,
> Da [mm]f\inV[/mm] ist, ist auch der Nullvektor von V in f enthalten
> und damit ist die Teilmenge nicht leer.
genau!
> (f+g)(-1)=(f+g)(1)
> f(-1)+g(-1)=f(1)+g(1)
Bis hierhin prima, zusammengefasst in einer Gleichung kann man das auch so schreiben:
$(f+g)(-1) = f(-1) + g(-1) = f(1) + g(1) = (f+g)(1)$
> -2=2
> 2-2=0
Wo kommt das jetzt her? Abgesehen von der falschen Umformung macht das hier gerade keinen Sinn.
Ich vermute mal, du hattest noch gar nicht verstanden, was du eigentlich zeigen solltest.
Überleg dir mal, wieso meine Gleichungskette gilt und wieso daraus folgt, dass $f+g [mm] \in [/mm] U$
Das mit der Multiplikation machst dann nochmal
MFG,
Gono.
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Ohh ja wie Recht du hast.
Ich habe keinen blassen Schimmer was ich machen soll und vor allem warum deine Gleichungskette korrekt ist und wieso f+g [mm] \in [/mm] V gilt.
Von der Multiplikation mal ganz abgesehen, da ist das mit dem Verständnis noch schlimmer.
Bitte Bitte helft mir. Ich habe von den Aufgaben noch 4 vor mir und verstehe einfach mal nur Bahnhof.
MfG monchichu
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Du wurdest doch schon darauf hingewiesen, was du prüfen musst.
Mal ein paar Fragen, Schritt für Schritt.
Wenn du die beantwortest, hast du es eigentlich geschafft.
1.) Unter welcher Bedingung liegt eine Funktion in U?
2.) Wann gilt also (f+g) [mm] \in [/mm] U?
3.) Wie ist die Addition in V definiert, also wie berechnet man (f+g)(x) mithilfe von f und g?
4.) Wie kannst du (f+g) [mm] \in [/mm] U nun also zeigen, indem du das wissen verwendest, dass f und g in U liegen (also was für f und g bereits gilt)
MFG,
Gono.
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> Du wurdest doch schon darauf hingewiesen, was du prüfen
> musst.
>
> Mal ein paar Fragen, Schritt für Schritt.
> Wenn du die beantwortest, hast du es eigentlich
> geschafft.
>
> 1.) Unter welcher Bedingung liegt eine Funktion in U?
Es gibt ein Inverses Element zu f, so das der Nullvektor entsteht?
> 2.) Wann gilt also (f+g) [mm]\in[/mm] U?
Wenn g das Inverse Element zu f ist?
> 3.) Wie ist die Addition in V definiert, also wie
> berechnet man (f+g)(x) mithilfe von f und g?
f(x)+g(x)
> 4.) Wie kannst du (f+g) [mm]\in[/mm] U nun also zeigen, indem du
> das wissen verwendest, dass f und g in U liegen (also was
> für f und g bereits gilt)
Ich habe keine Ahnung
>
> MFG,
> Gono.
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Hiho,
> > 1.) Unter welcher Bedingung liegt eine Funktion in U?
> Es gibt ein Inverses Element zu f, so das der Nullvektor
> entsteht?
ich glaub du hast U falsch verstanden.
U enthält alle Funktionen, für die gilt $f(1) = f(-1)$, d.h. der Funktionswert an der Stelle 1 ist gleich dem Funktionswert an der Stelle -1.
Beispiele dafür wären bspw. $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] oder $f(x) = [mm] \cos(x)$
[/mm]
Etwas klarer nun, was gemeint ist?
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Also okee 2. Lösungsansatz wäre jetzt folgender:
Da ist, ist auch der Nullvektor von V in f enthalten und damit ist die Teilmenge nicht leer.
(f+g)(-1) = f(-1)+g(-1) = f(1)+g(1) = (f+g)(1)
damit abgeschlossen gegenüber Addition
f+g [mm] \in [/mm] V da g an Stelle -1 den gleichen Wert hat wie an 1
[mm] (\lambda [/mm] * f)(-1) = f(-1) = f(1) = [mm] (\lambda [/mm] * f)(1)
[mm] \lambda [/mm] := neutrales Element (hier 1)
damit abgeschlossen gegenüber Multiplikation
Alle Axiome erfüllt, damit ist A ein Unterraum von V
Wie sehe es mit diesem Lösungsansatz aus?
MfG monchichu
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Hiho,
> (f+g)(-1) = f(-1)+g(-1) = f(1)+g(1) = (f+g)(1)
>
> damit abgeschlossen gegenüber Addition
> f+g [mm]\in[/mm] V da g an Stelle -1 den gleichen Wert hat wie an 1
Hm, wieso gilt denn nun das mittlere Gleichheitszeichen? Deine Begründung reicht dafür nicht aus.
> [mm](\lambda[/mm] * f)(-1) = f(-1) = f(1) = [mm](\lambda[/mm] * f)(1)
> [mm]\lambda[/mm] := neutrales Element (hier 1)
> damit abgeschlossen gegenüber Multiplikation
Es muss doch abgeschlossenheit für ALLE skalaren [mm] \lambda [/mm] gelten, nicht nur fürs neutrale Element!
Ergo: Immer noch nicht verstanden !?
MFG,
Gono.
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> Hiho,
>
> > (f+g)(-1) = f(-1)+g(-1) = f(1)+g(1) = (f+g)(1)
> >
> > damit abgeschlossen gegenüber Addition
> > f+g [mm]\in[/mm] V da g an Stelle -1 den gleichen Wert hat wie an 1
>
> Hm, wieso gilt denn nun das mittlere Gleichheitszeichen?
> Deine Begründung reicht dafür nicht aus.
Das mittlere Gleichheitszeichen gilt weil, das Verhältnis um das sich der Graph ändert gleich bleibt.
>
> > [mm](\lambda[/mm] * f)(-1) = f(-1) = f(1) = [mm](\lambda[/mm] * f)(1)
> > [mm]\lambda[/mm] := neutrales Element (hier 1)
> > damit abgeschlossen gegenüber Multiplikation
>
> Es muss doch abgeschlossenheit für ALLE skalaren [mm]\lambda[/mm]
> gelten, nicht nur fürs neutrale Element!
>
> Ergo: Immer noch nicht verstanden !?
Stimmt...aber wenn Lambda nicht das neutrale Element ist und sich das Verhältnis in Relation zu einander ändert, ist es dann trotz alle dem abgeschlossen? Wenn ja wann ist es nicht abgeschlossen?
>
> MFG,
> Gono.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:10 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Hiho,
> >
> > > (f+g)(-1) = f(-1)+g(-1) = f(1)+g(1) = (f+g)(1)
> > >
> > > damit abgeschlossen gegenüber Addition
> > > f+g [mm]\in[/mm] V da g an Stelle -1 den gleichen Wert hat wie an 1
> >
> > Hm, wieso gilt denn nun das mittlere Gleichheitszeichen?
> > Deine Begründung reicht dafür nicht aus.
> Das mittlere Gleichheitszeichen gilt weil, das Verhältnis
> um das sich der Graph ändert gleich bleibt.
Mann oh mann. Das mittlere Gleicheitszeichen gilt, weil f(1)=f(-1) und g(1)=g(-1)
>
> >
> > > [mm](\lambda[/mm] * f)(-1) = f(-1) = f(1) = [mm](\lambda[/mm] * f)(1)
> > > [mm]\lambda[/mm] := neutrales Element (hier 1)
> > > damit abgeschlossen gegenüber Multiplikation
> >
> > Es muss doch abgeschlossenheit für ALLE skalaren [mm]\lambda[/mm]
> > gelten, nicht nur fürs neutrale Element!
> >
> > Ergo: Immer noch nicht verstanden !?
> Stimmt...aber wenn Lambda nicht das neutrale Element ist
> und sich das Verhältnis in Relation zu einander ändert,
> ist es dann trotz alle dem abgeschlossen? Wenn ja wann ist
> es nicht abgeschlossen?
Wenn f(1)=f(-1), dann ist doch auch
[mm] \lambda*f(1)= \lambda*f(-1)
[/mm]
für jedes [mm] \lambda [/mm] !!!
FRED
>
> >
> > MFG,
> > Gono.
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Hey Danke, hab es jetzt verstanden, aber eine Frage habe ich noch. Wie sieht das aus wenn dies gegeben ist?
[mm] {(f(-1))}^2 [/mm] = [mm] {(f(1))}^2
[/mm]
gilt dann:
[mm] {((f+g)(-1))}^2 [/mm] = [mm] {(f(-1))}^2 [/mm] + [mm] {(g(-1))}^2 [/mm] = [mm] {(f(1))}^2 [/mm] + [mm] {(g(1))}^2 [/mm] = [mm] {((f+g)(1))}^2
[/mm]
???
Und bei der Multiplikation:
[mm] \lambda {(f(-1))}^2 [/mm] = [mm] \lambda {(f(1))}^2
[/mm]
ebenfalls für alle gleich?
MfG monchichu
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:13 Mo 01.11.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hey Danke, hab es jetzt verstanden, aber eine Frage habe
> ich noch. Wie sieht das aus wenn dies gegeben ist?
>
> [mm]{(f(-1))}^2[/mm] = [mm]{(f(1))}^2[/mm]
>
> gilt dann:
>
> [mm]{((f+g)(-1))}^2[/mm] = [mm]{(f(-1))}^2[/mm] + [mm]{(g(-1))}^2[/mm] = [mm]{(f(1))}^2[/mm] +
> [mm]{(g(1))}^2[/mm] = [mm]{((f+g)(1))}^2[/mm]
>
> ???
Au Backe !
[mm] ((f+g)(-1))^2=(f(-1)+g(-1))^2
[/mm]
Binomische Formel !!!
>
> Und bei der Multiplikation:
>
> [mm]\lambda {(f(-1))}^2[/mm] = [mm]\lambda {(f(1))}^2[/mm]
> ebenfalls für
> alle gleich?
>
> MfG monchichu
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Stimmt, jetzt wo du es sagst.
Aber mal noch eine Frage, woher weiß wann zum Beispiel g(x)=g(-x) ist? Also so das die addition abgeschlossen ist? Oder ist das mit dem x mehr oder minder egal?
Wie wäre das denn bei f(-1)=-f(1)?
Das wäre doch dann:
(f+g)(-1)=(g-f)(1)
f(-1)+g(-1) = g(1)-f(1)
Ist das dann auch gleicn? Wenn ja warum?
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Hallo monchichu,
> Stimmt, jetzt wo du es sagst.
> Aber mal noch eine Frage, woher weiß wann zum Beispiel
> g(x)=g(-x) ist?
Das sind sog. "gerade" Funktionen
> Also so das die addition abgeschlossen ist?
> Oder ist das mit dem x mehr oder minder egal?
Ich verstehe die Frage überhaupt nicht!
Die Funktion [mm]g[/mm] ist doch in der Menge [mm]U[/mm], und [mm]U[/mm] hat doch gerade als definierende Eigenschaft: [mm]g(1)=g(-1)[/mm]
>
> Wie wäre das denn bei f(-1)=-f(1)?
> Das wäre doch dann:
> (f+g)(-1)=(g-f)(1)
?? Warum ??
Benutze doch die Definitionen:
[mm]\red{(f+g)(-1)}=f(-1)+g(-1)[/mm] (punktweise) Addition von Funktionen
[mm]=-f(1)+(-g(1))=-f(1)-g(1)=-(f(1)+g(1))=\red{-(f+g)(1)}[/mm]
Also erfüllt die Funktion [mm]f+g[/mm] genau die definierende Eigenschaft, die du oben genannt hast (und die ich rot markiert habe).
> f(-1)+g(-1) = g(1)-f(1)
> Ist das dann auch gleicn? Wenn ja warum?
Ich habe keinen Schimmer, was du da treibst ...
Du solltest deine Gedanken vor dem Aufschreiben ordnen!
Gruß
schachuzipus
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Deine Gleichung leuchtet ein und vlt habe ich mich ein wenig blöd ausgedrückt aber ich wollte wissen welche funktion g hat und wann ich erkenne ob es abgeschlossen ist oder nicnt und das gleiche gilt für die multiplikation. Wann ist es gegen multiplikation abgeschlossen? Wenn es ein lambda gibt das auf beide f wirkt?
Tut mir leid das ich so schwer von verständnis bin aber mir wurde das so vor den kopf geknallt ohne das ich davon je was gehört habe und daher habe ich grade kein verständnis dafür. Für mich war vektorrechnung immer etwas reales und nichts akstraktes
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mo 01.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast immer noch Schwierigkeiten, dir den Unterraum von stetigen Funktionen mit f(-1)=f(1) vorzustellen. Das sind unendlich viele funktionen, sogar nicht abzählbar viele Funktionen.
Mal mal ein Koordinatensstem auf. markiere bei x=-1 und x=+1 einen Punkt y=r
jetz fang an zu trudeln, d.h. du malst beliebige funktionsverläufe ein, einzige Bedingung die gehen alle durch die Punkte (-1,r) und (1,r)
ich hoffe du kannst mit Leichtigkeit 10 völlig verschiedene graphen da durch malen und dir danach vorstellen dass es allein durch die 2 Punkte unendlich vile Graphen und damit funktionen gibt, für die gilt jetzt für all f(-1)=f(+1)(=r)
wenn du ein anderes r=r2 wählst gibts wieder unendliche viele fkt. mit f(-1)=f(+1) diesmal =r2
du kannst durch jeden pkt unendlich viel Funktionen malen, die in dem Unterraum liegen, und dann hast du noch unendlich viele Punkte, d.h.r
du hast um einfacher schreiben zu können eine beliebige von diesen unendlich vielen fkt mit g(x) eine ndere mit f(x) bezeichnet. Du hast nur benutzt dass f(-1)=f(+1) und g(-1)=g(+1) ist und gezeigt, dass dann für f+g wieder gilt, das (f+g)(+1)=(f+g)(-1) gilt.
Zum Vorstellen nimm eine der Funktionen, die du durch r1 gezeichnet hast als f und eine durch r2 als g. addier sie, dann geht die Summe durch r1+r2 bei x=-1 und x=+1 die Summe ist also wieder bei +1 und -1 gleich. mch dasselbe mit mult. das Produkt der Fkt geht dann bei + und -1 durch r1*r2 also wieder gleich.
Bei der 0 hast du vergessen: die Funktion [mm] f_0(x)=0 [/mm] erfüllt die Bedingung f(-1)=f(+1) und ein beliebiges f gilt f+ [mm] f_0 [/mm] =f
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:19 Mo 01.11.2010 | | Autor: | monchichu |
Dankeschön...du bist für mich jetzt der Erklärgott
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