Untervektorraum mit Polynomen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi, sitz mal wieder über Mathe
und ich komme mal wieder mit der Schreibweise nicht hin.
Die Frage ist ob
[mm] U1= \left\{ p(x) \in V1 | p(\ x ^2)= \ (p(x))^2 \right\} [/mm]
Untervektorraum von [mm] V1=\IR [x] [/mm]
wie zeige ich denn die Abegeschlossen heit von addition und Multiplikation?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 So 13.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Fragezeichen,
> Die Frage ist ob
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> [mm]U1= \left\{ p(x) \in V1 | p(\ x ^2)= \ (p(x))^2 \right\} [/mm]
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> Untervektorraum von [mm]V1=\IR [x][/mm]
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> wie zeige ich denn die Abegeschlossen heit von addition und
> Multiplikation?
Die Abgeschlossenheit der Addition zeigst du (wie üblich) so:
Seien [mm] $p,q\in [/mm] U$.
Behauptung: Dann ist auch [mm] $p+q\in [/mm] U$.
Etwas konkreter bedeutet dies: Auch p+q besitzt die Eigenschaft $(p+q)(x [mm] ^2)=(p(x)+q(x))^2$, [/mm] woraus dann sofort folgt, dass [mm] $p+q\in [/mm] U$.
Das gleiche für die skalare Multiplikation:
Sei [mm] $p\in [/mm] U$ und [mm] $r\in\IR$.
[/mm]
Behauptung: Dann ist auch [mm] $r*q\in [/mm] U$.
Falls dir diese spärlichen Tipps nicht reichen, melde dich bitte einfach wieder 
Viele Grüße,
Marc
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Zur Frage ob
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> [mm]U1= \left\{ p(x) \in V1 | p(\ x ^2)= \ (p(x))^2 \right\} [/mm]
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> Untervektorraum von [mm]V1=\IR [x][/mm]
Okay also ich habe mich dann noch mal versucht und bin zu dem ergebnis gekommen das es kein Untervektorraum ist.
wenn man z.B. die Funktionen p=2x und q=3x benennt, erhält man:
[mm] (p+q)(\ x^2) [/mm] = [mm] 2 \ x ^2 + 3 \ x^2 = 5 \ x ^2 [/mm]
aber: [mm] ( \ (p+q)(x))^2)= \ (5x)^2= 25 \ x^2 [/mm] und das wäre ein Widerspruch, oder??
und dann habe ich noch eine Frage, wenn ich nun weiterhin untersuchen soll ob U2 Untervektorraum ist, mit
[mm]U2= \left\{ p(x) \in V1 | p(0)= p(1) \right\} [/mm]
ist das dann ein Untervektorraum, da ich so auf anhieb nur die konstante Nullfunktion als eine die Bedingungen erfüllende Funktion wissen würde.
also U3 nicht leer.
zur abgeschlossenheit bzgl. Addition:
[mm](f1+f2)(0)=f1(0)+f2(0)=(nach Vorraussetzung) f1(1) + f2(1) = (f1+f2)(1)[/mm]
und zur Abgeschlossenheit der S-Multiplikation: [mm] \beta \in \IR [/mm]
[mm] ( \beta *f1)(0) = \beta *f1(0)= (nach Vorraussetzung) \beta *f1(1)= ( \beta *f1)(1) [/mm]
demnach wäre U2 ebenfalls U-VR von V stimmt dass so?
Vielen Dank noch mal für die Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:05 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Fragezeichen!
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> Zur Frage ob
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> > [mm]U1= \left\{ p(x) \in V1 | p(\ x ^2)= \ (p(x))^2 \right\} [/mm]
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> > Untervektorraum von [mm]V1=\IR [x][/mm]
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> Okay also ich habe mich dann noch mal versucht und bin zu
> dem ergebnis gekommen das es kein Untervektorraum ist.
>
> wenn man z.B. die Funktionen p=2x und q=3x benennt, erhält
> man:
p und q sollten schon aus [mm] U_1 [/mm] stammen!
Es ist aber doch [mm] $2x^2\not=4x^2$ [/mm] und [mm] $3x^2\not=9x^2$.
[/mm]
Damit ist also nichts gezeigt.
> und dann habe ich noch eine Frage, wenn ich nun weiterhin
> untersuchen soll ob U2 Untervektorraum ist, mit
>
> [mm]U2= \left\{ p(x) \in V1 | p(0)= p(1) \right\} [/mm]
>
> ist das dann ein Untervektorraum, da ich so auf anhieb nur
> die konstante Nullfunktion als eine die Bedingungen
> erfüllende Funktion wissen würde.
Es sind mindestens die Polynome in [mm] $U_2$, [/mm] die Nullstellen bei 0 und 1 haben.
Aber noch viel mehr Polynome, z.B. alle quadratischen Parabeln, die ihren Scheitelpunkt an der Stelle [mm] x_0=0,5 [/mm] haben.
> also U3 nicht leer.
>
> zur abgeschlossenheit bzgl. Addition:
>
> [mm](f1+f2)(0)=f1(0)+f2(0)=(nach Vorraussetzung) f1(1) + f2(1) = (f1+f2)(1)[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und zur Abgeschlossenheit der S-Multiplikation: [mm]\beta \in \IR[/mm]
>
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> [mm]( \beta *f1)(0) = \beta *f1(0)= (nach Vorraussetzung) \beta *f1(1)= ( \beta *f1)(1)[/mm]
>
>
> demnach wäre U2 ebenfalls U-VR von V stimmt dass so?
Die Begründungen für [mm] U_2 [/mm] stimmen also, nur die für [mm] U_1 [/mm] solltest du nochmal überdenken...
Viele Grüße,
Marc
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> Zur Frage ob
[mm]U1= \left\{ p(x) \in V1 | p(\ x ^2)= \ (p(x))^2 \right\} [/mm]
> > Untervektorraum von [mm]V1=\IR [x][/mm]
>
>
hm.. also nochmal:
1) [mm] U1 \not= 0 [/mm] , wegen p(x)=x in U1.
aber ist nicht [mm] q(x)= \bruch{1}{x} ) [/mm] auch in U1?
[mm](p+q)(\ x^2)[/mm] = [mm] x ^2 + \bruch{1}{x^2} [/mm]
aber: [mm]( \ (p+q)(x))^2)= \ (x + \bruch{1}{x} )^2 = \ x^2 +2 + \bruch{1}{x^2} [/mm] und das wäre
dann ein Widerspruch, oder?? *hoff*
unsere Tutorin hatte sich nur so ausgedrückt als wenn es kein U-VR wäre daher suche ich ein bisschen nach einem Gegenbeispiel.
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> > Zur Frage ob
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> [mm]U1= \left\{ p(x) \in V1 | p(\ x ^2)= \ (p(x))^2 \right\}[/mm]
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> > > Untervektorraum von [mm]V1=\IR [x][/mm]
> >
> >
> hm.. also nochmal:
> 1) [mm]U1 \not= 0[/mm] , wegen p(x)=x in U1.
>
[mm] q(x)= \bruch{1}{x} [/mm] war natürlich nicht in U1 ist mir aufgefallen, sorry
> [mm] (p+q) (\ x^2) = p(\ x^2) + q(\ x^2) = \ (p(x)^2) + \ (q(x))^2) [/mm]
> aber:
[mm]( \ (p+q)(x))^2)= \ (p(x)+q(x))^2 = \ p(x)^2 + 2 (p(x)*q(x))+\ q(x)^2 [/mm]
und das wäre dann ein Widerspruch, oder?? *hoff* weil Polynome ja immer länger werden würden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:14 Mo 14.06.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Fragezeichen!
> [mm]( \ (p+q)(x))^2)= \ (p(x)+q(x))^2 = \ p(x)^2 + 2 (p(x)*q(x))+\ q(x)^2[/mm]
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> und das wäre dann ein Widerspruch, oder?? *hoff* weil
> Polynome ja immer länger werden würden.
Wo siehst du da einen Widerspruch?
Deine Gleichungskette ist doch komplett richtig? Sie gilt sogar für alle Polynome.
Ich denke, du hast bei dieser Gleichung den zweiten im Hinterkopf behalten und leider nicht aufgeschrieben.
Zu überprüfen ist doch u.a.:
[mm] $(p+q)(x^2)\stackrel{?}{=}(p(x)+q(x))^2$
[/mm]
Ich finde, da kann man ganz leicht eine konkretes Gegenbeispiel zu finden...
Viele Grüße,
Marc
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Na doch weil die zwei zeilen ja etwas anderes besagen und somit ein widerspruch zwischen [mm](p+q) (\ x^2) und ( \ (p+q)(x))^2 [/mm] liegt
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> > [mm](p+q) (\ x^2) = p(\ x^2) + q(\ x^2) = \ (p(x)^2) + \ (q(x))^2)[/mm]
>
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>
> > aber:
> [mm]( \ (p+q)(x))^2)= \ (p(x)+q(x))^2 = \ p(x)^2 + 2 (p(x)*q(x))+\ q(x)^2[/mm]
> also habe ich mal wieder nach nem Gegenbeispiel gesucht und ich denk mal wieder eines gefunden zu haben.
also p(x)=x und q(x)= [mm] \ x^2) [/mm]
demnach
> > [mm](p+q) (\ x^2) = p(\ x^2) + q(\ x^2) = \ x^2) + \ x^4 [/mm]
und
> [mm]( \ (p+q)(x))^2)= \ (p(x)+q(x))^2 = \ (x+ x^2)^2 = \ x^2 + 2*\ x^3 + \ x ^4 \not= \ x^2) + \ x^4 [/mm]
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jupp danke nochmal. *ächtz* geschafft *g*, sorry aber ich brauch hier auch immer ewig zum tippen mit den ganzen Formeln muss mich erst eingewöhnen....
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