Urne, Verteilung, E(X), Var(X) < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:00 Di 10.02.2009 | | Autor: | lena17 |
| Aufgabe | Aus einer Urne mit zwei roten, zwei gelben und zwei grünen Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen drei Kugeln gezogen. Es wird beobachtet, welche Farben mindestens einmal gezogen worden sind. Die Zufallsvariable X bezeichne die Anzahl dieser Farben.
a) Bestimmen Sie Verteilung von X
b) Berechnen Sie den Erwartungswert von X
c) Berechnen Sie die Varianz von X |
Ich habe Problem bei der Berechnung der Vertelung von X.
Meine Idee:
Zufallsvariable:
x=3, falls jede Farbe einmalgezogen worden ist
x=0, sonst
a) P(X=3)=1/2*1/2*1/2=1/6
P(X=0) = 1-1/6=5/6
Was ist hier falsch gelaufen und wie soll es richtig sein?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Di 10.02.2009 | | Autor: | glie |
> Aus einer Urne mit zwei roten, zwei gelben und zwei grünen
> Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen drei Kugeln
> gezogen. Es wird beobachtet, welche Farben mindestens
> einmal gezogen worden sind. Die Zufallsvariable X bezeichne
> die Anzahl dieser Farben.
> a) Bestimmen Sie Verteilung von X
> b) Berechnen Sie den Erwartungswert von X
> c) Berechnen Sie die Varianz von X
> Ich habe Problem bei der Berechnung der Vertelung von X.
>
> Meine Idee:
>
> Zufallsvariable:
> x=3, falls jede Farbe einmalgezogen worden ist
> x=0, sonst
>
> a) P(X=3)=1/2*1/2*1/2=1/6
> P(X=0) = 1-1/6=5/6
>
>
> Was ist hier falsch gelaufen und wie soll es richtig sein?
>
Hallo Lena,
beachte zunächst einmal, dass du dreimal nacheinander OHNE Zurücklegen ziehst.
Mach dir doch die möglichen Ergebnisse einmal an Hand eines Baumdiagrammes klar.
Dann wirst du auch eine vernünftige Wahrscheinlichkeitsverteilung bekommen.
Und dann solltest du überlegen, welche Werte deine Zufallsvariable annehmen kann. Ist es wirklich möglich dass die Zufallsvariable den Wert x=0 annimmt? Das würde doch bedeuten, dass 0 Farben mindestens einmal gezogen werden!!
Kommst du damit weiter?
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:32 Di 10.02.2009 | | Autor: | lena17 |
Ok, dann kommen ich auf so was:
Zufallsvariable:
x=3, falls jede Farbe einmalgezogen worden ist
x=2, sonst
a) [mm] P(X=3)=\bruch{1}{6}*\bruch{1}{5}*\bruch{1}{4}=\bruch{1}{120}
[/mm]
P(X=2) = [mm] 1-\bruch{1}{120}=\bruch{119}{120}
[/mm]
Tja, hier ist steckt wieder Fehler wahrscheinlich.. Habe ich die Wahrscheinlichkeit falsch berechnet?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Di 10.02.2009 | | Autor: | glie |
> Ok, dann kommen ich auf so was:
>
> Zufallsvariable:
> x=3, falls jede Farbe einmalgezogen worden ist
> x=2, sonst
Schonmal besser als vorher, genau diese Werte kann die Zufallsvariable annehmen.
>
>
> a)
> [mm]P(X=3)=\bruch{1}{6}*\bruch{1}{5}*\bruch{1}{4}=\bruch{1}{120}[/mm]
>
> P(X=2) = [mm]1-\bruch{1}{120}=\bruch{119}{120}[/mm]
>
> Tja, hier ist steckt wieder Fehler wahrscheinlich.. Habe
> ich die Wahrscheinlichkeit falsch berechnet?
Ja allerdings....so einfach kannst du es dir nicht machen
Nochmal der Tip, erstelle ein Baumdiagramm, dann müsstest du erkennen, dass du 24 verschiedene Ergebnisse erhalten kannst.
Diese sind:
r/r/g
r/r/gr
r/g/r
r/g/g
r/g/gr
r/gr/r
r/gr/g
r/gr/gr
g/r/r
g/r/g
g/r/gr
g/g/r
g/g/gr
g/gr/r
g/gr/g
g/gr/gr
gr/r/r
gr/r/g
gr/r/gr
gr/g/r
gr/g/g
gr/g/gr
gr/gr/r
gr/gr/g
Jetzt brauchen wir die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse. Die erhältst du ebenfalls aus dem Baumdiagramm....
Beispielsweise ist die Wahrscheinlichkeit für
[mm] r/r/g=\bruch{2}{6}*\bruch{1}{5}*\bruch{2}{4}=\bruch{1}{30}
[/mm]
(1.Zug 6 Kugeln insgesamt, 2 davon rot; 2.Zug 5 Kugeln insgesamt, 1 davon rot; 3.Zug 4 Kugeln insgesamt, 2davon gelb)
Jetzt sollte es klappen, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass deine Zufallsvariable den Wert x=3 annimmt. Finde dazu alle passenden Ergebnisse und addiere ihre Wahrscheinlichkeiten.
Gruß Glie
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Hallo! Ich versuche mal auch diese Aufgabe zu lösen und ich habe das Problem mit Berechnung von dem Erwartungswert und Varianz.
Ist es hier die Binomialeverteilung? (da wir ohne zurücklegen ziegen)
Dann sollte Erwartungswert mit der Formel E(X)=n*p berechnet. Stimmt das?
P ist P(X=3) und was soll hier n sein? Ist es die Anzahl der Ziehungen, also 3?
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> Hallo! Ich versuche mal auch diese Aufgabe zu lösen und ich
> habe das Problem mit Berechnung von dem Erwartungswert und
> Varianz.
> Ist es hier die Binomialeverteilung? (da wir ohne
> zurücklegen ziegen)
>
> Dann sollte Erwartungswert mit der Formel E(X)=n*p
> berechnet. Stimmt das?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Dies stimmt nicht, wie du schon an der Antwort von Glie gesehen haben solltest, aber dann noch einmal ausführlicher :)
Eine Bernoulli-Kette, für die diese Formel gelten würde, liegt vor, wenn jedes Ereignis unabhängig von den anderen ist und mit der selben Wahrscheinlichkeit eintritt. Gäbe es also nur Kugeln mit EINER Farbe und würden wir MIT Zürücklegen rechnen, dann hätten wir eine Bernoulli-Kette, denn jede Kugel hätte die selbe Wahrscheinlichkeit von 1/n, gezogen zu werden, stimmts? Hier jedoch gibt es gleich DREI Farben und wir spielen OHNE Zurücklegen, so dass sich doch die Wahrscheinlichkeit mit jedem Mal Ziehen ÄNDERT! Daher kannst du nicht so einfach vorgehen, sondern musst die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X aufstellen und anschließend alle Fälle zusammenaddieren, die hinter der Wahrscheinlichkeit von z.B. X=3 (für 3 Farben) stehen.
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> P ist P(X=3) und was soll hier n sein? Ist es die Anzahl
> der Ziehungen, also 3?
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Tja, wie die Zufallsvariable zu rechnen ist, ist mir klar.. Aber wir soll ich den Erwartungswert berechnen? E(X)=np laut deinen Wörtern geht nicht, weil es keine Bnimoalverteilung ist.
Löhnt es sich eine allgemeine Formel für die Berechnung von Erwarungswert immer zu benutzen, anstatt die spezielle, die für jede Verteilung anders ist?
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> Tja, wie die Zufallsvariable zu rechnen ist, ist mir klar..
> Aber wir soll ich den Erwartungswert berechnen? E(X)=np
> laut deinen Wörtern geht nicht, weil es keine
> Bnimoalverteilung ist.
>
> Löhnt es sich eine allgemeine Formel für die Berechnung von
> Erwarungswert immer zu benutzen, anstatt die spezielle, die
> für jede Verteilung anders ist?
Sorry, habe deine Frage falsch herum gelesen, also kann ich wohl jetzt sagen, im Grunde ja, obwohl du eine Bernoulli-Kette relativ sicher erkennen solltest und dafür kannst du auch immer deinen Spezialfall nutzen. Ansonsten ist die allgemeine Formel doch recht praktisch :)
Die allgemeine Formel für den Erwartungswert lautet:
$ [mm] E(X)=\summe_{i=1}^{n}x_i*P(X=x_i) [/mm] $ für diskrete Verteilungen
Das bedeutet nichts anderes, als: "Im diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den Werten dieser Ergebnisse." (Wiki).
In unserem Fall hat X nur die Elemenete [mm] x_1=2 [/mm] und [mm] x_2=3, [/mm] daher lautet E(X) nach der Formel:
$ E(X)=2*P(X=2)+3*P(X=3) $ Das wars...die größte Arbeit ist das berechnen der Wahrscheinlichkeiten [mm] P(x_i), [/mm] aber das hat ja nichts mit der Formel für E(X) zu tun.
Und deine Formel E(X)=n*p, das ist ein Spezialfall, der nur für eine Bernoulli-Kette gilt, bei der die Wahrscheinlichkeit p für ein Ereignis immer konstant ist.
Klarer geworden? :)
In der Schule kenne ich nur diesen Spezialfall, daher weiß ich nicht, wie viele man da lernen kann, sicherlich wird es noch ein paar geben, aber mit der allgemeinen Formel fährst du immer gut, die anderen kann man sich dann zur Not ableiten...
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Schaut mal hier wurde die Aufgabe schon besprochen:
https://matheraum.de/read?t=511329
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:15 Di 10.02.2009 | | Autor: | Adamantin |
Danke für den Hinweis, sowas schaue ich normalerweise nicht nach, Asche auf mein Haupt, aber wozu gibt es denn Moderatoren, haha :)
Aber immerhin scheint besagter Link zu einer richtigen Lösung zu führen, denn sah alles richtig aus (wobei ich ja die anderen Antworten nicht gesehen habe)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:21 Di 10.02.2009 | | Autor: | itstudent |
Da ist leider Lösungsweg nicht ersichtlich.
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