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Forum "Lineare Algebra Sonstiges" - Untervektorraum Basis
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Untervektorraum Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:41 Mi 10.04.2019
Autor: rubi

Aufgabe
Gegeben sind die Vektoren des Vektorraums [mm] K^5 [/mm] über dem Körper K:
[mm] a1=\vektor{1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, a2=\vektor{0 \\ 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0}, a3=\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, a4=\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \\ 1}, a5=\vektor{1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 1} [/mm]

Bestimme die Dimension des Untervektorraums U = span({a1,...,a5}) für K = [mm] \IR [/mm] und für K = [mm] \IF_2 [/mm] und gib jeweils eine Basis von U an.

Hallo zusammen,

hier mein Lösungsansatz für K = [mm] \IR: [/mm]

Die Vektormatrix
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 } [/mm]
ergibt mit Gauß umgeformt
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

Daraus ergibt sich dim(U) = 4.

Wie komme ich jetzt möglichst schnell auf die Basis von U ?
Ich habe nun versucht, einen der Vektoren durch die anderen 4 Vektoren darzustellen.
Mit a1,a2,a3,a4 konnte ich a5 nicht darstellen.
Allerdings konnte ich mit a1, a2, a3, a5 den Vektor  a4 darstellen.
Daher vermute ich, dass a1, a2, a3 und a5 eine Basis von U darstellen.
Ist dies korrekt ?
Gibt es eine einfachere Möglichkeit, auf die Basis zu kommen oder muss ich tatsächlich ausprobieren, welcher der Vektoren durch die anderen dargestellt werden können ?

Nun zu K = [mm] \IF_{2} [/mm]
Hier ist 1 = [mm] \overline{1} [/mm] und 0 = [mm] \overline{0}. [/mm]

Hier komme ich mit Gauß auf folgende Matrix:

[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

Daraus entnehme ich, dass dim (U) = 3 ist (Anzahl der Nichtnullzeilen).
Ist dies auch im F2 korrekt ?
Auch hier stellt sich die Frage mit der Basis.
Soll ich jetzt einfach drei Vektoren von a1 - a5 auswählen und probieren, ob sich die anderen beiden Vektoren darstellen lassen.

Vielen Dank für eure Antworten.

Viele Grüße
Rubi



        
Bezug
Untervektorraum Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:29 Mi 10.04.2019
Autor: ChopSuey

Du kannst es dir wesentlich einfacher machen, wenn du die Vektoren, die den Untervektorraum $U$ erzeugen, als Zeilen einer Matrix darstellst und den Gauß-Algorithmus anwendest.

Die Zeilen einer Matrix in Stufenform (also nach Anwendung des Gauß-Algorithmus'), die nicht verschwinden, sind linear unabhängig.

Der Vorteil gegenüber deiner Methode ist, dass du nicht nur den Rang, sondern auch direkt eine Basis findest.

LG,
ChopSuey


Bezug
        
Bezug
Untervektorraum Basis: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:23 Mi 10.04.2019
Autor: rubi

Hallo zusammen,

ich habe nun die Vekoren a1 - a5 zeilenweise in die Matrix geschrieben und dann Gauß angewandt und folgende Matrix erhalten:

[mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 } [/mm]

Heisst das jetzt, dass die ersten 4 Zeilenvektoren eine Basis von U sind ?

Viele Grüße
Rubi

Bezug
                
Bezug
Untervektorraum Basis: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:27 Do 11.04.2019
Autor: fred97


> Hallo zusammen,
>
> ich habe nun die Vekoren a1 - a5 zeilenweise in die Matrix
> geschrieben und dann Gauß angewandt und folgende Matrix
> erhalten:
>
> [mm]\pmat{ 1 & 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }[/mm]
>  
> Heisst das jetzt, dass die ersten 4 Zeilenvektoren eine
> Basis von U sind ?

Im Falle [mm] F=\IR, [/mm] ja.

>  
> Viele Grüße
>  Rubi


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