Untervektorraum zeigen < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:05 Di 23.11.2010 | | Autor: | void. |
| Aufgabe | Zeige, dass
[mm] U:={(x_1 ,x_2 ,x_3) \in \IR^3 | x_1 = x_2 , x_2 = 5x_3}
[/mm]
ein Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist, und berechne dimU.
(Hinweis: U ist der Durchschnitt zweier Unterräume [mm] U_{1/2}. [/mm] Welcher?) |
Hallo,
hab die Aufgabe angesetzt, indem ich die Vektoren erstmal in einer Matrix zusammengefasst hab.
das sieht dann so aus [mm] \pmat{ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -5 } [/mm] =: [mm] A^{2x3} \in [/mm] U
mit Gaußalgo komm ich auf (1 0 -5) und das hat definitiv eine nicht Triviale Nullstelle, also ist es lin abh.
durch ignoriern der mittleren Spalte komm ich auf
[mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -5 }
[/mm]
was widerrum lin unabh. ist und somit die max lin unabh Teilmenge.
Da das 2 Vektoren sind ist die Dimension = 2 , falls das teil ein UVR ist.
Wo ich bei meinem Problem angekommen bin, wie ich das zeigen soll.
Allgemein gilt ja für UVR:
1. U [mm] \not= [/mm] 0
2. abgeschlossen mit Vektoradd.
3. abgeschlossen mit Skalarmultiplikation.
aber wie zeig ich das mit dem was da in der Gleichung steht? ...finde absolut keinen Ansatz.
Hoffe mir kann dabei wer helfen.
Gruß
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Hi,
> Zeige, dass
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> [mm]U:={(x_1 ,x_2 ,x_3) \in \IR^3 | x_1 = x_2 , x_2 = 5x_3}[/mm]
>
>
> ein Untervektorraum des [mm]\IR^3[/mm] ist, und berechne dimU.
> (Hinweis: U ist der Durchschnitt zweier Unterräume
> [mm]U_{1/2}.[/mm] Welcher?)
>
> Hallo,
>
> hab die Aufgabe angesetzt, indem ich die Vektoren erstmal
> in einer Matrix zusammengefasst hab.
>
> das sieht dann so aus [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -5 }[/mm] =:
> [mm]A^{2x3} \in[/mm] U
Wieso ist eine Matrix im Untervektorraum? Der Untervektorraum ist doch nur Vektoren aus dem [mm]\IR^3[/mm] bevölkert.
>
> mit Gaußalgo komm ich auf (1 0 -5) und das hat definitiv
> eine nicht Triviale Nullstelle, also ist es lin abh.
Der Rang der Matrix ist zwei.
>
> durch ignoriern der mittleren Spalte komm ich auf
>
> [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & -5 }[/mm]
>
> was widerrum lin unabh. ist und somit die max lin unabh
> Teilmenge.
>
> Da das 2 Vektoren sind ist die Dimension = 2 , falls das
> teil ein UVR ist.
>
> Wo ich bei meinem Problem angekommen bin, wie ich das
> zeigen soll.
>
> Allgemein gilt ja für UVR:
>
> 1. U [mm]\not=[/mm] 0
> 2. abgeschlossen mit Vektoradd.
> 3. abgeschlossen mit Skalarmultiplikation.
>
> aber wie zeig ich das mit dem was da in der Gleichung
> steht? ...finde absolut keinen Ansatz.
>
> Hoffe mir kann dabei wer helfen.
>
>
> Gruß
Schreib doch einfach mal ganz genau hin, was U ist:
[mm]U:=\{ x\in \IR^3 | Ax=0 \}[/mm]
Du sprichst die ganze drum herum.
Überleg dir auch noch einmal wie der Schnitt aussieht:
[mm]U:=\{(x_1 ,x_2 ,x_3) \in \IR^3 | x_1 = x_2 \red{\bigwedge} x_2 = 5x_3\}[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Di 23.11.2010 | | Autor: | void. |
> Hi,
> > Zeige, dass
> >
> > [mm]U:={(x_1 ,x_2 ,x_3) \in \IR^3 | x_1 = x_2 , x_2 = 5x_3}[/mm]
>
> >
> >
> > ein Untervektorraum des [mm]\IR^3[/mm] ist, und berechne dimU.
> > (Hinweis: U ist der Durchschnitt zweier Unterräume
> > [mm]U_{1/2}.[/mm] Welcher?)
> >
> > Hallo,
> >
> > hab die Aufgabe angesetzt, indem ich die Vektoren erstmal
> > in einer Matrix zusammengefasst hab.
> >
> > das sieht dann so aus [mm]\pmat{ 1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -5 }[/mm]
> =:
> > [mm]A^{2x3} \in[/mm] U
> Wieso ist eine Matrix im Untervektorraum? Der
> Untervektorraum ist doch nur Vektoren aus dem [mm]\IR^3[/mm]
> bevölkert.
? hm ich dachte man kann jeden Vektorraum mit einer Matrix darstellen oder so?
> >
> > mit Gaußalgo komm ich auf (1 0 -5) und das hat definitiv
> > eine nicht Triviale Nullstelle, also ist es lin abh.
> Der Rang der Matrix ist zwei.
was sagt mir der Rang denn konkret? Wie man ihn bestimmt ist mir klar, aber die Bedeutung ...
Die Basis in dem Fall besteht ja aus 2 Vektoren also ist die dim doch 2 oder lieg ich sogar da falsch :/ ?
> >
> > durch ignoriern der mittleren Spalte komm ich auf
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & 0 \\
0 & -5 }[/mm]
> >
> > was widerrum lin unabh. ist und somit die max lin unabh
> > Teilmenge.
> >
> > Da das 2 Vektoren sind ist die Dimension = 2 , falls das
> > teil ein UVR ist.
> >
> > Wo ich bei meinem Problem angekommen bin, wie ich das
> > zeigen soll.
> >
> > Allgemein gilt ja für UVR:
> >
> > 1. U [mm]\not=[/mm] 0
> > 2. abgeschlossen mit Vektoradd.
> > 3. abgeschlossen mit Skalarmultiplikation.
> >
> > aber wie zeig ich das mit dem was da in der Gleichung
> > steht? ...finde absolut keinen Ansatz.
> >
> > Hoffe mir kann dabei wer helfen.
> >
> >
> > Gruß
>
> Schreib doch einfach mal ganz genau hin, was U ist:
> [mm]U:=\{ x\in \IR^3 | Ax=0 \}[/mm]
Wäre A in der Menge nicht auch eine Matrix?
Ich verstehe nicht wie ich damit weitermachen kann.
> Du sprichst die ganze drum
> herum.
> Überleg dir auch noch einmal wie der Schnitt aussieht:
> [mm]U:=\{(x_1 ,x_2 ,x_3) \in \IR^3 | x_1 = x_2 \red{\bigwedge} x_2 = 5x_3\}[/mm]
[mm] U_s [/mm] := { [mm] (x_1 ,x_2 ,x_3) \in \IR^3 [/mm] | [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] 5x_3 [/mm] }
Das wäre dann die Schnittmenge ....aber ich komm an dem punkt ja nicht weiter und ich hab keine Ahnung was mir das bringt.
>
>
Gruß
void
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Noch einmal ganz allgemein:
Ein Vektorraum kann Vektoren beinhalten, die näher beschrieben werden. Die Vektoren haben bestimmte Eigenschaften. Man kann sagen, die Vektoren sollen alle Einträge > 0 haben. Oder man beschreibt sie durch den Kern einer Abbildung. Das ist hier passiert.
$ [mm] U:=\{ x\in \IR^3 | Ax=0 \} [/mm] $
Hier kannst du deine Axiome prüfen oder sagt generell ist der Kern ein Untervektorraum.
Zum Schnitt:
Der erste Untervektorraum vom [mm] $\IR^3$ [/mm] wird durch [mm] $x_1=x_2$ [/mm] näher beschrieben.Also [mm] $U_1=\{x\in \IR^3 | x_1=x_2\}$
[/mm]
jetzt du.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 Di 23.11.2010 | | Autor: | void. |
Hallo,
danke für die ganzen schnellen Antworten.
Also ist der Kern der Abbildung jetzt die Menge der x mit der man die Matrix A auf 0 abbildet?
......irgendwie blick ich da nicht richtig durch.
Kann man jetzt einen VR mit einer Matrix beschreiben?
die andere Untermenge ist ja folglich [mm] U_2= {x\in \IR^3 | x_2 = 5x_{3} }
[/mm]
mit [mm] U_1={x\in \IR^3 | x_1=x_2} [/mm]
wäre das dann die Schnittmenge [mm] U_s [/mm] = { [mm] x\in \IR^3 [/mm] | [mm] x_1=x_2=5*x_3 [/mm] } ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:08 Mi 24.11.2010 | | Autor: | jumape |
yep
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:31 Mi 24.11.2010 | | Autor: | void. |
Hallo,
heißt das die von mir berechnete dim ist richtig?
die Vektoren der Schnittmenge wären dann [mm] U_s [/mm] = { [mm] \vektor{-x_2 \\ x_2 \\ -1/5x_2} [/mm] | x [mm] \in \IR [/mm] } ?
aber was bringt mir das? ...
Gruß
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> Hallo,
>
> heißt das die von mir berechnete dim ist richtig?
>
>
> die Vektoren der Schnittmenge wären dann [mm]U_s[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {
> [mm]\vektor{-x_2 \\
x_2 \\
-1/5x_2}[/mm] | x [mm]\in \IR[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
} ?
>
> aber was bringt mir das? ...
Das wäre jetzt ein Basisvektor von U
[mm]U=\IR \vektor{-1\\
1\\
-\frac{1}{5}}[/mm]
Damit ist U jetzt eindimensional. Da ganz U von einem Vektor augespannt wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:29 Mi 24.11.2010 | | Autor: | void. |
Hallo,
aber was sagt mir das über U selbst, dass die Schnittmenge der 2 Teilmengen den einen Vektor als Basis haben und somit Eindimensional ist?
Oder ist das so, dass nur die Schnittmenge der 2 Teilmengen für die die Bedingingen gelten ein UVR sind (in dem fall mit dem einen Basisvektor) und der Rest der Mengen, also die Vereinigung nicht zu dem UVR gehören?
Da U selbst ja mehr beinhaltet als der Durchschnitt der 2 Teilmengen?
aber dann wäre ganz U ja kein UVR sondern nur die Schnittmenge der Teilmengen wäre ein UVR?! *confused*
gruß
void
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Mi 24.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
erstmal musst du doch zeigen dass die Vektoren der Form [mm] \lambda*(1,1,r)^T [/mm] r [mm] \in\IR [/mm] einen VR bilden, entsprechend mit [mm] \lambda [/mm] (r,5,1)
Dann deren jeweilige Dimension.
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:58 Mi 24.11.2010 | | Autor: | void. |
> Hallo
> erstmal musst du doch zeigen dass die Vektoren der Form
> [mm]\lambda*(1,1,r)^T[/mm] r [mm]\in\IR[/mm] einen VR bilden,
was bedeutet das hoch T ? kenne das nur als transponierte Matrix, wenn das eine ist, warum?? und warum nur bei dem ersten vektor Transponiert?
sind das nicht die Zeilen aus den Gleichungen der Vorraussetzung, aus der Aufgabenstellung? also [mm] \lambda [/mm] *(1,-1,r) und [mm] \lambda [/mm] *(r,1,-5) ?
> entsprechend
> mit [mm]\lambda[/mm] (r,5,1)
Zeigen kann ich das indem ich die Abgeschlossenheit von Vektadd. und Skal. multi für den Körper [mm] \IR [/mm] zeige oder?
> Dann deren jeweilige Dimension.
Die Dim ist doch automatisch 1, weil ich nur einen Vekor pro uvr habe und der ist ganz sicher lin unabh, wodurch der eine Vektor die Basis bildet ?
und ne basis mit einem Vektor -> dim 1 ?
> Gruss leduart
>
Gruß
void
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
das ^T transponiert und macht aus nem Zeilenvektor nen Spaltenvektor. beim zweiten hat ichs vergessen.
dein erster UVR enthält doch z:Bsp die 2 Vektoren (1,1,2) und (1,1,2) und (3,3,17) wieso ist das nur ein Vektor? bzw 1 d?
entsprechend dein anderer VR
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Do 25.11.2010 | | Autor: | void. |
hallo,
..ok jetz hab ichs auch verstanden
also sehen die Basen der 2 UVR [mm] U_1 [/mm] , [mm] U_2 [/mm] folgendermaßen aus
[mm] B_U_1 [/mm] ={ [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 0} [/mm] , [mm] \lambda_2 \vektor{0 \\ 0\\ 1} [/mm] }
[mm] B_U_2 [/mm] ={ [mm] \lambda \vektor{0 \\ 1 \\ 5} [/mm] , [mm] \lambda_2 \vektor{1 \\ 0\\ 0} [/mm] }
[mm] \lambda ,\lambda_2 \in \IR [/mm]
und haben somit beide dim 2
ist das jetzt so korrekt formuliert?
Warum ist gerade der Durchschnitt von den beiden = U ?
ist der Durchschnitt von 2 UVR immer ein UVR ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das sollst du ja gerade beweisen. also bilde den Durchschnitt und zeige, dass es ein UVR ist.
wenn du willst kannst du das statt speziell für diese 2 auch allgemein zeigen, verlangt ist das nur in dem speziellen Fall.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:25 Do 25.11.2010 | | Autor: | void. |
ok, also die standart basis vom [mm] \IR^3 [/mm] ist [mm] B_R [/mm] = {(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)}
damit kann ich die basis der beiden [mm] U_1 U_2 [/mm] abbilden.
das ist ziemlich offensichtlich muss man das trotzdem hinschreiben?
somit wäre dann [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] ein UVR von [mm] R^3
[/mm]
Die Schnittmenge dieser beiden wäre dann U = { x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] x_1 [/mm] = [mm] x_2 [/mm] = [mm] 5x_3 [/mm] }
Sprich der Vektor u = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 5} [/mm] u [mm] \in [/mm] U
somit ist U = { [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ 5} [/mm] | [mm] \lambda \in \IR [/mm] }
Das ist der einzige Vektor der durch beide Basen darstellbar ist und jedes Vielfache von ihm ist logischerweise auch darstellbar.
aber ist das die gesuchte begründung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:40 Do 25.11.2010 | | Autor: | wieschoo |
Na ich würde es allgemein zeigen. Da kannst du jede nächste Aufgabe darauf beziehen.
Seien [mm]U_1,U_2[/mm] UVR von V. z.z. [mm]U_1\cap U_2[/mm] ist UVR von V
(U1) [mm]0\in U_1 \wedge 0\in U_2 \Rightarrow 0\in U_1\cap U_2[/mm]
(U2) [mm]a,b\in U_1\cap U_2\Rightarrow a\in U_1 \wedge a\in U_2 \wedge b\in U_1 \wedge b\in U_2 \Rightarrow a+b\in U_1 \wedge a+b\in U_2\Rightarrow a+b\in U_1\cap U_2[/mm]
(U3) [mm]r\in K,a\in U_1\cap U_2\Rightarrow a\in U_1 \wedge a\in U_2 ,r\in K\Rightarrow ra\in U_1 \wedge ra\in U_2\Rightarrow ra \in U_1\cap U_2[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:57 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo void
> ok, also die standart basis vom [mm]\IR^3[/mm] ist [mm]B_R[/mm] =
> {(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)}
> damit kann ich die basis der beiden [mm]U_1 U_2[/mm] abbilden.
was meinst du damit ?
ist (1,1,0)+r*(1,1,1) und (1,1,0)+r*(2,3,4) ein UVR?
jeden Vektor in [mm] \IR^3 [/mm] kannst du durch die darstellen.
das ist kein Grund dass der dann auch einen VR bildet.
> das ist ziemlich offensichtlich muss man das trotzdem
> hinschreiben?
jenachdem, wie du das meinst, ja mit der begründung, warum es dann ein UR ist.
> somit wäre dann [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] ein UVR von [mm]R^3[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:43 Do 25.11.2010 | | Autor: | void. |
Hallo,
> Hallo void
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> > ok, also die standart basis vom [mm]\IR^3[/mm] ist [mm]B_R[/mm] =
> > {(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)}
> > damit kann ich die basis der beiden [mm]U_1 U_2[/mm] abbilden.
> was meinst du damit ?
> ist (1,1,0)+r*(1,1,1) und (1,1,0)+r*(2,3,4) ein UVR?
stimmt ~~ .
Die 2 Vektoren von dir können keine UVR sein weil die 0 nicht enthalten ist.
wenn ich beweisen will das [mm] U_1 [/mm] ein UVR ist dann muss ich also die Eigenschaften von UVR nachprüfen:
Die Teilmenge [mm] U_1= [/mm] { [mm] x\in \IR^3 [/mm] | [mm] x_1=x_2 [/mm] }
mit [mm] U_1 [/mm] ={ [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ r} [/mm] | r, [mm] \lambda \in \IR [/mm] }
ist ein UVR da folgendes gilt:
1. [mm] \lambda [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] u=0 , [mm] \forall [/mm] u [mm] \in U_1 \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \in U_1 [/mm]
2. [mm] u_1 [/mm] , [mm] u_2 \in U_1
[/mm]
[mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] = [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ r} \in U_1= [/mm] { [mm] x\in \IR^3 [/mm] | [mm] x_1=x_2 [/mm] } [mm] \forall u_1 [/mm] , [mm] u_2
[/mm]
Gibts ne Möglichkeit das konkreter zu zeigen oder genügt das so?
3. [mm] u_1 \in U_1 [/mm] , [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
[mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ r} \in U_1= [/mm] { [mm] x\in \IR^3 [/mm] | [mm] x_1=x_2 [/mm] }
...mehr fällt mir leider nicht dazu ein.
Gruß void
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:12 Do 25.11.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
vielleicht solltest du zuerst sagen dass
[mm] \vektor{\lambda \\ \lambda\\r*\lambda} [/mm] wegen x1=x2 x3 beliebig aus U1 ist
dann der nullvektor liegt drin mit x1=x2=x3=0
dann ist dein
$ [mm] u_1 [/mm] + [mm] u_2 [/mm] $ = $ [mm] \lambda \vektor{1 \\ 1 \\ r} \in U_1
[/mm]
keine Aussage, weil du ja u1 und u2 garnicht hingeschrieben hast also [mm] u1=\lambda_1 \vektor{1 \\ 1 \\ r_1} [/mm]
[mm] u2=\lambda_2 \vektor{1 \\ 1 \\ r_2} [/mm]
addieren und zeigen entweder es hat wieder die Form x1=x2
oder die Form [mm] \lambda_3 \vektor{1 \\ 1 \\ r_3 }mit \lambda_3=... [/mm] und [mm] r_3=...
[/mm]
entsprechend im nächsten Punkt [mm] \lambda_1*\lambda_2=\lambda_3
[/mm]
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:29 Fr 26.11.2010 | | Autor: | void. |
Vielen Dank für die ganzen Antworten und Hilfestellungen.
Müsste es jetzt richtig haben.
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