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| Aufgabe | Aus einer Urne mit n Kugeln, die von 1 bis n durchnummeriert seien, wird wiederholt mit Zurüklegen rein zufällig gezogen. Die Zufallsvariable [mm] T_{k} [/mm] bezeichnet die Anzahl von Ziehungen, bis erstmals k verschiedene Kugeln gezogen wurden (k=1;...;n).
ges:
a) [mm] P(T_{1}=m_{1}\wedge T_{2}-T_{1}=m_{2}\wedge...\wedgeT_{n}-T_{n-1}=m_{n}) [/mm] für [mm] m_{i} [/mm] beliebig aus [mm] \IN
[/mm]
b)z.z. [mm] T_{1}, T_{2}-T_{1},... [/mm] sind unabhängig |
Hmm also ich hab nicht so richtig nen Ansatz dazu, bei b) muss ich sicherlich die Wahrscheinlichkeiten nutzen. für das Ziehen mit zurücklegen ohne Reihenfolge gilt.: [mm] \vektor{n+k-1 \\ k}
[/mm]
Hat jemand vllt ne Idee??
mfg piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:02 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo piccolo!
> Aus einer Urne mit n Kugeln, die von 1 bis n
> durchnummeriert seien, wird wiederholt mit Zurüklegen
> rein zufällig gezogen. Die Zufallsvariable [mm]T_{k}[/mm]
> bezeichnet die Anzahl von Ziehungen, bis erstmals k
> verschiedene Kugeln gezogen wurden (k=1;...;n).
>
> ges:
> a) [mm]P(T_{1}=m_{1}\wedge T_{2}-T_{1}=m_{2}\wedge...\wedgeT_{n}-T_{n-1}=m_{n})[/mm]
> für [mm]m_{i}[/mm] beliebig aus [mm]\IN[/mm]
> b)z.z. [mm]T_{1}, T_{2}-T_{1},...[/mm] sind unabhängig
>
> Hmm also ich hab nicht so richtig nen Ansatz dazu, bei b)
> muss ich sicherlich die Wahrscheinlichkeiten nutzen. für
> das Ziehen mit zurücklegen ohne Reihenfolge gilt.:
> [mm]\vektor{n+k-1 \\ k}[/mm]
Wieso ohne Reihenfolge? Die Reihenfolge ist hier wichtig!
> Hat jemand vllt ne Idee??
Versuch doch erstmal a) zu machen. Das brauchst du naemlich fuer b): damit [mm] $T_1, T_2 [/mm] - [mm] T_1, \dots$ [/mm] unabhaengig sind, muss naemlich [mm] $P(T_1 [/mm] = [mm] m_1 \wedge T_2 [/mm] - [mm] T_1 [/mm] = [mm] m_2 \wedge \dots \wedge T_n [/mm] - [mm] T_{n-1} [/mm] = [mm] m_n) [/mm] = [mm] P(T_1 [/mm] = [mm] m_1) P(T_2 [/mm] - [mm] T_1 [/mm] = [mm] m_2) \cdots P(T_n [/mm] - [mm] T_{n-1} [/mm] = [mm] m_n)$ [/mm] gelten fuer alle [mm] $(m_1, \dots, m_n) \in \IN^n$.
[/mm]
Nun zu a). Um [mm] $P(T_1 [/mm] = [mm] m_1 \wedge T_2 [/mm] - [mm] T_1 [/mm] = [mm] m_2 \wedge \dots \wedge T_n [/mm] - [mm] T_{n-1} [/mm] = [mm] m_n)$ [/mm] zu bestimmen, schaust du dir die Gesamtzahl der Ziehungen an (wenn [mm] $n_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] m_n$ [/mm] Kugeln gezogen werden) und zaehlst weiterhin die Anzahl der moeglichen Ziehungen mit [mm] $T_1 [/mm] = [mm] m_1, T_2 [/mm] = [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2, \dots, T_n [/mm] = [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] m_n$. [/mm] Der Quotient gibt dir die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
Aber wie zaehlt man die Anzahl der moeglichen Ziehungen mit [mm] $T_1 [/mm] = [mm] m_1, T_2 [/mm] = [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2, \dots, T_n [/mm] = [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] m_n$? [/mm] Es muss ja erstmal [mm] $m_1 [/mm] = 1$ sein, ansonsten gibt es eh keine solche Ziehung. Damit [mm] $T_2 [/mm] - [mm] T_1 [/mm] = [mm] m_2$ [/mm] ist, muessen die ersten [mm] $m_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] - 1$ gezogenen Kugeln alle gleich sein und Kugel Nr. [mm] $m_1 [/mm] + [mm] m_2$ [/mm] muss von dieser verschieden sein. Und damit [mm] $T_3 [/mm] - [mm] T_2 [/mm] = [mm] m_2$ [/mm] ist, muessen die ersten [mm] $m_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] + [mm] m_3 [/mm] - 1$ gezogenen Kugeln aus hoechstens zwei verschiedenen bestehen und die [mm] $m_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] + [mm] m_3$-te [/mm] Kugel verschieden davon sein.
Du kannst die Moeglichkeiten also so zaehlen:
1) Erstmal waehlst du eine Folge von $n$ verschiedenen Kugeln [mm] $(a_1, \dots, a_n)$ [/mm] (davon gibt es $n!$ Stueck).
2) Dann guckst du, wie viele Moeglichkeiten von Vektoren [mm] $(b_1, \dots, b_{m_1+\dots+m_n})$ [/mm] es gibt mit [mm] $b_{m_1 + \dots + m_i} [/mm] = [mm] a_i$ [/mm] und [mm] $b_{m_1 + \dots + m_{i-1} + 1}, \dots, b_{m_1 + \dots + m_i - 1} \in \{ a_1, \dots, a_{i-1} \}$. [/mm] (Dies ist unabhaengig davon, wie die [mm] $a_i$ [/mm] nun konkret aussehen -- du kannst also ohne Einschraenkung [mm] $a_i [/mm] = i$ waehlen.)
Dies multiplizierst du beides zusammen und erhaelst die Gesamtzahl der Ziehungen von [mm] $m_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] m_n$ [/mm] Kugen (mit Zuruecklegen und Reihenfolge) mit [mm] $T_1 [/mm] = [mm] m_1, \dots, T_n [/mm] = [mm] m_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] m_n$. [/mm] Dies teilst du durch die Anzahl aller Ziehungen von [mm] $m_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] m_n$ [/mm] Kugeln mit Zuruecklegen und Reihenfolge, und tada, hast du die gesuchte Wahrscheinlichkeit.
LG Felix
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ok, prinzipiell hab ich das jetzt verstanden wie du das meinst, nur wie du das bei Punkt 2) meinst ist mir ein bisschen schleierhaft, könntest du mir das evtl nochmal etwas ausführlicher erklären???
danke schonmal im voraus
mfg piccolo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ok, prinzipiell hab ich das jetzt verstanden wie du das
> meinst, nur wie du das bei Punkt 2) meinst ist mir ein
> bisschen schleierhaft, könntest du mir das evtl nochmal
> etwas ausführlicher erklären???
Ueberleg dir, wie eine Folge von Wuerfen aussehen muss, damit [mm] $T_1 [/mm] = [mm] m_1$, $T_2 [/mm] = [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2$, $T_3 [/mm] = [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2 [/mm] + [mm] m_3$, [/mm] ..., [mm] $T_n [/mm] = [mm] m_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] m_n$ [/mm] gilt.
Schreib doch mal ein paar Beispiele auf und versuche dir zu ueberlegen wie man das moeglichst allgemein beschreiben koennte, um es dann zu zaehlen.
LG Felix
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Hey also ich komm jetzt für die gesucht Wahrscheinlichkeit auf:
[mm] P=\produkt_{j=2}^{n}\frac{n-(j-1)}{n}*\frac{j-1}{n}^m_{j}-1
[/mm]
kann ich denn einfach sagen, weil ich da für alle [mm] m_{j} [/mm] ein Produkt hab, dass b) dann erfüllt ist???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 So 15.11.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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