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Urbild muss in C0(X) sein: Frage (beantwortet)
Status: (Question) answered Status 
Date: 19:52 So 16/11/2014
Author: drossel

Hi
X sei ein lokalkompakter Hausdorffraum, [mm] Y\subseteq [/mm] X abgeschlossen,
ich soll zeigen, dass die Abbildung
[mm] p:\{f\in C_0(X); f(x)=0\; \text{für alle}\; x\in Y\}\to C_0(X\setminus [/mm] Y)
[mm] f\mapsto f_{|X\setminus Y } [/mm] die Einschränkung von f
surjektiv ist.
Dh ist [mm] f\in C_0(X\setminus [/mm] Y), so definiere ich mir [mm] g(x):=\begin{cases} f(x), & \mbox{für }x\in X\setminus Y \\ 0, & \mbox{für } x\in Y \end{cases} [/mm]
Das soll mein Urbild für f sein. Dazu muss ich noch begründen, dass [mm] g\in C_0(X), [/mm] also g ist stetig und g verschwindet im unendlichen.
Die Stetigkeit von g auf den Teilbereichen [mm] X\setminus [/mm] Y und Y sind klar, aber g muss ja auch vom Übergang her stetig sein, also für [mm] x\in X\setminus [/mm] Y mit [mm] x\to x_0, x_0 [/mm] in Y müsste [mm] f(x)\to f(x_0) [/mm] gelten? Aber da Y abgeschlossen ist, kann das ja nicht sein oder? Kann mir dazu jemand helfen, was alles hier für die Stetigkeit gelten muss?
Gruß

        
Bezug
Urbild muss in C0(X) sein: Antwort
Status: (Answer) finished Status 
Date: 07:49 Mo 17/11/2014
Author: fred97

Zunächst sollten wir mal einiges klären:

1. Sei [mm] C_c(X) [/mm] die Menge aller reell- oder komplexwertigen Funktionen auf X mit kompaktem Träger. Für $f [mm] \in C_c(X)$ [/mm] ist

   [mm] ||f||_{\infty}:=\sup \{|f(x)|:x \in X\}. [/mm]

2. es ist [mm] C_0(X):=\overline{C_c(X)} [/mm] (Abschluss bezüglich [mm] ||*||_{\infty}) [/mm]

[mm] C_0(X) [/mm] ist vollständig bezüglich [mm] ||*||_{\infty} [/mm]


3. Es ist $f [mm] \in C_0(X)$ \gdw [/mm] für jedes c>0 ist [mm] \{x \in X: |f(x)| \ge c\} [/mm] kompakt.

Nun versuch Deine Beweis mal mit 3.

FRED

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