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Forum "Lineare Algebra - Moduln und Vektorräume" - Untervektorraum Prüfen
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Untervektorraum Prüfen: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:25 Fr 21.10.2016
Autor: Chrizzldi

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Aufgabe
Prüfen Sie für jede der folgenden Mengen $U_i$ ob $U_i$ ein Vektorraum des $\mathbb{R}^3$ ist.

(a) $U_1 = \{ (x_1, x_2, x_1 \cdot x_2) | x_1, x_2 \in \mathbb{R} \}$
(b) $U_2 = \{ ( |x|, |x|, |x| ) | x \in \mathbb{R} \}$
(c) $U_3 = \{ (x_1, x_2, x_3 ) \in \mathbb{R} | \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j} = 1\}$

Hallo Ihr lieben Mathefreunde,

ich beschäftige mich gerade mit einer schon lange zurückliegenden Lektüre: dem Untervektorraum. Hierfür habe ich mich an den obigen drei Aufgaben versucht. Ich würde mich sehr über Korrektur (als Tipps) oder Anmerkungen zu einfacheren Lösungswegen (falls vorhanden) freuen.

Grundsätzliches (ich krame in Erinnerungen):
Sei $U \subset V, U \neq \emptyset$ und $V$ ein Vektorraum (in unserem Fall ist $V = \mathbb{R}^3$).
Falls $U$ ein Untervektorraum von $V$ ist, dann muss gelten:
1. Nullvektor ist ein Element von $U$
2. $u \in U, \lambda \in \mathbb{R}$ so ist das Skalarprodukt $\lambda u \in U$
3. $v,w \in U$ so ist die Vektoraddition von $v + w$ auch ein Element von $U$

Meine Lösungsvorschläge (Ich prüfe schlicht nach den Kriterien 1 - 3 der Definition):
(a):
1. Nullvektor ist für $x_1, x_2 = 0$ ein Element von $U$ ($0 \cdot 0 = 0$, - logisch :))
2. $\lambda (x_1, x_2, x_1 \cdot x_2) = (\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda (x_1 \cdot x_2)$. Ist für mich ist es hier schon klar, dass $\lambda u_1 \not\in U_1$ ist, ich kann Gegenbeispiele erzeugen die nicht in $U$ liegen ($2\cdot(1,1,1) = (2,2,2)$ verletzt die Bedingung von $U_1$. Jemand eine Idee das noch schöner aufzuschlüsseln (oder mach ich schon etwas falsch?)?
3. $(x_1, x_2, x_1 \cdot x_2) + (y_1, y_2, y_1 \cdot y_2) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_1x_2 + y_1y_2)$. Betrachte ich das genauer, fällt mir ein einfaches Gegenbeispiel auf:
Für $x_1 = 1, x_2 = 1$ ist $x_3 = 1$ und für $y_1 = 1, y_2 = 1$ ist auch $y_3 = 1$ aber $(1 + 1, 1 + 1, 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1)$ ergibt sich der Vektor $(2, 2, 2)$ aber dieser liegt niemals in $U$. Richtig?
Ich folgere draus, dass sowohl Regel 2 und 3 verletzt sind und es sich bei $U_1$ um keinen Untervektorraum des $\mathbb{R}^3$ handelt.

(b) Wirklich analog zu (a), nur hier liegt das Ergebnis immer auch in $U_2$ folglich ist $U_2$ ein Untervektorraum des $\mathbb{R]^3$

(c) Hier musste ich erstmal wieder die Definition für die e-Funktion rauskramen und mir die Rechenregeln ansehen. Ich erkläre mir daraus dann für,
1. Ja, der Nullvektor ist in $U_3$ da per Defintion $e^0 = 1$ und $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$.
2. Vektoraddition liegt auch wieder in $U_3$, denn
$(x_1, x_2,x_3) + (y_1, y_2, y_3) = (x_1 + y_1, x_2+y_2, x_3+y_3)$ setzten wir das in die Vorraussetzung ein: $e^{x_1 + y_1} \cdot e^{2(x_1 + y_1)} \cdot e^{3(x_1 + y_1)}$ ist nach Definition der Rechenregeln für die e-Funktion $e^{x_1} \cdot e^{y_1} \cdot e^{2x_2} \cdot e^{2y_2} \cdot e^{3x_3} \cdot e^{3y_3}$ nur noch umschreiben nötig und wir erhalten $1 \cdot 1 = 1$ eine gültige Vorraussetzung.
3. Bei der Skalarmultiplikation nutze ich die Definition $e^{\lambda \cdot x_j} = (e^x_j)^\lambda$ der e-Funktion. Setzten wir die Vorraussetzung ein, erhalten wir $1^\lambda \cdot \ldots = 1$.
$U_3$ ist UVR des $\mathbb{R}^3.

Wie immer vielen Dank für Eure Zeit!

Liebe Grüße,
Chris

        
Bezug
Untervektorraum Prüfen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:42 Fr 21.10.2016
Autor: angela.h.b.


> Prüfen Sie für jede der folgenden Mengen [mm]U_i[/mm] ob [mm]U_i[/mm] ein
> Vektorraum des [mm]\mathbb{R}^3[/mm] ist.

>

> (a) [mm]U_1 = \{ (x_1, x_2, x_1 \cdot x_2) | x_1, x_2 \in \mathbb{R} \}[/mm]

>

> (b) [mm]U_2 = \{ ( |x|, |x|, |x| ) | x \in \mathbb{R} \}[/mm]
> (c)
> [mm]U_3 = \{ (x_1, x_2, x_3 ) \in \mathbb{R} | \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j} = 1\}[/mm]

>

Hallo!

> Grundsätzliches (ich krame in Erinnerungen):
> Sei [mm]U \subset V, U \neq \emptyset[/mm] und [mm]V[/mm] ein Vektorraum (in
> unserem Fall ist [mm]V = \mathbb{R}^3[/mm]).
> Falls [mm]U[/mm] ein
> Untervektorraum von [mm]V[/mm] ist, dann muss gelten:
> 1. Nullvektor ist ein Element von [mm]U[/mm]
> 2. [mm]u \in U, \lambda \in \mathbb{R}[/mm] so ist das
> Skalarprodukt [mm]\lambda u \in U[/mm]
> 3. [mm]v,w \in U[/mm] so ist die
> Vektoraddition von [mm]v + w[/mm] auch ein Element von [mm]U[/mm]

Genau.

>

> Meine Lösungsvorschläge (Ich prüfe schlicht nach den
> Kriterien 1 - 3 der Definition):
> (a):
> 1. Nullvektor ist für [mm]x_1, x_2 = 0[/mm] ein Element von [mm]U[/mm] ([mm]0 \cdot 0 = 0[/mm],
> - logisch :))
> 2. [mm]\lambda (x_1, x_2, x_1 \cdot x_2) = (\lambda x_1, \lambda x_2, \lambda (x_1 \cdot x_2)[/mm].
> Ist für mich ist es hier schon klar, dass [mm]\lambda u_1 \not\in U_1[/mm]
> ist, ich kann Gegenbeispiele erzeugen die nicht in [mm]U[/mm] liegen
> ([mm]2\cdot(1,1,1) = (2,2,2)[/mm] verletzt die Bedingung von [mm]U_1[/mm].
> Jemand eine Idee das noch schöner aufzuschlüsseln (oder
> mach ich schon etwas falsch?)?

Du mußt hier einfach bloß das Gegenbeispiel angeben, also
[mm] (1,1,1)\in [/mm] U, jedoch ist 2*(1,1,1)=(2,2,2) offenbar nicht in U.

Damit ist die Menge kein UVR,
und Du kannst Dir das, was noch kommt, sparen.

> 3. [mm](x_1, x_2, x_1 \cdot x_2) + (y_1, y_2, y_1 \cdot y_2) = (x_1 + y_1, x_2 + y_2, x_1x_2 + y_1y_2)[/mm].
> Betrachte ich das genauer, fällt mir ein einfaches
> Gegenbeispiel auf:
> Für [mm]x_1 = 1, x_2 = 1[/mm] ist [mm]x_3 = 1[/mm] und für [mm]y_1 = 1, y_2 = 1[/mm]
> ist auch [mm]y_3 = 1[/mm] aber [mm](1 + 1, 1 + 1, 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1)[/mm]
> ergibt sich der Vektor [mm](2, 2, 2)[/mm] aber dieser liegt niemals
> in [mm]U[/mm]. Richtig?

Ja.

> Ich folgere draus, dass sowohl Regel 2 und 3 verletzt sind
> und es sich bei [mm]U_1[/mm] um keinen Untervektorraum des
> [mm]\mathbb{R}^3[/mm] handelt.

Stimmt.
>

> (b) Wirklich analog zu (a), nur hier liegt das Ergebnis
> immer auch in [mm]U_2[/mm] folglich ist [mm]U_2[/mm] ein Untervektorraum des
> [mm]\mathbb{R]^3[/mm]

Da bin ich skeptisch...

Sei [mm] u\in [/mm] U.
Was ist mit (-3)*u ?
>

> (c) Hier musste ich erstmal wieder die Definition für die
> e-Funktion rauskramen und mir die Rechenregeln ansehen. Ich
> erkläre mir daraus dann für,
> 1. Ja, der Nullvektor ist in [mm]U_3[/mm] da per Defintion [mm]e^0 = 1[/mm]
> und [mm]1 \cdot 1 \cdot 1 = 1[/mm].

Na, hier mußte ich dreimal überlegen, was Du damit sagen willst...
Rechne doch einfach vor: [mm] e^{1*0}*e^{2*0}*e^{3*0}=1*1*1=1, [/mm]
also ist der Nullvektor in U.

> 2. Vektoraddition liegt auch
> wieder in [mm]U_3[/mm], denn
> [mm](x_1, x_2,x_3) + (y_1, y_2, y_3) = (x_1 + y_1, x_2+y_2, x_3+y_3)[/mm]
> setzten wir das in die Vorraussetzung ein: [mm]e^{x_1 + y_1} \cdot e^{2(x_2 + y_2)} \cdot e^{3(x_3 + y_3)}[/mm]
> ist nach Definition der Rechenregeln für die e-Funktion
> [mm]e^{x_1} \cdot e^{y_1} \cdot e^{2x_2} \cdot e^{2y_2} \cdot e^{3x_3} \cdot e^{3y_3}[/mm]
> nur noch umschreiben nötig und wir erhalten [mm]1 \cdot 1 = 1[/mm]
> eine gültige Vorraussetzung.

Du meinst es richtig:

Seien  [mm] (x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2,y_3)\in [/mm] U.

Dann ist  [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j} [/mm] = 1 und  [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot y_j} [/mm] = 1.

Es ist  
[mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot (x_j+y_j)} [/mm] =  [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j}* e^{j \cdot y_j}= \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j}* \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot y_j} [/mm] = 1 *1=1.

Also ist [mm] (x_1+y_1; x_2+y_2,x_3+y_3)\in [/mm] U.








> 3. Bei der Skalarmultiplikation nutze ich die Definition
> [mm]e^{\lambda \cdot x_j} = (e^x_j)^\lambda[/mm] der e-Funktion.

Sei  [mm] (x_1, x_2, x_3)\in [/mm] U, [mm] \lambda\in \IR. [/mm]

Dann ist  [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j} [/mm] = 1,

und es ist

[mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot (\lambda)x_j} [/mm]
= [mm] \prod_{i=1}^{3}( e^{j \cdot x_j})^^{\lambda} [/mm]
=( [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j})^{\lambda} [/mm]
[mm] =1^{\lambda}=1 [/mm]

> Setzten wir die Vorraussetzung ein, erhalten wir [mm]1^\lambda \cdot \ldots = 1[/mm].

>

> [mm]U_3[/mm] ist UVR des [mm]\mathbb{R}^3.[/mm]

Ja.

LG Angela
>

> Wie immer vielen Dank für Eure Zeit!

>

> Liebe Grüße,
> Chris


Bezug
                
Bezug
Untervektorraum Prüfen: Re: Antwort
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:13 Fr 21.10.2016
Autor: Chrizzldi


> Du mußt hier einfach bloß das Gegenbeispiel angeben, also
> $ [mm] (1,1,1)\in [/mm] $ U, jedoch ist 2*(1,1,1)=(2,2,2) offenbar nicht in U.

> Damit ist die Menge kein UVR,
> und Du kannst Dir das, was noch kommt, sparen.

Da hast du natürlich recht :)!


> Da bin ich skeptisch...

> Sei $ [mm] u\in [/mm] $ U.
> Was ist mit (-3)*u ?

Ouuups, wie schnell auch ich skeptisch werden kann. Danke für den Tipp :)
Damit ist es natürlich kein UVR...

> Na, hier mußte ich dreimal überlegen, was Du damit sagen willst...
> Rechne doch einfach vor: $ [mm] e^{1\cdot{}0}\cdot{}e^{2\cdot{}0}\cdot{}e^{3\cdot{}0}=1\cdot{}1 [/mm]
> [mm] \cdot{}1=1, [/mm] $
> also ist der Nullvektor in U.

Genau. Ich schreibe es etwas ausführlicher auf, danke.

> Du meinst es richtig:

> Seien  $ [mm] (x_1, x_2, x_3), (y_1, y_2,y_3)\in [/mm] $ U.

> Dann ist  $ [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j} [/mm] $ = 1 und  $ [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot y_j} [/mm] $ = 1.

> Es ist  
> $ [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot (x_j+y_j)} [/mm] $ =  $ [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j}\cdot{} e^{j \cdot y_j}= \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j}\cdot{} \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot y_j} [/mm] $ = 1 *1=1.

> Also ist $ [mm] (x_1+y_1; x_2+y_2,x_3+y_3)\in [/mm] $ U.

Schön. :)

> Sei  $ [mm] (x_1, x_2, x_3)\in [/mm] $ U, $ [mm] \lambda\in \IR. [/mm] $

> Dann ist  $ [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j} [/mm] $ = 1,

> und es ist

> $ [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot (\lambda)x_j} [/mm] $
> = $ [mm] \prod_{i=1}^{3}( e^{j \cdot x_j})^^{\lambda} [/mm] $
> =( $ [mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j})^{\lambda} [/mm] $
> $ [mm] =1^{\lambda}=1 [/mm] $

Mindestens genauso schön!

Vielen Dank für deine Korrektur Angela, du hast mir sehr geholfen.

Liebe Grüße,
Chris

Bezug
                        
Bezug
Untervektorraum Prüfen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:56 Fr 21.10.2016
Autor: leduart

Hallo
im ersten post hast du zu 3.
[mm] \prod_{i=1}^{3} e^{j \cdot x_j} [/mm] = 1 stehen
kommt da die imaginäre Einheit ( i oder j ) vor oder hast du dich vertippt und es ist
[mm] \prod_{j=1}^{3} e^{j \cdot x_j} [/mm] = 1
Gruß leduart

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