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Urbild Sigma-Algebra (Schnitt): Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:41 Do 16.01.2014
Autor: DerBaum

Aufgabe
[mm] $\Omega,\Omega'$ [/mm] nichtleere Mengen mit [mm] $T:\Omega\to\Omgea'$ [/mm] ist Abbildung.

Zeigen oder widerlegen Sie:

Sind [mm] $\mathcal{A}',\mathcal{B}'$ [/mm] beliebige [mm] $\sigma$-Algebran [/mm] in [mm] $\Omega'$, [/mm] so gilt: [mm] $T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')$ [/mm]

Guten Abend,

ich bearbeite gerade diese Aufgabe und habe mir bisher folgende Gedanken gemacht:

[mm] $T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}$. [/mm]
und [mm] $T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{A}\}\cap\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{B}'\}=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}=T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')$. [/mm]

Jedoch glaube ich kaum, dass das stimmt.
Hier geht ja nirgends ein, dass [mm] $\mathcal{A}',\mathcal{B}' \;\sigma$-Algebren [/mm] sind.

Kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt?

Vielen Dank
Liebe Grüße

DerBaum

        
Bezug
Urbild Sigma-Algebra (Schnitt): Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:16 Do 16.01.2014
Autor: fred97


> [mm]\Omega,\Omega'[/mm] nichtleere Mengen mit [mm]T:\Omega\to\Omgea'[/mm] ist
> Abbildung.
>  
> Zeigen oder widerlegen Sie:
>  
> Sind [mm]\mathcal{A}',\mathcal{B}'[/mm] beliebige [mm]\sigma[/mm]-Algebran in
> [mm]\Omega'[/mm], so gilt:
> [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')[/mm]
>  
> Guten Abend,
>  
> ich bearbeite gerade diese Aufgabe und habe mir bisher
> folgende Gedanken gemacht:
>  
> [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}[/mm].
>  
> und [mm]T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{A}\}\cap\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{B}'\}=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}=T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')[/mm].
>  
> Jedoch glaube ich kaum, dass das stimmt.
>  Hier geht ja nirgends ein, dass [mm]\mathcal{A}',\mathcal{B}' \;\sigma[/mm]-Algebren
> sind.
>  
> Kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt?

Dir scheint nicht klar zu sein, was [mm] T^{-1}(\mathcal{C}') [/mm] für eine  [mm] \sigma [/mm] - Algebra [mm] \mathcal{C}' [/mm] in [mm] \Omega' [/mm] bedeutet:

[mm] T^{-1}(\mathcal{C}')=\{T^{-1}(C): C \in \mathcal{C}' \} [/mm]

FRED

>  
> Vielen Dank
>  Liebe Grüße
>  
> DerBaum


Bezug
                
Bezug
Urbild Sigma-Algebra (Schnitt): Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 12:27 Do 16.01.2014
Autor: DerBaum

Vielen Dank für deine Antwort!

> > [mm]\Omega,\Omega'[/mm] nichtleere Mengen mit [mm]T:\Omega\to\Omgea'[/mm] ist
> > Abbildung.
>  >  
> > Zeigen oder widerlegen Sie:
>  >  
> > Sind [mm]\mathcal{A}',\mathcal{B}'[/mm] beliebige [mm]\sigma[/mm]-Algebran in
> > [mm]\Omega'[/mm], so gilt:
> >
> [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')[/mm]
>  
> >  

> > Guten Abend,
>  >  
> > ich bearbeite gerade diese Aufgabe und habe mir bisher
> > folgende Gedanken gemacht:
>  >  
> > [mm]T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}[/mm].
>  
> >  

> > und [mm]T^{-1}(\mathcal{A}')\cap T^{-1}(\mathcal{B}')=\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{A}\}\cap\{x\in\Omega | \; T(x)\in \mathcal{B}'\}=\{x\in\Omega | \; T(x)\in (\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')\}=T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')[/mm].
>  
> >  

> > Jedoch glaube ich kaum, dass das stimmt.
>  >  Hier geht ja nirgends ein, dass
> [mm]\mathcal{A}',\mathcal{B}' \;\sigma[/mm]-Algebren
> > sind.
>  >  
> > Kann mir jemand sagen wo der Fehler liegt?
>  
> Dir scheint nicht klar zu sein, was [mm]T^{-1}(\mathcal{C}')[/mm]
> für eine  [mm]\sigma[/mm] - Algebra [mm]\mathcal{C}'[/mm] in [mm]\Omega'[/mm]
> bedeutet:
>  
> [mm]T^{-1}(\mathcal{C}')=\{T^{-1}(C): C \in \mathcal{C}' \}[/mm]
>
> FRED
>  >

Das stimmt so natürlich nicht, wie ich es aufgeschrieben habe, ja.

Okay, das war auch ein Denkfehler, das [mm] $\mathcal{A}'$ [/mm] und [mm] $\mathcal{B}'$ [/mm] ja Teilmenge der Potenzmenge von $Omega$ sind!

Dann hätte ich also für:
[mm] $T^{-1}(\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}')=\{T^{-1}(Y)|\; Y\in\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}'\}=\{\{ x\in\Omega |\; T(x)\in Y\}|\; Y\in\mathcal{A}'\cap\mathcal{B}'\}=\{\{ x\in\Omega |\; T(x)\in Y\}|\; Y\in\mathcal{A}'\}\cap\{\{ x\in\Omega |\; T(x)\in Y\}|\; Y\in\mathcal{B}'\}=T^{-1}(\mathcal{A}'\cap T^{-1}(\matcal{B}')$ [/mm]

Aber dann habe ich die Voraussetzung ja wieder nicht Verwendet :-/

Wo liegt diesmal mein Denkfehler?

Vielen Dank
Liebe Grüße
DerBaum

> > Vielen Dank
>  >  Liebe Grüße
>  >  
> > DerBaum
>  

Bezug
                        
Bezug
Urbild Sigma-Algebra (Schnitt): Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:20 Fr 17.01.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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