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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Untervektorraum Elemente
Untervektorraum Elemente < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Untervektorraum Elemente: Tipp/Ansatz
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:18 So 08.05.2016
Autor: brover

Aufgabe
Es sei U der kleinste Untervektorraum von [mm] \IZ_{3}^3, [/mm] der folgende Vektoren enthält:
([1 ],[ 0],[2]) , ([2],[1],[2]), ([1], [1],[0])

Welchen Wert hat |U| und warum? Geben Sie die Elemente von U explizit an.






Moin zusammen,

ich hab leider keine Ahnung, wie ich herausfinde, welche Elemente U hat.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
Untervektorraum Elemente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:00 So 08.05.2016
Autor: hippias

[willkommenvh]

Allgemein meint für eine Menge $M$ und eine natürliche Zahl $n$ der Ausdruck [mm] $M^{n}$ [/mm] die Menge aller $n$-Tupel mit Einträgen aus $M$.

Bei Deinem Beispiel ist $n= 3$ und $M= [mm] \IZ_{3}$, [/mm] wobei [mm] $\IZ_{3}$ [/mm] wiederum den Faktorring von [mm] $\IZ$ [/mm] nach dem Ideal [mm] $3\IZ$ [/mm] bezeichnet. $[a]$ ist dann die Restklasse, in der $a$ enthalten ist.  

Bezug
                
Bezug
Untervektorraum Elemente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 So 08.05.2016
Autor: brover

D.h. |U| ist einfach die Summe der Vektoren?
also:

[mm] |\begin{pmatrix} [1] \\ [0] \\ [2] \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} [2] \\ [1] \\ [2] \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \begin{pmatrix} [1] \\ [1] \\ [0] \end{pmatrix} [/mm] | = [mm] |\begin{pmatrix} [1] \\ [2] \\ [1] \end{pmatrix} [/mm] | = [mm] \wurzel{[1]^2+[2]^2+[1]^2} [/mm] = [mm] \wurzel{1+1+1} [/mm] = 0

Bezug
                        
Bezug
Untervektorraum Elemente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:46 So 08.05.2016
Autor: hippias


> D.h. |U| ist einfach die Summe der Vektoren?

Nein, meine Antwort enthält keinerlei solche Information dieser Art. $|U|$ bezeichnet die Anzahl der Elemente in der Menge $U$.

Eine sinnvolle Bearbeitung solcher Aufgaben setzt immer nur(!) die Kenntnis der Definitionen der Begriffe voraus.

Schlage also nach, was mit dem von gewissen Vektoren erzeugten Unterraum gemeint ist und zähle dann seine Elemente auf.
  

>  also:
>  
> [mm]|\begin{pmatrix} [1] \\ [0] \\ [2] \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\begin{pmatrix} [2] \\ [1] \\ [2] \end{pmatrix}[/mm] +
> [mm]\begin{pmatrix} [1] \\ [1] \\ [0] \end{pmatrix}[/mm] | =
> [mm]|\begin{pmatrix} [1] \\ [2] \\ [1] \end{pmatrix}[/mm] | =
> [mm]\wurzel{[1]^2+[2]^2+[1]^2}[/mm] = [mm]\wurzel{1+1+1}[/mm] = 0


Bezug
                                
Bezug
Untervektorraum Elemente: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:44 So 08.05.2016
Autor: brover

Also [mm] \mathbb{Z}^{3}_{3} [/mm] = {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)...(2,2,2)}

Dann hat doch U auch nur die Elemente (1,0,2),(2,1,2),(1,1,0).

Ich denke ich verstehe nicht ganz, was mit den Vektoren und dem Untervektorraum gemeint ist

Bezug
                                        
Bezug
Untervektorraum Elemente: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:59 So 08.05.2016
Autor: angela.h.b.


> Also [mm]\mathbb{Z}^{3}_{3}[/mm] =
> {(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)...(2,2,2)}
>
> Dann hat doch U auch nur die Elemente
> (1,0,2),(2,1,2),(1,1,0).

Hallo,

hast Du Dich denn schon informiert, was es mit dem kleinsten Unterraum, der vorgegebene Elemente enthält, auf sich hat?
Wenn U die genannten Elemente enthält, dann enthält U ja auch sämtliche Linearkombinationen, die man aus diesen bilden kann.
U ist der von den drei Vektoren aufgespannte Raum, der Span, die lineare Hülle oder wie auch immer Ihr in Eurer Vorlesung dazu sagt,
und die drei Vektoren sind ein Erzeugendensystem dieses Raumes.
Es wäre keine schlechte Idee, nach einer Basis von U Ausschau zu halten.

LG Angela




>  
> Ich denke ich verstehe nicht ganz, was mit den Vektoren und
> dem Untervektorraum gemeint ist  


Bezug
        
Bezug
Untervektorraum Elemente: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:15 So 08.05.2016
Autor: hippias

Sehr witzig! Deine ursprüngliche Frage war doch ganz anders und meiner unmassgeblichen Meinung nach vollständig von mir beantwortet.

Bezug
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