Untervektorraum, Dualraum < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Do 17.11.2011 | | Autor: | Voij |
| Aufgabe | Sei V ein K-Vektorraum. Für einen Unterraum U von V sei
[mm] U^{0} [/mm] := {f [mm] \in [/mm] V* ;f(u)=0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in [/mm] U }
Zeigen Sie, dass [mm] U^{0} [/mm] ein Untervektorraum von V* ist, sowie dass für Teilräume [mm] U_{1}, U_{2} [/mm] von V gilt:
(i) [mm] (U_{1} \cap U_{2})^{0} [/mm] = [mm] U_{1}^{0} [/mm] + [mm] U_{2}^{0}.
[/mm]
(ii) Wenn V = [mm] U_{1} \oplus U_{2} [/mm] ist, dann gilt V* = [mm] U_{1}^{0} \oplus U_{2}^{0} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe ein Problem mit der Aufgabe (i).
Nach Definition gilt doch:
[mm] (U_{1} \cap U_{2})^{0} [/mm] := {f [mm] \in [/mm] V* ;f(u)=0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in U_{1} \cap U_{2} [/mm] }
[mm] U_{1}^{0} [/mm] := {f [mm] \in [/mm] V* ;f(u)=0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in U_{1} [/mm] }
[mm] U_{2}^{0} [/mm] := {f [mm] \in [/mm] V* ;f(u)=0 [mm] \forall [/mm] u [mm] \in U_{2} [/mm] }
Wenn ich jetzt eine Abbildung f finde, für die f(v)=0 für alle u in [mm] U_{2}, [/mm] aber v ist nicht Element von [mm] U_{1}, [/mm] dann besäße doch die zweite Menge ein Element mehr als die erste.
Oder habe ich da jetzt einen schweren Fehler drin? Würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
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> Sei V ein K-Vektorraum. Für einen Unterraum U von V sei
> [mm]U^{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {f [mm]\in[/mm] V* ;f(u)=0 [mm]\forall[/mm] u [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U }
> Zeigen Sie, dass [mm]U^{0}[/mm] ein Untervektorraum von V* ist,
> sowie dass für Teilräume [mm]U_{1}, U_{2}[/mm] von V gilt:
> (i) [mm](U_{1} \cap U_{2})^{0}[/mm] = [mm]U_{1}^{0}[/mm] + [mm]U_{2}^{0}.[/mm]
> (ii) Wenn V = [mm]U_{1} \oplus U_{2}[/mm] ist, dann gilt V* =
> [mm]U_{1}^{0} \oplus U_{2}^{0}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem
> Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
>
> Ich habe ein Problem mit der Aufgabe (i).
> Nach Definition gilt doch:
> [mm](U_{1} \cap U_{2})^{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {f [mm]\in[/mm] V* ;f(u)=0 [mm]\forall[/mm] u [mm]\in U_{1} \cap U_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> }
> [mm]U_{1}^{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {f [mm]\in[/mm] V* ;f(u)=0 [mm]\forall[/mm] u [mm]\in U_{1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
> [mm]U_{2}^{0}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {f [mm]\in[/mm] V* ;f(u)=0 [mm]\forall[/mm] u [mm]\in U_{2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}
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> Wenn ich jetzt eine Abbildung f finde, für die f(v)=0 für
> alle u in [mm]U_{2},[/mm] aber v ist nicht Element von [mm]U_{1},[/mm] dann
> besäße doch die zweite Menge ein Element mehr als die
> erste.
>
> Oder habe ich da jetzt einen schweren Fehler drin? Würde
> mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich versteht nicht so ganz, ob u und v in deiner Argumentation dasselbe sein sollen oder in welcher Relation sie zueinander stehen.
Aber: Ist f(u)=0 für alle u in [mm] U_{2}, [/mm] dann gilt erst recht f(u)=0 für alle u in [mm] $U_1\cap U_{2}\Rightarrow f\in (U_{1} \cap U_{2})^{0}$
[/mm]
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